15.pdf
(
91 KB
)
Pobierz
729610094 UNPDF
15Podprzestrzenieafiniczne
Definicja15.1
Podprzestrzeni¡afiniczn¡
przestrzeniafinicznej
E
nazywa-
myniepustypodzbiór
H
E
,którywrazzdowolnymukładempunktów
zawierajegowszystkie±rodkici¦»ko±ci.
Stwierdzenie15.2
Załó»my,»eciało
F
,nadktórymrozpi¦tajestprze-
strzE«liniowa
V
macharakterystyk¦0.
Podzbiórniepusty
H
E
stanowipodprzestrze«afiniczn¡przestrzeni
afinicznej
E
wtedyitylkowtedy,gdyka»dy±rodekci¦»ko±cidowolnego
układudwupunktowegoz
H
nale»ydo
H
.
Dowód:
)
)oczywiste.
(
)Zdefinicjimo»emytraktowa¢ka»dy±rodekci¦»ko±cijako±rodek
ci¦»ko±ciukładusko«czonego.
Indukcjazewzgl¦dunailo±¢elementówukładupunktów.
Je»eli
p
0
,p
1
2
H
,tozzało»eniaaf(
p
0
,p
1
)
H
.
Załó»myteraz,»eka»dy±rodekci¦»ko±cidowolnegoukładu
m
-elementowego
(
m
2)z
H
nale»ydo
H
.
Niech
p
0
,...,p
m
2
H
oraz
a
0
,...,a
m
2
R
i
a
0
+
...
+
a
m
=1.Istniejeta-
kie
j
2{
0
,...,m
}
,»e
a
j
6
=1(wprzeciwnymwypadkusumawagwynosiłaby
m
6
=1,cojestsprzecznez
(
F
)=0),acozatymidzie
a
=
m
X
a
i
6
=0
.
i
=0
,i
6
=
j
Rozwa»mypunkt
m
X
a
i
a
p
i
.
Jeston±rodkiemci¦»ko±ci(
P
m
i
=0
,i
6
=
j
a
i
a
=1)układu
m
punktówz
H
,czyli
p
2
H
.Zdrugiejstrony
p
=
i
=0
,i
6
=
j
m
X
a
i
pi
=
a
m
X
a
i
a
p
i
+
a
j
p
j
=
ap
+(1
−
a
)
p
j
2
H.
i
=0
i
=0
,i
6
=
j
Uwaga1
Powy»szestwierdzeniewymagatylkozało»enia
(
F
)
6
=2.
Bezjakiegokolwiekzało»eniaocharakterystyceciała
F
mo»naudowod-
ni¢,»ebyciepodprzestrzeni¡afiniczn¡jestrównowa»nezawieraniu±rodków
ci¦»ko±ciukładówtrójpunktowych.
Niechodt¡d,dlapodzbioruniepustego
H
E
,
S
(
H
)b¦dziezbiorem
wszystkichwektorów
−!
pq
takich,»e
p,q
2
H
.
1
Twierdzenie15.3
Niech
;6
=
H
E.WówczasHjestpodprzestrzeni¡
afiniczn¡przestrzeniafinicznejEwtedyitylkowtedy,gdyS
(
H
)
jestpod-
przestrzeni¡liniow¡przestrzeniliniowejV.
Dowód:
(
)Załó»my,»e
S
(
H
)jestpodprzestrzeni¡liniow¡
V
iwe¹my
dowolne
p
0
,p
1
2
H
oraz
a
0
2
F
.Wówczas
−−!
p
0
p
1
2
S
(
H
).Kład¡c
q
=
a
0
p
0
+
(1
−
a
0
)
p
1
otrzymujemy
−!
p
1
q
=
a
0
·
−−!
p
1
p
0
+(1
−
a
0
)
·
−−!
p
1
p
1
=(
−
a
0
)
·
−−!
p
0
p
1
2
S
(
H
)
(bo
S
(
H
)jestpodprzestrzeni¡liniow¡),czyli
q
2
H
.Namocystwierdzenia
15.2,
H
jestpodprzestrzeni¡afiniczn¡.
)
)Załó»my,»e
H
jestpodprzestrzeni¡afiniczn¡
E
iwe¹mydowolne
u,v
2
S
(
H
)oraz
a
2
R
.Wówczasistniej¡takiepunkty
p
1
,p
2
,q
1
,q
2
2
H
,»e
u
=
−−!
S
(
H
)
3
−!
p
1
r
=
−−!
p
1
q
1
+
−−!
p
1
q
2
−
−−!
p
1
p
2
=
−−!
p
1
q
1
+
−−!
p
2
q
2
=
u
+
v.
Zatem
S
(
H
)jestpodprzestrzeni¡liniow¡.
Definicja15.4
Je»eli
H
jestpodprzestrzeni¡afiniczn¡przestrzeniafinicz-
nej
E
,toprzedstawienie
H
wpostaci
H
=
p
+
S
(
H
)nazywamyjej
przed-
stawieniemliniowym
,asam¡podprzestrze«
S
(
H
)—
przestrzeni¡no±n¡
podprzestrzeni
H
.
Definicja15.5
Wymiarem
podprzestrzeniafinicznejnazywamywymiarjej
przestrzenino±nej.
Punktjestpodprzestrzeni¡afiniczn¡wymiaru0.Podprzestrze«afiniczn¡
wymiaru1nazywamy
prost¡
awymiaru2—
płaszczyzn¡
.
Je»eliprzestrze«afiniczna
E
jestwymiaru
n
(tzn.dim
V
=
n
),tojejpod-
przestrze«afiniczn¡wymiaru
k
nazywamy
k–wymiarow¡hiperpłaszczyzn¡
,
agdy
k
=
n
−
1—poprostu
hiperpłaszczyzn¡
.
Przykład15.6
ZgodnieztwierdzeniemKroneckera–Cappellego
k
–wymiarowa
hiperpłaszczyznaprzestrzeni
F
n
jestzbioremwszystkichrozwi¡za«układu
równa«liniowycho
n
niewiadomych,oilerz¡dmacierzyukładuwynosi
k
.
Wszczególno±cihiperpłaszczyzn¦
H
(kowymiaru1)przestrzeni
F
n
mo»na
opisa¢nast¦puj¡co
H
=
{
(
x
1
,...,x
n
)
2
F
n
;
a
1
x
1
+
...
+
a
n
x
n
=
b
}
,
gdzie
a
1
,...,a
n
,b
2
FR
orazistnieje
j
=1
,...,n
takie,»e
a
j
6
=0.
2
p
1
q
1
,
v
=
−−!
p
2
q
2
.
Zauwa»my,»e
a
·
u
=
−!
p
1
q
,gdzie
q
=
ap
1
+(1
−
a
)
q
1
2
H
.St¡d
au
2
S
(
H
).
Kład¡c
r
=1
·
q
1
+1
·
q
2
+(
−
1)
·
p
2
2
H
otrzymujemy,»e
Stwierdzenie15.7
Je»eli
H
1
,...,H
m
s¡podprzestrzeniamiafinicznymiprze-
strzeniafinicznej
E
oraz
H
1
\
...
\
H
m
6
=
;
,to
H
1
\
...
\
H
m
jestpodprze-
strzeni¡afiniczn¡przestrzeniafinicznej
E
oraz
S
(
H
1
\
...
\
H
m
)=
S
(
H
1
)
\
...
\
S
(
H
m
)
.
Dowód:
Niech
p
2
H
1
\
...
\
H
m
.Wystarczypokaza¢,»e
H
1
\
...
\
H
m
=
p
+
S
(
H
1
)
\
...
\
S
(
H
m
)
,
bocz¦±¢wspólnapodprzestrzeniliniowychjestpodprzestrzeni¡liniow¡.
Je»eli
q
2
H
1
\
...
\
H
m
,todlaka»dego
i
=1
,...,m
spełnionyjest
warunek
−!
pq
2
S
(
H
i
).Naodwrót,je»eli
q
2
p
+
S
(
H
1
)
\
...
\
S
(
H
m
),t
o
q
2
p
+
S
(
H
i
)=
H
i
dla
i
=1
,...,m
.
Przykład15.8
Cz¦±ci¡wspóln¡dwóchprostych(wprzestrzeniconaj-
mniejdwuwymiarowej)mo»eby¢zbiórpusty,punktalboprosta.
Cz¦±ci¡wspóln¡dwóchpłaszczyzn(wprzestrzeniconajmniejczterowy-
miarowej)mo»eby¢zbiórpusty,punkt,prostaalbopłaszczyzna.
Definicja15.9
Niech
H
1
,H
2
b¦d¡podprzestrzeniamiafinicznymiprzestrze-
niafinicznej
E
.Mówimy,»e
H
1
jest
równoległa
do
H
2
ipiszemy
H
1
k
H
2
,
gdy
S
(
H
1
)
S
(
H
2
)lub
S
(
H
2
)
S
(
H
1
).
Stwierdzenie15.10
Relacjarównoległo±cipodprzestrzeniafinicznychjest
1.zwrotnaisymetryczna.
2.relacj¡równoległo±ciwzbiorzepodprzestrzeniafinicznychtegosamego
wymiaru.
Dowód:
Cz¦±¢1jestoczywista,a2wynikazfaktu,»eje»eliprzestrze«
liniowa
k
–wymiarowa
W
1
jestzawartawprzestrzeniliniowej
k
–wymiarow
ej
W
2
,to
W
1
=
W
2
(stwierdzenie8.16).
Stwierdzenie15.11
(VpostulatEuklidesa)Niech
H
b¦dzie
k
–wymiarow¡
podprzestrzeni¡afiniczn¡przestrzeniafinicznej
E
.Dlaka»degopunktu
p
2
E
istniejedokładniejedna
k
–wymiarowapodprzestrze«afiniczna
H
0
zawie-
raj¡capunkt
p
irównoległado
H
.
Dowód:
Wystarczyprzyj¡¢
H
0
=
p
+
S
(
H
).
Zaló»myteraz,»e
H
1
jest
k
-wymiarow¡podprzestrzeni¡afiniczn¡prze-
chodz¡c¡przezpunkt
p
irównoległ¡do
H
.Wówczaszewzgl¦dunarówno±¢
wymiarówpodprzestrzeni
S
(
H
1
)=
S
(
H
)=
S
(
H
0
),sk¡d
H
1
=
p
+
S
(
H
1
)
=
p
+
S
(
H
)=
H
0
.
3
Uwaga2
Mo»liwo±¢udowodnieniaVpostulatuEuklidesawynikazoparcia
geometriiafinicznejnaprzestrzeniliniowej
R
n
.
Istniej¡modelegeometrii,wktórejwszystkiepostulatyEuklidesapoza
pi¡tyms¡spełnione,aistniejeniesko«czeniewieleró»nychprostychprze-
chodz¡cychprzezdanypunktirównoległychdodanejprostej.
Tak¡geometri¡jestgeometriaBolyai–Łobaczewskiegolubinaczejgeo-
metriahiperboliczna.Wwymiarze2cał¡przestrzeni¡(czylipłaszczyzn¡)
jestotwartekołojednostkowe,aprostymi—±rednicetegokołaiłukiokr¦-
gówprostopadłychdobrzegutegokoła.
4
Plik z chomika:
BYSTRYYY_88
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Automatyka
Certyfikacja i Akredytacja
Elektrotechnika
Grafika
Grafika_aCad
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin