euler.pdf
(
91 KB
)
Pobierz
R
ó
wnania r
ó
»niczkowe - wstƒp
Naszym zadaniem bƒdzie aproksymacja rozwi¡zania
y
zagadnienia Cau-
chy’ego:
dy
dt
=
f
(
t;y
) dla
a·t·b;
(1)
z warunkiem pocz¡tkowym
y
(
a
)=
®:
(2)
O funkcji
f
(
t;y
)m
ó
wimy, »e spe“nia warunek Lipschitza ze wzglƒdu na
zmienn¡
y
na zbiorze
D½R
2
, je»eli istnieje sta“a
L>
0taka, »e
jf
(
t;y
1
)
¡f
(
t;y
2
)
j·Ljy
1
¡y
2
j
dla dowolnych(
t;y
1
),(
t;y
2
)
2D
.
Twierdzenie: Niech
f
(
t;y
)bƒdzie funkcj¡ ci¡g“¡ na zbiorze
D
=
f
(
t;y
):
a·t·b;¡1<y<1g
. Je»eli
f
spe“nia na zbiorze
D
warunek Lipschitza
ze wzglƒdu na zmienn¡
y
, to zagadnienie pocz¡tkowe (1) + (2) posiada jedyne
rozwi¡zanie
y
(
t
)dla
t2
[
a;b
].
O zagadnieniu pocz¡tkowym (1) + (2) m
ó
wimy, »e jest dobrze posta-
wione, je–li spe“nione s¡ nastƒpuj¡ce warunki:
²
istnieje jedyne rozwi¡zanie
y
(
t
)tego zagadnienia,
²
istniej¡ sta“e dodatnie
"
i
k
o tej w“asno–ci, »e jedyne rozwi¡zanie
z
(
t
)
zagadnienia pocz¡tkowego
dz
dt
=
f
(
t;z
)+
±
(
t
)
;a·t·b;z
(
a
)=
®
+
"
0
;
istnieje oraz spe“nia warunek
jz
(
t
)
¡y
(
t
)
j<k"
dla wszystkich
t2
[
a;b
], o ile
j"
0
j<"
oraz
j±
(
t
)
j<"
.
Twierdzenie: Niech
D
=
f
(
t;y
):
a·t·b;¡1<y<1g
. Zagadnie-
nie pocz¡tkowe
dy
dt
=
f
(
t;y
)
;a·t·b;y
(
a
)=
®;
jest dobrze postawione, je»eli
f
jest funkcj¡ ci¡g“¡ i spe“nia na zbiorze
D
warunek Lipschitza ze wzglƒdu na zmienn¡
y
.
1
Metoda Eulera
Chocia» metoda Eulera w praktyce jest rzadko stosowana, jej prostota
pozwala na ilustracjƒ technik u»ywanych w bardziej zaawansowanych meto-
dach. Naszym celem jest otrzymanie przybli»enia rozwi¡zania zagadnienia
pocz¡tkowego
dy
dt
=
f
(
t;y
)
;a·t·b;y
(
a
)=
®:
(3)
‘
ci–lej m
ó
wi¡c, w metodzie tej nie otrzymamy ci¡g“ego przybli»enia rozwi¡-
zania
y
tego zagadnienia, lecz jedynie przybli»enia tego rozwi¡zania w r
ó
»-
nych punktych, zwanych siatk¡. Przybli»enia rozwi¡zania
y
w pozosta“ych
punktach uzyskuje siƒ na drodze interpolacji.
Przyjmijmy zatem, »e punkty siatki
ft
0
;t
1
;t
2
;:::;t
n
g
s¡ roz“o»one na
ca“ym przedziale[
a;b
]w jednakowych odleg“o–ciach. W
ó
wczas
t
i
=
a
+
ih; i
=0
;
1
;
2
;:::;n:
Wsp
ó
ln¡ odleg“o–¢ miƒdzy punktami,
h
=(
b¡a
)
=n
, nazywamy krokiem
metody. Aby wyprowadzi¢ metodƒ Eulera skorzystamy z rozwiniƒcia funkcji
w szereg Taylora.
Przypu–¢my, »e funkcja
y
(
t
), jedyne rozwi¡zanie zagadnienia (3) jest dwu-
krotnie r
ó
»niczkowalna w spos
ó
b ci¡g“y na przedziale[
a;b
], a zatem dla ka»-
dego
i
=0
;
1
;
2
;:::;n
mo»emy zapisa¢:
y
(
t
i
+1
)=
y
(
t
i
)+(
t
i
+1
¡t
i
)
y
0
(
t
i
)+
(
t
i
+1
¡t
i
)
2
2
y
00
(
³
i
)
dla pewnego
³
i
2
(
t
i
;t
i
+1
).
Stosuj¡c notacjƒ
h
=
t
i
+1
¡t
i
, dostajemy
y
(
t
i
+1
)=
y
(
t
i
)+
hy
0
(
t
i
)+
h
2
2
y
00
(
³
i
)
;
a poniewa»
y
(
t
)spe“nia (3) mamy
y
(
t
i
+1
)=
y
(
t
i
)+
hf
(
t
i
;y
(
t
i
))+
h
2
2
y
00
(
³
i
)
:
Metoda Eulera tworzy warto–ci
w
i
¼y
(
t
i
)dla ka»dego
i
=1
;
2
;:::;n
,
zgodnie ze wzorem
w
0
=
®;
w
i
+1
=
w
i
+
hf
(
t
i
;w
i
)
:
2
Szacowanie b“ƒd
ó
w
Twierdzenie: Niech
y
(
t
)bƒdzie jedynym rozwi¡zaniem dobrze posta-
wionego zagadnienia pocz¡tkowego
y
0
=
f
(
t;y
)
;a·t·b;y
(
a
)=
®;
za–
w
0
;w
1
;w
2
;:::;w
n
bƒd¡ przybli»eniami generowanymi przez metodƒ Eu-
lera dla pewnej liczby dodaniej
n
. Je–li
f
spe“nia warunek Lipschitza ze sta“¡
L
na zbiorze
D
=
f
(
t;y
):
a·t·b;¡1<y<1g
oraz istnieje sta“a
M
o
tej w“asno–ci, »e
jy
00
(
t
)
j·M
dla wszystkich
t2
[
a;b
]
;
to
³
´
jy
(
t
i
)
¡w
i
j·
hM
e
L
(
t
i
¡a
)
¡
1
2
l
dla ka»dego
i
=0
;
1
;
2
;:::;n
.
Istotno–¢ powy»szej formu“y polega na tym, »e zale»y ona liniowo od wiel-
ko–ci kroku metody
h
. A zatem zmniejszanie wielko–ci kroku powinno da¢
wiƒksz¡ dok“adno–¢ wyniku. Niestety, formu“a ta nie bierze pod uwagƒ faktu,
»e zmniejszanie kroku metody powoduje wzrost ilo–ci oblicze«, a co zatem
idzie wzrost b“ƒd
ó
w zaokr¡gle«. W rzeczywisto–ci, nie liczymy
w
0
;w
1
;:::;w
n
,
ale
u
0
=
b
®;
u
i
=
u
i¡
1
+
hf
(
t
i¡
1
;u
i¡
1
)+
±
i
dla ka»dego
i
=1
;
2
;:::;n
, gdzie
b
®
jest przybli»eniem warto–ci pocz¡tkowej
®
,
a
±
i
oznaczaj¡
b“ƒdy
zaokr¡gle«
zwi¡zane
z
obliczaniem
u
i¡
1
+
hf
(
t
i¡
1
;u
i¡
1
).
Twierdzenie: Niech
y
(
t
)bƒdzie jedynym rozwi¡zaniem dobrze posta-
wionego zagadnienia pocz¡tkowego
y
0
=
f
(
t;y
)
;a·t·b;y
(
a
)=
®;
oraz
u
0
;u
1
;u
2
;:::;u
n
bƒd¡ odpowiednimi przybli»eniami tego rozwi¡zania.
Je–li
j±
i
j<±
dla ka»dego
i
=0
;
1
;
2
;:::;n
, gdzie
±
0
=
b
®¡®
oraz zachodzi
teza wcze–niejszego twierdzenia to
³
hM
´³
´
jy
(
t
i
)
¡u
i
j·
1
L
2
+
±
e
L
(
t
i
¡a
)
¡
1
+
j±
0
je
L
(
t
i
¡a
)
h
3
dla ka»dego
i
=0
;
1
;
2
;:::;n
.
Jak widzimy, b“¡d nie zale»y ju» w spos
ó
b liniowy od wielko–ci
h
, a co
gorsza, poniewa»
³
hM
´
2
+
±
lim
h!
0
=
1;
h
mo»emy spodziewa¢ siƒ, »e b“¡d ten bƒdzie bardzo du»y dla wystarczaj¡co
ma“ych warto–ci
h
. Zwyk“e techniki obliczeniowe pozwalaj¡ nam ustali¢ od-
powiedni¡ wielko–¢ kroku
h
. Bior¡c bowiem
E
(
h
)=(
hM=
2)+(
±=h
)mamy
E
0
(
h
)=(
M=
2)
¡
(
±=h
2
).
q
2
±=M
to
E
0
(
h
)
<
0i
E
(
h
)maleje.
²
Je–li
h>
q
2
±=M
to
E
0
(
h
)
>
0i
E
(
h
)ro–nie.
²
Je–li
h<
Najmniejsza warto–¢
E
(
h
)wystƒpuje wtedy, kiedy
q
h
=
2
±=M
;
zmiejszanie kroku
h
poza t¡ warto–¢ powoduje zwiƒkszanie b“ƒdu globalnego
aproksymacji.
4
Plik z chomika:
graviora
Inne pliki z tego folderu:
179.48_notebook_winvista_32bit_beta.exe
(125853 KB)
WIFI_RTL8187-1230.zip
(5358 KB)
asa.doc
(19 KB)
Paulina Janowiak.doc
(1077 KB)
bisekcja.pdf
(62 KB)
Inne foldery tego chomika:
08. Czwórniki równoważne
203
304
Automatyka
automatykaa
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin