calki.pdf

(84 KB) Pobierz
Wstƒp
Ca“kowanie funkcji nie zawsze jest “atwe. Problemy pojawiaj¡ siƒ wtedy,
kiedy funkcja podca“kowa nie posiada jawnej funkcji pierwotnej lub kiedy
tak¡ funkcjƒ pierwotn¡ bardzo trudno wyznaczy¢. Z pomoc¡ przychodz¡
nam wtedy kwadratury numeryczne, czyli wyra»enia postaci:
n P
a i f ( x i )s“u-
i =0
b R
»¡ce aproksymacji
f ( x ) dx . Podstaw¡ stosowania kwadratur s¡ metody in-
terpolacji wielomianowej, a g“ ó wnie interpolacja Lagrange’a i Newtona.
Za“ ó »my, »e dany jest zbi ó r wƒz“ ó w fx 0 ;x 1 ;:::;x n g pochodz¡cych z prze-
dzia“u[ a;b ]. Je–li P n jest wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a
a
n X
n Y
x¡x k
P n ( x )=
f ( x i ) L i ( x ) ( L i ( x )=
x i ¡x k )
i =0
k =0
to
Z b
Z b
( P n ( x )+ f ( n +1) ( ³ ( x ))
f ( x ) dx =
( n +1)! ( x¡x 0 )( x¡x 1 ) ¢¢¢ ( x¡x n )) dx
a
a
Z b
Z b
n X
n Y
( x¡x i ) f ( n +1) ( ³ ( x ))
=
f ( x i ) L i ( x ) dx +
( n +1)! dx
a
a
i =0
i =0
Z b
n X
n Y
a i f ( x i )+ 1
( n +1)!
( x¡x i ) f ( n +1) ( ³ ( x )) dx;
=
a
i =0
i =0
b R
gdzie a i =
L i ( x ) dx dla ka»dego i =0 ; 1 ;:::;n , ³ ( x ) 2 [ a;b ]dla ka»dego x .
Zanim bƒdziemy rozwa»a¢ og ó lny przypadek sprawd„my, co otrzymamy
stosuj¡c interpolacjƒ wielomianami Lagrange’a stopnia 1 i 2, przy wƒz“ach
r ó wnoodleg“ych. Pierwsza nosi nazwƒ metody trapez ó w, a druga regu“y
Simpsona.
a
Metoda trapez ó w
Wielomian Lagrange’a 1 stopnia: P 1 ( x )= x¡x 1
x 0 ¡x 1 f ( x 0 )+ x¡x 0
x 1 ¡x 0 f ( x 1 ).
Niech a = x 0 , b = x 1 , h = b¡a = x 1 ¡x 0 . Wtedy
Z b
a f ( x ) dx =
Z x 1
h x¡x 1
i
dx +
x 0 ¡x 1 f ( x 0 )+ x¡x 0
x 1 ¡x 0 f ( x 1 )
x 0
Z x 1
+ 1
2
( x¡x 0 )( x¡x 1 ) f 00 ( ³ ( x )) dx:
x 0
Poniewa»( x¡x 0 )( x¡x 1 )nie zmienia znaku na przedziale[ x 0 ;x 1 ], mo»emy
zastosowa¢ twierdzenie o warto–ci –redniej dla ca“ek.
1
887109350.004.png 887109350.005.png
 
Twierdzenie: Je–li f2C [ a;b ], g jest ca“kowalna na[ a;b ]oraz g ( x )nie
zmienia znaku na przedziale[ a;b ]to istnieje liczba c , a<c<b taka, »e
Z b
Z b
f ( x ) g ( x ) dx = f ( c )
g ( x ) dx:
a
a
Mamy zatem
Z x 1
Z x 1
f 00 ( ³ ( x ))( x¡x 0 )( x¡x 1 ) dx = f 00 ( ³ )
( x¡x 0 )( x¡x 1 ) dx
x 0
x 0
= 1
6 f 00 ( ³ )( x 3 0 ¡ 3 x 2 0 x 1 +3 x 0 x 2 1 ¡x 3 1 )= ¡ 1
6 f 00 ( ³ ) h 3 :
Wobec tego
Z b
a f ( x ) dx =
h ( x¡x 1 ) 2
i x 1
2( x 0 ¡x 1 ) f ( x 0 )+ ( x¡x 0 ) 2
x 0 ¡ h 3
12 f 00 ( ³ )
2( x 1 ¡x 0 ) f ( x 1 )
h ( x 1 ¡x 0 )
2 ( f ( x 1 )+ f ( x 0 ))
i
¡ h 3
12 f 00 ( ³ )
=
= h
2 ( f ( x 1 )+ f ( x 0 )) ¡ h 3
12 f 00 ( ³ ) :
Zauwa»my, »e metoda trapez ó w daje dok“adny wynik, je–li stosuje siƒ j¡
do funkcji, kt ó rych druga pochodna siƒ zeruje (tzn. do wielomian ó w stopnia
1 i sta“ych).
Regu“a Simpsona
W regule Simpsona wykorzystujemy wielomian Lagrange’a stopnia 2,
zbudowany na trzech wƒz“ach: x 0 = a , x 1 =( a + b ) = 2i x 2 = b (tutaj
h =( b¡a ) = 2). Zatem
Z b
Z x 2
h ( x¡x 1 )( x¡x 2 )
( x 0 ¡x 1 )( x 0 ¡x 2 ) f ( x 0 )+ ( x¡x 0 )( x¡x 2 )
f ( x ) dx =
( x 1 ¡x 0 )( x 1 ¡x 2 ) f ( x 1 )+
a
x 0
i
dx +
+ ( x¡x 0 )( x¡x 1 )
( x 2 ¡x 0 )( x 2 ¡x 1 ) f ( x 2 )
Z x 2
h ( x¡x 0 )( x¡x 1 )( x¡x 2 )
i
dx:
6 f (3) ( ³ ( x ))
+
x 0
Stosuj¡c rozumowanie analogiczne do metody trapez ó w dostajemy ko«cowy
wz ó r: Z x 2
f ( x ) dx = h
3 ( f ( x 0 )+4 f ( x 1 )+ f ( x 2 )) ¡ h 5
90 f (4) ( ³ ) :
Zauwa»my, »e regu“a Simpsona daje dok“adny wynik dla wielomian ó w stop-
nia 3 lub mniej.
x 0
2
887109350.006.png 887109350.001.png 887109350.002.png
Formu“y Newtona-Cotesa
Metoda trapez ó w i regu“a Simpsona s¡ przyk“adami klasy metod znanych
jako formu“y Newtona-Cotesa. S¡ dwa rodzaje tych formu“: zamkniƒte (jak
m.tr. i r.S.) oraz otwarte.
(n+1)-punktowa zamkniƒta formu“a Newtona-Cotesa bazuje na wƒz“ach:
x 0 = a , x n = b , x i = x 0 + ih , i =0 ; 1 ;:::;n , h =( b¡a ) =n . For-
mu“a ta przyjmuje posta¢:
b R
a f ( x ) dx¼
x n R
n P
a i f ( x i ), gdzie a i =
L i ( x ) dx =
x 0
i =0
x n R
n Q
x¡x j
x i ¡x j dx .
x 0
j =0 ;j6 = i
Najczƒ–ciej u»ywane zamkniƒte formu“y Newtona-Cotesa
²n =1- metoda trapez ó w
Z x 1
2 ( f ( x 0 )+ f ( x 1 )) ¡ h 3
f ( x ) dx = h
12 f 00 ( ³ ) ;
x 0
gdzie ³2 ( x 0 ;x 1 ), h = x 1 ¡x 0 .
²n =2- regu“a Simpsona
Z x 2
3 ( f ( x 0 )+4 f ( x 1 )+ f ( x 2 )) ¡ h 5
f ( x ) dx = h
90 f (4) ( ³ ) ;
x 0
gdzie ³2 ( x 0 ;x 2 ), x 1 =( a + b ) = 2, h = x 1 ¡x 0 .
²n =3- regu“a 3/8 Simpsona
Z x 3
f ( x ) dx = 3 h
8 ( f ( x 0 )+3 f ( x 1 )+3 f ( x 2 )+ f ( x 3 )) ¡ 3 h 5
80 f (4) ( ³ ) ;
x 0
gdzie ³2 ( x 0 ;x 3 ), h =( b¡a ) = 3.
²n =4- nie ma w“asnej nazwy
Z x 4
f ( x ) dx = 2 h
45 (7 f ( x 0 )+32 f ( x 1 )+12 f ( x 2 )+32 f ( x 3 )+7 f ( x 4 ))
¡ 8 h 7
x 0
945 f (6) ( ³ ) ;
gdzie ³2 ( x 0 ;x 4 ), h =( b¡a ) = 4.
3
887109350.003.png
 
(n+1)-punktowa otwarta formu“a Newtona-Cotesa bazuje na wƒz“ach
x i = x 0 + ih , i =0 ; 1 ;:::;n , gdzie h =( b¡a ) = ( n +2)oraz x 0 = a + h ,
z czego wynika, i» x n = b¡h . Je–li zatem oznaczymy dodatkowo x ¡ 1 = a ,
x n +1 = b to formu“y przyjm¡ posta¢:
Z b
a f ( x ) dx =
Z x n +1
n X
f ( x ) dx¼
a i f ( x i ) ;
x ¡ 1
i =0
b R
a L i ( x ) dx .
Najczƒ–ciej u»ywane otwarte formu“y Newtona-Cotesa
gdzie znowu a i =
²n =0- regu“a punktu –rodkowego (midpoint rule)
Z x 1
f ( x ) dx =2 hf ( x 0 )+ h 3
3 f 00 ( ³ ) ;
x ¡ 1
gdzie ³2 ( x ¡ 1 ;x 1 ), h =( b¡a ) = 2.
²n =1- bez nazwy w“asnej
Z x 2
f ( x ) dx = 3 h
2 ( f ( x 0 )+ f ( x 1 ))+ 3 h 3
4 f 00 ( ³ ) ;
x ¡ 1
gdzie ³2 ( x ¡ 1 ;x 2 ), h =( b¡a ) = 3.
²n =2- bez nazwy w“asnej
Z x 3
3 (2 f ( x 0 ) ¡f ( x 1 )+2 f ( x 2 ))+ 14 h 5
f ( x ) dx = 4 h
45 f (4) ( ³ ) ;
x ¡ 1
gdzie ³2 ( x ¡ 1 ;x 3 ), h =( b¡a ) = 4.
²n =3- bez nazwy w“asnej
Z x 4
24 (11 f ( x 0 )+ f ( x 1 )+ f ( x 2 )+11 f ( x 3 ))+ 95 h 5
f ( x ) dx = 5 h
144 f (4) ( ³ ) ;
x ¡ 1
gdzie ³2 ( x ¡ 1 ;x 4 ), h =( b¡a ) = 5.
Formu“y zamkniƒte podaj¡ warto–ci z nadmiarem (przez co s¡ czƒ–ciej
u»ywane), a formu“y otwarte z niedomiarem (ale to one s¡ u»ywane przy
znajdowaniu rozwi¡za« numerycznych zwyczajnych r ó wna« r ó »nicowych, po-
niewa» s¡ oparte na przedzia“ach otwartych).
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin