Niech A=[aij]mxn :

Wówczas układ równań postaci (1) można zapisać w równoważnej postaci następująco: A X=B    (2), nazywamy postacią macierzowa układu równań linowych; przy czym :

A jest macierzą współczynników, X jest macierzą niewiadomych (wektorem niewiadomych), B jest macierzą wyrazów wolnych (wektorem wyrazów wolnych).

Jeśli macierz A zapiszemy w postaci:

,gdzie dla

jest wektorem kolumnowym macierzy A, to układ (1) można zapisać w równoważnej postaci następująco:

x1A1+x2A2+... xnan=B  (3), którą nazywa się postacią wektową układu równań liniowych.

Df.  Zbiorem rozwiązań układu (1) nazywamy zbiór wszystkich wektorów x=(x1,x2,...,xn), które są rozwiązaniami tego układu równań.

·      Dla dowolnego układu równań postaci (1) zachodzi tylko jedna z trzech możliwości:

1)   albo układ (1) jest sprzeczny, gdy jego zbiór rozwiązań jest pusty;

2)   albo układ (1) jest oznaczony, gdy jego zbiór rozwiązań jest zbiorem jednoelementowym;

3)   albo układ (1) jest nieoznaczony, gdy jego zbiór rozwiązań jest zbiorem nieskończonym.

I.                Badanie rozwiązań układu n równań liniowych o n niewiadomych.

·      Rozważmy układ równań postaci (1), gdy n=m.

Niech układ (1) będzie dany w postaci macierzowej:

A·X=B. Jeśli det A ¹ 0, to istnieje macierz A-1. Wówczas otrzymujemy równość: A-1·AX=A-1·B, a stąd : En·X= A-1·B

Czyli X=A-1·B   - ten wzór określa wektor rozwiązań układu (1), gdy n=m i jego macierz współczynników A jest nieosobliwa. Taki układ równań (1) nazywamy układem Cramera (układem cramerowskim).

·      Rozwiązanie układu równań (1) w postaci X= A-1.B można uzyskać inną metodą, przez zastosowanie poniższego twierdzenia.

·      Tw. Cramera: Jeżeli wyznacznik macierzy A układu n równań liniowych o n niewiadomych jest różny od zera, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami (wzorami Cramera) :

     dla  ; gdzie DetAj jest

wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Uwaga!

·      Jeśli m=n i DetA¹0, to układ (1) nazywamy układem Cramera.

·      Jeśli macierz B jest zerowa, to układ (1) nazywamy jednorodnym, w przeciwnym przypadku nazywamy układem niejednorodnym.

·      Jeśli układ (1) jest układem Cramera i jest jednorodnym, to ma dokładnie jedno rozwiązanie zerowe.

II. Badanie układu m równań liniowych o n niewiadomych

Rozważmy dla układu równań postaci (1) dwie macierze:

  - macierz współczynników (macierz główną),

oraz macierz rozszerzoną (macierz uzupełnioną) Au, którą oznacza się także U, postaci:

Stąd: rz(A) £ rz(Au) = rz(U).

Przyjmijmy bez dowodu poniższe twierdzenie.

Tw. Kroneckera – Capelliego

Układ równań postaci (1) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A współczynników przy niewiadomych tego układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej Au tego układu, tzn. gdy rz(A) = rz(Au) = r, przy czym :

1)    istnieje dokładnie jedno rozwiązanie tego układu, gdy

r = n;

2)    istnieje nieskończenie wiele rozwiązań tego układu zależnych od n-r parametrów, gdy r < n.

Z powyższego twierdzenia, oczywiste są następujące wnioski:

1o Jeśli rz(A) = rz(Au) = n, to układ (1) jest oznaczony

2o Jeśli rz(A) = rz(Au) < n, to układ (1) jest nieoznaczony

3o Jeśli rz(A) ¹ rz(Au), to układ (1) jest sprzeczny.

Zadanie:

Zbadać, dla jakich wartości parametru k poniższy układ równań liniowych jest: 1) oznaczony, 2) nieoznaczony,

3) sprzeczny:

Dla rozwiązania zadania należy zbadać:

dla jakich kÎR zachodzi równość: rz(A) = rz(Au)?

1) Obliczam DetA:

Stąd:

Czyli rz(A) = rz(Au)=3 dla k ¹ -3 Ù k ¹1.

Zatem na podstawie twierdzenia Croneckera – Capelliego stwierdzamy, iż dany układ równań jest oznaczony dla kÎR\{-3,1}. Dla pełności rozwiązania zadania należy rozważyć jeszcze poniższe przypadki:

2) Jeśli k=1, to

Stąd oczywistym jest, że rz(A) = rz(Au) = 1

Zatem dla k=1 dany układ równań jest nieoznaczony.

3)    Jeśli k = -3, to

DetA=0, czyli rz(A) < 3; zaś rz(Au) = 3, bo istnieje podmacierz macierzy Au, której wyznacznik różny jest od zera:

Stąd na podstawie twierdzenia Croneckera – Capelliego stwierdzamy, że dla k = -3 dany układ równań jest sprzeczny.

Reasumując powyższe stwierdzamy ostatecznie, iż dany układ równań:

1) dla kÎR\{-3,1} jest oznaczony;

2) dla k = -3 jest nieoznaczony;

3) dla k = 1jest sprzeczny.

Ćw: Wyznaczyć samodzielnie rozwiązanie powyższego układu równań dla k ¹ 1.

Rozwiązywanie układu równań liniowych metodą eliminacji Gaussa

Metoda eliminacji K. Gaussa (1777 – 1855) polega na kolejnym rugowaniu (usuwaniu) niewiadomych za pomocą elementarnych przekształceń na równaniach (dokładnie analogicznych do elementarnych przekształceń na wierszach macierzy) do momentu otrzymania układu równań równoważnego wyjściowemu, którego rozwiązanie jest już możliwe do odczytania z tak zwanej postaci schodkowej.

Przykład:

Rozwiązać poniższy układ równań metodą eliminacji Gaussa:

Niech A0 oznacza następujące przekształcenia elementarne na kolejnych równaniach tego układu: r2 - 2r1, r3 - r1, r4 - 3r1,  r5 - r1.

Sprawdź nadto, że po kolejnych krokach: A1, A2, A3, A4, analogicznych do A0 można wyznaczyć rozwiązanie tego układu równań postaci:

      x1 = 2, x2 = 0, x3 = 1, x4 = -1, x5 = 1.

Komentarz dydaktyczny

1. Szczegóły na temat metody eliminacji K. Gaussa zobacz np. w zbiorze zadań: W.Stankiewicz: Zadania z matematyki Dla WUT, cz. IA, str. 88

2.



Względy praktyczne i ekonomiczne (koszt obliczeń) wymagają odpowiedzi na pytanie: ile operacji arytmetycznych trzeba wykonać, aby metodą Gaussa rozwiązać układ n równań z n niewiadomymi? Rozwiązanie takich układów o większej liczbie równań realizuje się za pomocą programów komputerowych, które opierają się na metodzie Gaussa a nie na wolniejszej metodzie Cramera. Odpowiadając na postawione tutaj pytanie można obliczyć, że całkowite rozwiązanie układu o n niewiadomych wymaga wykonania

operacji; tzn. metoda Gaussa wymaga   Ng »         operacji.

Warto jeszcze dodać iż do niedawna sądzono, że nie istnieje bardziej oszczędna metoda rozwiązywania układów  równań liniowych (od metody Gaussa). W roku 1979 Chaczijan odkrył metodę, która wymaga:

operacji. Ale stała C w powyższym wzorze jest jednak tak duża, że metodę Chaczijana warto stosować dopiero dla „bardzo dużych” układów równań.

3. Przyjmując, że komputer wykonuje 105 operacji na sekundę, a jedna godzina pracy komputera kosztuje jednego dolara, oszacować, jak duży układ równań można rozwiązać metodą Gaussa za: 1 dolara, 10 dolarów i 100 dolarów.

A zatem za jednego dolara można wykonać: 3.105 operacji. Czyli , stąd n3»109, zatem n » 1000.

Analogicznie postępując, dla kwot 10 i 100 dolarów otrzymujemy odpowiednio: n » 2150 oraz n » 4640.

4. Przy komputerowym rozwiązaniu problemów matematycznych przydatne są między innymi programy: MathCAD, Mathematica, Geoplan W

Samodzielnie przygotować następujące zagadnienia z geometrii płaszczyzny i przestrzeni:

1) Wektory i działania na wektorach, a w szczególności: iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany (definicje, własności, zadania).

2) Postaci równania prostej na płaszczyźnie i w przestrzeni. Postaci równania płaszczyzny. Wzajemne położenie punktów, prostych, płaszczyzn, prostej i płaszczyzny, odległość punktu od prostej (płaszczyzny), odległość prostych i płaszczyzn, kąt między prostymi, kąt między płaszczyznami, zadania z wyżej wymienionego zakresu.

3) Krzywe stożkowe: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola (definicje, własności, zadania).

Pojęcie formy, formy liniowej, formy dwuliniowej

Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem R

Df. Funkcję nazywamy formą.

Df. Funkcję                   nazywamy formą liniową, gdy:

1) ;

2)  

Przykład:

Niech f:Rn®R, , przy czym:

, gdzie aiÎR, zaś               są współrzędnymi wektora   w ustalonej bazie B przestrzeni Rn.

Ø Oczywistym jest tutaj, że f jest formą liniową (Sprawdź to!).

Ø

Wyżej wymienioną formę liniową f można przedstawić w postaci macierzowej: , gdzie:

...