WYTRZYMAŁOŚĆ  MATERIAŁÓW

Wykład  VIII

Hipotezy wytrzymałościowe. Wytrzymałość złożona

1. Przestrzenny (trójkierunkowy) stan naprężenia

              Niesprężyste zachowanie się materiału (jego uplastycznienie) w elemencie konstrukcyjnym może nastąpić nawet wtedy, gdy żadna ze składowych stanu naprężenia nie osiągnie granicy plastyczności przy jednokierunkowym rozciąganiu (s = spl). A zatem w trójkierunkowym stanie naprężenia uplastycznienie materiału (w większości przypadków równoznaczne z utratą nośności danego elementu konstrukcyjnego) zależy od  pewnej wielkości fizycznej będącej funkcją wszystkich składowych stanu naprężenia. Wielkość tę nazywamy naprężeniem zredukowanym.

Ponieważ w większości przypadków ważnych z punktu widzenia praktyki inżynierskiej mamy do czynienia ze złożonym stanem obciążenia, który powoduje powstanie trójkierunkowego stanu naprężenia w konstrukcji, znalezienie funkcji określającej w takim przypadku kryterium uplastycznienia materiału (lub ogólniej-kryterium wytężenia) jest jednym z podstawowych zagadnień wytrzymałości materiałów.  Kryteria te określane są jako hipotezy  wytrzymałościowe.

              Główną ideą, stosowaną przy sformułowaniu takiej hipotezy jest porównanie trójkierunkowego, ogólnego stanu naprężenia ze stanem jednokierunkowego rozciągania/ściskania, w którym możemy ściśle określić, kiedy nastąpi uplastycznienie materiału, tj. kiedy s = spl.

Sprowadza się to do znalezienia funkcji

f (sij) = spl

gdzie sij  są składowymi stanu naprężenia tworzącą macierz zwaną tensorem naprężenia.

Warunek wytrzymałościowy:         f (sij) = sred < sdop

W wytrzymałości materiałów sformułowano cztery główne hipotezy dotyczące jednorodnego materiału izotropowego .

              2. Hipotezy wytrzymałościowe

2.1. Hipoteza największych naprężeń normalnych (smax)

                                  Wiliam Rankine (1820-1872)

              Według tej hipotezy o uplastycznieniu (wytężeniu) materiału decyduje największe naprężenie normalne występujące w najbardziej zagrożonym punkcie ciała materialnego.

                         f = max (s1, s2, s3 ) = spl                                                                                        (1)

gdzie s1, s2, s3  są naprężeniami głównymi w trójkierunkowym stanie naprężenia. Ponieważ w wytrzymałości materiałów przyjęto konwencję s1,> s2,> s3 , zatem

                              s1 = spl                                                                                                                                                                       (1a)

                                          sred = s1                                      

Hipoteza powyższa jest bardzo mało dokładna i obecnie ma znaczenie tylko historyczne, aczkolwiek stosowana bywa czasem do materiałów kruchych (skała, kamień, beton).

2.2.Hipoteza największego wydłużenia względnego (emax)

Barre de Saint-Venant (1797-1886)

Hipoteza ta stwierdza, że za uplastycznienie (wytężenie) materiału odpowiedzialne jest największe wydłużenie względne. Zatem uplastycznienie w trójkierunkowym stanie naprężenia nastąpi , kiedy wydłużenie względne w tym stanie osiągnie wartość taką jak odpowiednie wydłużenie przy jednokierunkowym rozciąganiu/ściskaniu, które wynosi emax =spl              /E.

Zatem naprężenie zredukowane  przyjmuje postać:

                          se = max [ si - n (sj +  sk) ]                                                           (2)                               

                                            i ¹j ¹ k

Hipoteza emax daje znacznie lepszą zgodność z wynikami eksperymentów niż metoda smax i była powszechnie stosowana jeszcze w początkach XX-tego wieku. Obecnie bywa stosowana  dla materiałów kruchych (kamień, beton, żeliwo).

2.3 .Hipotaza największych naprężeń stycznych (tmax)

      Coulomb(1730 – 1806),  (Tresca  (1864)

Według tej hipotezy uplastycznienie materiału następuje w punkcie, w którym maksymalne naprężenie styczne osiąga wartość taką, jak maksymalne naprężenie styczne przy jednokierunkowym rozciąganiu/sciskaniu.  W trójkierunkowym stanie naprężenia maksymalne naprężenie styczne wynosi:

(wynika to z koła Mohra dla trójkierunkowego stanu naprężenia – słuchacz wykładu znajdzie wyjaśnienie tej kwestii)

podczas gdy przy jednokierunkowym rozciąganiu   tmax = spl/2.  Zatem kryterium uplastycznienia (wytężenia) materiału przyjmuje postać:

                                                                                                           (3)

zaś naprężenie zredukowane ma postać:

                                                        sred = s1 -  s3 = 2k                                                         (3a)

gdzie

            k = jest granicą plastyczności przy czystym ścinaniu.

Hipoteza tmax , zwana też hipotezą Tresci,  jest obecnie powszechnie stosowana w obliczeniach inżynierskich, na równi z hipotezą Hubera (omówioną niżej), która daje wyniki najbardziej zgodne z doświadczeniem.

2.4. Hipoteza Hubera (największej energii odkształcenia postaciowego)

Huber (1904), von Mises (1913)

Hipoteza ta stwierdza, że uplastycznienie materiału następuje w punkcie, w którym energia odkształcenia postaciowego osiągnie wartość równą energii odkształcenia postaciowego pręta poddanego jednokierunkowemu rozciąganiu/ściskaniu potrzebną do jego uplastycznienia. Innymi słowy, energia odkształcenia postaciowego ciała materialnego jest odpowiedzialna za uplastycznienie materiału tego ciała.  Całkowita energia odkształcenia sprężystego  U0 przypadająca na jednostkę objętości składa się z dwu części:

gdzie Uv = jest energią odkształcenia objętościowego

zaś drugi składnik

                                                                 (a)

jest energią odkształcenia  postaciowego [G = E/ (1+n)].

Energia odkształcenia postaciowego dla jednokierunkowego rozciągania wynosi

                                                                                                                          (b)

Porównując prawe strony (a) i (b) otrzymujemy

             [ (s1 -s2)2 + (s2 - s3)2 + (s3 - s1)2]  = spl 2                                                  (4a)                       

Zatem naprężenie zredukowane według hipotezy Hubera wynosi

                                                    (4)

              3. Podstawowe przypadki płaskiego stanu naprężenia (s1 > s2 > s3)

3.1.    s2 = 0, s3 <0

              - hipoteza Tresci ,hipoteza de Saint-Venanta

              - hipoteza Hubera

3.2.    s3 = 0, s1 > s2 >0

              - hipoteza Tresci, hipoteza hipoteza de Siant-Venanta

              - hipoteza Hubera

4.          Podstawowy przypadek wytrzymałości złożonej – wał o przekroju kołowym, poddany   zginaniu i skręcaniu

4.1. Hipoteza Treski (tmax)

                                                                                                                (5)

gdzie s - naprężenie gnące, t - naprężenie skręcające w przekroju poprzecznym wału

                               (5a)

gdzie Mzast = – moment zastępczy.

4.2. Hipoteza Hubera

                                                                                                                (6)

lub

                                ...