Aut_Rob_B.pdf

(2589 KB) Pobierz
1
Rownania Rozniczkowe Zwyczajne
wyklad dla studentow na kierunku automatyka i robotyka - wersja robocza ( 11marca2010 )
Boguslaw Bozek
Wydzial Matematyki Stosowanej AGH
2
Spis tresci
1
Wprowadzenie
5
2
Elementy analizy funkcjonalnej
7
3
Twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci
9
4
Proste typy rownan rozniczkowych skalarnych
11
4.1
Rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.2
Rownanie jednorodne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
4.3
Rownanie rozniczkowe zupelne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.3.1
Czynnik calkuj acy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.4
Rownanie Clairauta
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5
Liniowe rownania rozniczkowe
15
5.1
Rownania i uklady rownan rozniczkowych liniowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
5.2
Skalarne rownanie liniowe rzedu pierwszego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.3
Rownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.4
Rownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5.5
Rownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.6
Skalarne rownanie rozniczkowe liniowe
n -tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5.7
Obnizanie rzedu rownania liniowego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.7.1
Wzor Liouville’a
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
5.7.2
Rownania wyzszych rzedow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.8
Niejednorodne rownanie rozniczkowe liniowe
n -tego rzedu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.9
Rownanie liniowe n -tego rzedu o stalych wspolczynnikach
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
5.10 Metoda przewidywan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.11 Uklad skalarnych rownan rozniczkowych liniowych rz edu pierwszego
. . . . . . . . . . . . . . . .
23
5.12 Uklady rownan liniowych o stalych
wspolczynnikach
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.12.1 Metoda wartosci i wektorow wlasnych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.12.2 Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.13 Rownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6
Rozwi azania w postaci szeregow funkcyjnych
31
6.1
Rozwi azania w postaci szeregow potegowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6.1.1
Uklad rownan liniowych rzedu pierwszego o stalych wspolczynnikach . . . . . . . . . . . .
31
6.1.2
Skalarne rownania rozniczkowe rz edu pierwszego i drugiego
. . . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.2
Rownania rozniczkowe liniowe rzedu drugiego – szeregi Frobeniusa
. . . . . . . . . . . . . . . . .
33
7
Stabilnosc rozwi azan rownan rozniczkowych
35
7.1
Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
7.2
Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7.3
Problem Routha–Hurwitza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
7.4
Punkty osobliwe rownania rozniczkowego zupelnego
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3
SPIS TRESCI
4
8
Transformata Laplace'a
41
8.1
Podstawowe definicje i twierdzenia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
8.2
Wyznaczanie transformaty rownania rozniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
8.3
Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
9
Dodatek
45
9.1
Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
9.2
Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
9.3
Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia niestacjonarne
. . . . . . . . . . . . . . . .
66
Rozdzial 1
Wprowadzenie
Rownaniem rozniczkowym nazywamy zwi azek miedzy pewn a nieznan a funkcj a, a jej pochodnymi; gdy funkcja
niewiadoma jest funkcj a jednej zmiennej, to mowimy o rownaniu rozniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym
wypadku o rownaniu rozniczkowym cz astkowym. Zwi azek postaci
F ( t,x ( t ) ,x ′ ( t ) ,...,x ( n ) ( t )) = 0
nazywamy rownaniem rozniczkowym zwyczajnym n -tego rzedu, jesli lewa strona istotnie zalezy od x ( n ) . Nie
musi oba zalezec od x i t . Przykladowo rownanie
x ′′′ + t ( x ′ ) 30
e x sin t = 0
−
jest rownaniem rozniczkowym rz edu trzeciego. Funkcja x moze byc funkcj a skalarn a, albo wektorow a.
Rownania rozniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj a na ogol w wyniku stosowania nastepuj acych
metod postepowania:
a) Przedstawiania praw fizyki w postaci matematyczno-analitycznej.
b) Przedstawiania zwi azkow geometrycznych w postaci analitycznej.
c) Rugowania parametrow z n -parametrowej rodziny funkcji i n rownosci.
3 bedzie zadanym polem predkosci. Rownanie
x ′ = v ( t,x ) opisuje ruchy cz astek unoszonych w polu v . Jesli dodatkowo przyj ac warunek x ( t 0 ) = x 0 , to x ( t )
jest polozeniem w chwili t tej cz astki, ktora w chwili t 0 znajdowala sie w punkcie x 0 .
Ad b) Niech y = f ( x ). Wielkosc
3
3
Ad a) Niech v :
R × R
⊃
[ t 0 ,T ]
× R
∋
( t,x )
→
v ( t,x )
∈ R
ρ ( A ) = ( 1 + ( y ′ ) 2 )
3
2
( A )
|
y ′′ |
nazywamy promienie krzywizny, a jej odwrotnosc 1 ρ ( A ) krzywizn a w punkcie A . Rownanie rozniczkowe
y ′′ |
(1 + ( y ′ ) 2 )
|
= a
R ∋
a
≥
0
3
2
jest zadem rownaniem rozniczkowym, ktorego rozwi azaniem s a krzywe o stalej krzywiznie rownej a .
Ad c) Rozwazmy rodzine okregow
a ) 2 + ( y
b ) 2 = R 2 ,
( x
−
−
(1.1)
gdzie a, b, R parametry. Zaozmy, ze y = y ( x ). Rozniczkuj ac trzykrotnie zwi azek (1.1) dostajemy
b ) y ′ = 0
1 + ( y ′ ) 2 + ( y
x
−
a + ( y
−
b ) y ′′ = 0
−
3 y ′ y ′′ + ( y
b ) y ′′′ = 0 .
−
Ruguj ac z tych rownan wszystkie trzy parametry dostajemy rownanie rozniczkowe rodziny okr egow:
3 y ′ ( y ′′ ) 2
− ( 1 + ( y ′ ) 2 ) y ′′′ = 0 .
Bez nalezytej precyzji mozemy przyj ac w tej cwili, ze rownaniem rozniczkowym nazywamy rownanie postaci
F ( t,x,x ′ ,...,x n ) = 0 .
(1.2)
5
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin