wykład 08-zmiana bazy.pdf

(223 KB) Pobierz
11843053 UNPDF
Zmiana bazy przestrzeni wektorowej
Definicja 1.
( Be
B
,,,
+⋅
)
- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
=
(,,)
12
ee
n
- stara baza
'
=
(
ee e
12
', ',..., '
n
)
- nowa baza
Macierzą przejścia P od B do B’ nazywamy macierz odwzorowania
Identycznościowego przestrzeni X w siebie wyjściowo traktowanej z
bazą B’, a docelowo z bazą B
P B B
→
'
IdX
( )
PM BB
=
',
IdX
X
B’
X
B
WNIOSEK:
( )
e e a e a e
1
'
== + ++ = +++
1
'
11 1
21 2
...
a e a a
nn
[
11
21
...
a
n B
]
IdX
IdX
e e a e a e
2
'
== + ++ = +++
2
'
12 1
22 2
...
a e a a
2
[
12
22
...
a
n B
2
]
e e a e a e
n
'
== + ++ = +++
n
'
11 22
n
n
...
a e a a
[
1 2
n
n
...
a
nn B
]
…
…
…
11
12
1
n
P
=
21
22
2
n
aa a
n
1
n
2
nn
Pierwszą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne pierwszego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
Drugą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne drugiego
wektora nowej bazy względem starej bazy.
n-tą kolumnę macierzy przejścia stanowią współrzędne n-tego wektora
nowej bazy względem starej bazy.
Przykład 1.
( )
,,,
+⋅
- prze
str
zeń wektorowa
dim
Be
Be
3
(,,)
=
=
123
ee
- stara baza
'
=
( )
123
', ',
ee
'
- nowa b
aza
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
XK
IdX
1
1
()
nn
()
nn n
aa a
aa a
XK
X
11843053.004.png
ee
ee
1
'
'
'
=
=+
=++ 3
1
2
1 2
e
ee
ee
Sprawdzamy, ze B’ jest bazą:
3
1 2
αβγ
e e e
1
'
++=
2
'
3
' 0
αβ γ
e
1
+ + + + + =
( ) ( )
( ) ()
e e
1 2
e e e
1 2 3
0
αβγ βγ γ
++ + + + =
e
1
e
2
e
3
0
ee
123
, e - wektory liniowo niezależne
αβγ
βγ
γ
++=
+=
=
0
⇒=
α
β
γ
=
0
0
0
0
i dimX=3, więc B’ jest bazą
0
=
[ ]
[ ]
[ ]
e e
e e
1
' 1 0 0 ,0,0
=+ + =
1
e e
2
3
B
 
 
111
011
001
' 1 1 0
=++ =
e e
1, 1, 0
P
=  
 
2
1
2
3
B
e e
WNIOSEK
2
' 1 1 1 , ,1
=++=
1
e e
2
3
B
1
' B B
1)
macierz P jest macierzą nieosobliwą oraz
P
P
jest macierzą
B B
→
'
→
o dwrotną
[ ] [
]
2)
xxxx xx x
=
, ,...,
=
', ',..., '
12 12
n
B
n
B



x
x



x
x
'
'
1
1
X
= 

2
X
'
= 

2
x
n
x
n
'
Na podstawie postaci macierzowej:
X PX X P X
= ⋅ ⇒= ⋅
'
'
−
1
Przykład 1’.
xe
=− + =− =
1
23 , ,3 ', ', '
B
e e xxx
2
3
[ ] [ ]
1 2 3 '
B
=



1 1 1 1
2011
3 0 0 1
 
 
x
x
x
1
'
'
'
xxx
xx
x
1
' ' '
' ' 2
' 3
2
3
1
x
x
x
1
' 3
' 5
' 3
−=  
 
+=−
=−

2
2
3
2
=

 
3
3
=
3
=−
[ ] '
3, 5, 3 B
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
( )
−
+ +=
=
11843053.005.png 11843053.006.png
Twierdzenie 1. (o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz
przestrzeni)
( ) ( )
,,,,,,,
dim
dim
XK YK
Xm
Yn
+⋅ +⋅
=
=
- przestrzenie wektorowe
( )
( )
Beee
1
=
(
1 2
, ,...,
m
)
bazy w X
Bl l
=
, ,...,
l
bazy w Y
(
)
Be e e
'
=
', ',..., '
Bl l
'
=
', ',..., '
l
1
1 2
m
2
1 2
n
PP →
=
1 1 '
QQ →
=
B B
2
2 '
f XY
:
→ f jest odwzorowaniem liniowym
AM ( )
( )
=
f
BB
12
,
B
T: BQ 1 AP
=
MBB
f
1 2
',
'
=⋅ ⋅
Przykład 2.
( Be
Be
ee
XK
,,,
)
( )
( )
+⋅
( )
( )
( )
YK
,,,
+ ⋅
1
=
1 2 3
,,
ee
Bl l
2
=
1 2
,
1
'
=
=+
=+
=++
1 2 3
', ',
e e
e
e
ee
'
Bl l
2
'
=
1 2
',
'
1
'
'
'
1 2
l
1
'
=− +
l l
ee
ee
2
2 3
l
2
'
=+
l l
3
1 2 3
f
:
XY
→
f
fe
()
()
()
e
1
=− +
l
l
2
=
3
l
f
el l
3
=+
1 2
AM
BM
=
( )
BB
,
=
−
101
f
12
131
=
f
( )
BB
1 2
',
'
P
=  
 
 
 
101
111
011
BB
1 1
→
'
 
−
Q
=  
 
=⋅ ⋅
 
11
11
BB
2
→
2
'
BQ
−
1
AP
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
Z:
2
1 2
n
B B
1 2
1 2
1
2
11843053.007.png 11843053.001.png
Macierz znajdujemy rozwiązując układ:
Q −
 
−  
11
11
x
1
=
y
1
 
   
 
x
y
2
2
 
=  
 
 
 
11
22
11
22
Q
−
1
 
11
 
−
101
535
 
22
−
101
 
222
B
=
 
111
11131 355
011
⋅
⋅
=
 
 
 
 
 
 
22
222
WNIOSEK:
( )
f
,,,
+⋅
→ f- endomorfizm
A MBB
=
f
( )
( )
11
,
:
B MBB
=
',
'
B
B
B
B
f
1 1
1
1 '
1
1 '
P →
BB
1 1
'
BPAP
=⋅ ⋅
1
Definicja 2.
a) macierze nazywamy macierzami równoważnymi
A ,
nm nm
× ×
B
:
⇔∃
:
B QAP
= ⋅ ⋅
−
1
P Q nieosobliwe
,
−
b) macierze nazywamy macierzami podobnymi
A ,
nn nn
× ×
B
:
⇔∃
P nieosobliwa BPAP
:
= ⋅ ⋅
−
1
−
WNIOSEK:
1) dwie macierze tego samego odwzorowania liniowego względem różnych
baz są równoważne
2) dwie macierze tego samego endomorfizmu w różnych bazach są
podobne
UWAGA
Można udowodnić, że dwie macierze równoważne reprezentują to samo
odwzorowanie liniowe w odpowiednio wybranych i ustalonych
przestrzeniach i bazach, oraz że dwie macierze podobne reprezentują ten
sam endomorfizm w odpowiednio wybranych i ustalonych przestrzeniach i
bazach.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
−
 
XK
XX
11843053.002.png
Definicja 3.
Rzędem macierzy nazywamy maksymalną ilość kolumn liniowo
niezależnych (traktowanych jako wektory w przestrzeni )
A
nn
×
K
n
UWAGA
Maksymalna ilość kolumn i wierszy jest taka sama
WNIOSEK:
1) a) A
nm
:rz min ,
A
≤
{}
n
m
b) rz =
A A
r rz
rz
2) A
3) a) macierze A,B są równoważne ⇔
=⇒= A
f Mf
=
rz rz
A B
4) rząd macierzy nie zmieni się, jeżeli
,
⇔ =
A B
b) macierze są podobne
nn nn
a) macierz pomnożymy przez α
≠
0
b) zmienimy kolejność wierszy albo kolejność kolumn
c) do jednego wiersza albo kolumny dodamy kombinacją liniową
pozostałych
Przykład 3.
rz
1215 1215 1215
rz 2 1 1 4 rz 0 3 3 6 rz 0 3 3 6
1121 0336 0000
 
 
A
=
− = −−−= −−−
 
 
 
 
−−− −−−
 
 
rz
A
=
2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 8 - Zmiana bazy
×
A B
rz rz
× ×
 
 
11843053.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin