Wykład 5
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe. Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z malejącą odległością. To jest siła elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie z siłami grawitacyjnymi.
Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą Fg to powstaje druga siła - siła kontaktowa F1. Siła wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, żeby obliczyć siłę wypadkową.
Przykład 1
Rozważmy dwa klocki m1 i m2 na gładkiej powierzchni. Do klocka m1 przyłożono siłę F. Czy siła F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i przeciwnie skierowaną. Wtedy Fwyp równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest siła F.
Zasada Newtona nie mówi, że siła F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; powinno się przyjąć siłę kontaktową Fk o dowolnej wartości. Ogólnie: powinno się stosować drugą zasadę dynamiki oddzielnie do każdego ciała.
Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a
Dla klocka 2 Fk = m2a
Stąd przyspieszenie a = F/(m1 + m2)
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę m = m1 + m2.
Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła. Taką siłę nazywamy siłą tarcia.
Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę F tak, że klocek nie porusza się. Oznacza to, że sile F przeciwstawia się siła tarcia T. Mamy więc: T = -F. Zwiększamy stopniowo siłę F aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pewnej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły F. Oznaczmy tę krytyczną siłę Ts (s‑statyczna). To jest maksymalna siła tarcia statycznego.
Ts (dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:
· Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),
· Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
Stosunek siły Ts do nacisku FN nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego ms
(5.1)
Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli F jest większe od Ts to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia Tk (k - kinetyczna) przeciwstawiająca się ruchowi.
Siła Tk spełnia trzy prawa empiryczne:
· Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierz-chnia naciska na drugą,
· Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
Istnieje odpowiedni współczynnik tarcia kinetycznego mk
(5.2)
Dla większości materiałów mk jest nieco mniejszy od ms. Np. mk » 1 dla opon na jezdni betonowej.
Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości oddziaływań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. W samochodzie np. na pokonanie siły tarcia zużywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powoduje zużywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej strony bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, trzymać ołówka, kredy, czy też nimi pisać.
We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie. Wszystkie te siły nazywamy siłami rzeczywistymi, ponieważ możemy je zawsze związać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo możemy powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspieszaniu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?
Przykład 2
Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.
Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo porusza się ze stałą prędkością po linii prostej (1), następnie hamuje ze stałym opóźnieniem a (2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.
Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła. Zwróćmy uwagę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia się gdy wózek zaczyna hamować (2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi, że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim. Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspieszeniem –a w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o masie mk zaczęła działać siła
F1 = ‑ mka
ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że druga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy, że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, że jest w błędzie; nie istnieje rzeczywista siła F1. Jest to tak zwana pozorna siła bezwładności.
Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo działa na nią siła Fs sprężystości przedniej ściany wózka równa
Fs = mka
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka przestała się poruszać; spoczywa względem niego. Jego zdaniem siła sprężystości ściany Fs równoważy siłę F1, tak że siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się
Fs + F1 = 0
co po podstawieniu za F1 = ‑ mka daje
Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia sił pozornych. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalnego. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Przykład 3
Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g.
Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jednym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę gdy winda jest w ruchu.
Dla windy stojącej
Dla windy w ruchu
oraz
przy czym
Rozwiązanie tego układu równań daje wynik
Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę H od sufitu do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspieszenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie –a. Odpowiednie równania wyglądają teraz:
Uwzględniając, że
otrzymujemy .
Tak więc uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady dynamiki w układach nieinercjalnych.
W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do a.
Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru. Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową). Siłę tę nazywamy siłą odśrodkową i jest to siła pozorna.
XFawkes