17.pdf
(
101 KB
)
Pobierz
729610097 UNPDF
17Przekształceniaafiniczne
Załó»my,»e
V,V
0
s¡przestrzeniamiliniowyminadtymsamymciałem
F
,
za±(
E,V,
−!
)(
E
0
,V
0
,
−!
))przestrzeniamiafinicznymi.
Definicja17.1
Niech
f
bedziefunkcj¡działaj¡c¡zezbioru
E
wzbiór
E
0
.
Funkcj¦
f
nazywamy
przekształceniemafinicznym
,je»eli±rodekci¦»ko±ci
dowolnegoukładupunktówz
E
przekształcana±rodekci¦»ko±ciichobrazów
otychsamychwagach.
Przykład17.2
1.W
F
n
ka»deprzekształcenie,dlaktóregowspółrz¦d-
neobrazus¡kombinacjamiliniowymiwspółrz¦dnychprzekształcanego
punktuiwyrazówwolnych,jestprzekształceniemafinicznym.
2.Wprzestrzeni
E
2
funkcjaokre±lonadlapewnego
k>
0wzorem
(
x
1
,x
2
)
7!
(
x
1
,kx
2
)
,
zwana
powinowactwemprostok¡tnymoskalikwzgledem
1
–szejosi
,
jestprzekształceniemafnicznym.
Stwierdzenie17.3
Niech
V
b¦dzieprzestrzeni¡liniow¡nadciałemcha-
rakterystyki0.
Funkcja
f
:
E
!
E
0
jestprzekształceniemafinicznymwtedyitylko
wtedy,gdy
(AT)
8
p,q
2
E
8
a
2
F
f
((1
−
a
)
p
+
aq
)=(1
−
a
)
f
(
p
)+
af
(
q
)
.
Dowód:
jestanalogicznydodowodustwierdzenia15.2.
Stwierdzenie17.4
Funkcja
f
:
E
!
E
0
jestprzekształceniemafinicznym
wtedyitylkowtedy,gdyistniejeprzekształcenieliniowe
'
:
V
!
V
0
takie,»e
dlapewnego(odpowiednio:dowolnego)punktu
p
2
E
idowolnegowektora
v
2
V
zachodzirówno±¢
f
(
p
+
v
)=
f
(
p
)+
'
(
v
)
.
Dowód:
)
)Załó»my,»e
f
jestprzekształceniemafinicznym.Niech
p
2
E
,
v
1
,v
2
2
V
oraz
a
1
,a
2
2
F
.Połó»my
'
(
v
)=
−−−−−−−−−!
f
(
p
)
f
(
p
+
v
)dla
v
2
V
.
Zdefinicjiprzekształceniaaficznegowynika,»e
f
(
p
+
a
1
v
1
+
a
2
v
2
)=
f
((1
−
a
1
−
a
2
)
p
+
a
1
(
p
+
v
1
)+
a
2
(
p
+
v
2
))
=(1
−
a
1
−
a
2
)
f
(
p
)+
a
1
f
(
p
+
v
1
)+
a
2
f
(
p
+
v
2
)
St¡d
a
1
'
(
v
1
)+
a
2
'
(
v
2
)=
a
1
−−−−−−−−−!
f
(
p
)
f
(
p
+
v
2
)=
a
1
'
(
v
1
)+
a
2
'
(
v
2
)
,
1
f
(
p
)
f
(
p
+
v
1
)+
a
2
−−−−−−−−−!
Czyli
'
jestprzekształceniemliniowymprzydowolnymwyborzepunktu
p
.
(
)Niech
p
2
E
orazprzekształcenieliniowe
'
:
V
!
V
0
b¦d¡takie,»e
dla
v
2
V
spelnionyjestwarunek
f
(
p
+
v
)=
f
(
p
)=
'
(
v
).
Załó»my,»e
(
F
)=0niech
p,q
2
E
oraz
a
2
F
.Otrzymujemy
f
((1
−
a
)
q
+
ar
)=
f
(
p
+(1
−
a
)
−!
pq
+
a
−!
pr
)
=
f
(
p
)+
'
(
p
+(1
−
a
)
−!
pq
+
a
−!
pr
)
=
f
(
p
)+(1
−
a
)
'
(
−!
pq
)+
a'
(
−!
pr
)
=(1
−
a
)(
f
(
p
)+
'
(
−!
pq
))+
a
(
f
(
p
)+
'
(
−!
pr
))
=(1
−
a
)
f
(
q
)+
af
(
r
)
,
cowrazzestwierdzeniem17.3gwarantujeafiniczno±¢przekształcenia
f
.
Przypadek
(
F
)
6
=0rozpatrujemyanalogicznie—wystarczywzi¡¢tr
zy
punkty.
Wniosek17.5
Przekształcenieafiniczneprzekształcasko«czeniewymiaro-
w¡podprzestrze«afiniczn¡
H
przestrzeniafinicznej
E
napodprzestrze«afi-
niczn¡przestrzeniafinicznej
E
0
wymiarunieprzekraczaj¡cegodim
H
.
Dowód:
Zdefinicjiprzekształcenieafiniczneprzekształcapodprzestrze«
afiniczn¡napodprzestrze«afiniczn¡.
Je»eli
'
:
V
!
V
0
jestprzekształceniemliniowympochodz¡cymod
przekształceniaafinicznego
f
:
E
!
E
0
,
H
jestpodprzestrzeni¡afiniczn¡
przestrzeniafinicznej
E
,dim
H<
1
,toztwierdzenia9.11dostajemy
dim
S
(
H
)=dimker
'
|
S
(
H
)
+dim
'
(
S
(
H
))
Zatemdim
f
(
H
)=dim
'
(
S
(
H
))
¬
dim
S
(
H
)=dim
H
.
Wniosek17.6
Ró»nowarto±cioweprzekształcenieafiniczneprzekształcapod-
przestrze«
k
–wymiarow¡napodprzestrze«afiniczn¡
k
–wymiarow¡.
Dowód:
Ró»nowarto±ciowo±¢przekształceniaafinicznegoimplikujeró»-
nowarto±ciowo±¢pochodz¡cegoodniegoprzekształcenialiniowegoitezaw
y-
nikazwniosku17.5wpoł¡czeniuzestwierdzeniem9.10.
Definicja17.7
Translacj¡
(
przesuni¦ciemrównoległym
)owektor
v
2
V
nazywamyprzekształcenie
T
v
:
E
!
E
danewzorem
T
v
(
x
)=
x
+
v
dla
x
2
E.
Uwaga1
Cz¦stomówisi¦,»eprzekształcenieafinicznejestzło»eniemprze-
kształcenialiniowegoztranslacj¡,coodpowiadastwierdzeniu17.4pouto»-
samieniuprzestrzeniliniowej
V
zprzestrzeni¡afiniczn¡
p
+
V
(odpowiednio
przestrzeni
V
0
zprzestrzeni¡
f
(
p
)+
V
0
).
2
Stwierdzenie17.8
Ka»datranslacjajestprzekształceniemafinicznym.
Zbiórtranslacjizdziałaniemskładaniastanowigrup¦izomorficzn¡z
grup¡(
V,
+).
Dowód:
Przekształceniemliniowymdlatranslacji
T
v
jestid
V
.
Niech
T
b¦dziezbioremwszystkichtranslacji.Zauwa»my,»ezestwier-
dzenia14.5(4)wynikaprawdziwo±¢wzoru
T
u
T
v
=
T
u
+
v
dla
u,v
2
V.
St¡dnatychmiastwynikawewn¦trzno±¢działaniaskładaniaw
T
orazwzór
naelementneutralny
T
jakiodwrotny(
T
v
)
−
1
=
T
−
v
.
Izomorfizmgrupy(
T
,
)nagrup¦(
V,
+)jestdanywzorem
T
v
7!
v
.
Stwierdzenie17.9
Je»eli
H
i
H
0
s¡takimpodprzestrzeniamiafinicznymi
przestrzeni
E
,»e
S
(
H
)
S
(
H
0
)=
V
oraz
p
2
E
,tozbiór(
p
+
S
(
H
0
))
\
H
jestjednoelementowy.
Dowód:
Niech
r
2
H
.Wówczaszzało»eniaistniej¡wektory
u
2
S
(
H
)
oraz
u
0
2
S
(
H
0
)takie,»e
−!
pr
=
u
+
u
0
.Bior¡c
q
=
p
+
−!
pr
−
u
otrzymujemy
−!
pq
=
−!
pr
−
u
=
u
0
,sk¡d
q
2
p
+
S
(
H
0
).Ponadto
q
=
r
−
u
2
H
.Zatemzbiór
(
p
+
S
(
H
0
))
\
H
jestniepusty.
Zestwierdzenia15.7izało»eniawynika,»e(
p
+
S
(
H
0
))
\
H
jestpodprze-
strzeni¡afiniczn¡,ajejprzestrze«no±najestrówna
S
(
H
)
\
S
(
H
0
)=
{
}
,
czyli(
p
+
S
(
H
0
))
\
H
jestpodprzestrzeni¡jednopunktow¡.
Definicja17.10
Niech
H,H
0
b¦d¡podprzestrzeniamiafinicznymiprzestrze-
niafinicznej
E
takimi,»e
S
(
H
)
S
(
H
0
)=
V
.
Rzutemrównoległymna
podprzestrze«HwkierunkupodprzestrzeniH
0
nazywamyprzekształcenie
H
0
H
(
p
)
2
(
p
+
S
(
H
0
))
\
H
.
Twierdzenie17.11
(Talesa)
Ka»dyrzutrównoległyjestprzekształceniem
afinicznym.
Dowód:
Niech
bedzierzutemrównoległymnapodprzestrze«
H
w
kierunkupodprzestrzeni
H
0
.
We¹mydowolne
p,q
2
E
oraz
a
2
F
.Połó»my
r
=(1
−
a
)
p
+
aq
.
Niech
p
0
,q
0
2
H
b¦d¡odpowiedniorzutamipunktów
p,q
.Wówczasist-
niej¡wektory
u
0
,v
0
2
S
(
H
0
)takie,»e
p
0
=
p
+
u
0
,
q
0
=
q
+
v
0
.Poka»emy,»e
punkt
r
0
=(1
−
a
)
p
0
+
aq
0
jestrzutempunktu
r
.
3
H
:
E
!
H
przypisuj¡cedowolnemupunktowi
p
2
E
jedynypunkt
H
0
Mamy,»e
−!
rr
0
=(1
−
a
)
−!
rp
0
+
a
−!
rq
0
=(1
−
a
)
−−−−−−−−−!
q
+
−!
qr,q
+
v
0
=(1
−
a
)(
u
0
−
−!
pr
)+
a
(
v
0
−
−!
qr
)
=(1
−
a
)
u
0
+
av
0
+(1
−
a
)
−!
rp
+
a
−!
rq
=(1
−
a
)
u
0
+
av
0
2
S
(
H
0
)
.
p
+
−!
pr,p
+
u
0
+
a
−−−−−−−−−!
St¡d
r
0
2
(
r
+
S
(
H
0
))
\
H
izjednoznaczno±citakiegopunktu
r
0
=
(
r
).
Rozumowaniepowy»szedziaładla
(
F
)=0;je»eli
(
F
)
6
=0wystarc
zy
rozwa»y¢trzypunkty.
Definicja17.12
Jednokładno±ci¡
(
homoteti¡
)o±rodku
p
2
E
iskali
s
6
=0
nazywamyprzekształcenie
J
s
p
:
E
!
E
danewzorem
J
s
p
(
x
)=
p
+
s
·
−!
px
dla
x
2
E.
Stwierdzenie17.13
Ka»dajednokładno±¢jestprzekształceniemafinicz-
nym.
Dlaustalonegopunktu
p
zbiórwszystkichjednokładno±cio±rodku
p
z
działaniemskładaniatworzygrup¦izomorficzn¡zgrup¡(
F
\{
0
}
,
·
).
Dowód:
Abywykaza¢,»e
J
s
p
jestprzekształceniemafinicznymwystar-
czyzauwa»y¢,»ejegoprzekształceniemliniowymjest
s
·
id
V
.
Niech
J
p
b¦dziezbioremwszystkichjednokładno±cio±rodku
p
.Zauwa»-
my,»e
p
J
s
2
p
=
J
s
1
s
2
p
dla
s
1
,s
2
6
=0
.
Istotnie,
p
J
s
2
p
(
x
)=
J
s
1
p
(
p
+
s
2
·
−!
px
)=
p
+
s
1
·
−−−−−−−−−!
p,p
+
s
2
·
−!
px
=
p
+
s
1
s
2
−!
px
=
J
s
1
s
2
p
(
x
)
.
St¡dnatychmiastwynikawewn¦trzno±¢działaniaskładaniaw
J
p
orazwzór
naelementneutralny
J
1
p
jakiodwrotny
p
.
Izomorfizmgrupy(
J
p
,
)nagrup¦(
F
\{
0
}
,
·
)jestdanywzorem
J
s
p
7!
s
.
J
s
p
−
1
=
J
1
s
4
J
s
1
J
s
1
Plik z chomika:
BYSTRYYY_88
Inne pliki z tego folderu:
19.pdf
(101 KB)
18.pdf
(105 KB)
17.pdf
(101 KB)
16.pdf
(93 KB)
15.pdf
(91 KB)
Inne foldery tego chomika:
Automatyka
Certyfikacja i Akredytacja
Elektrotechnika
Grafika
Grafika_aCad
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin