03. Ruch na plaszczyznie.pdf
(
276 KB
)
Pobierz
Wyk³ad 3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 3
3. Ruch na płaszczyźnie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych
x
i
y
.
Np.
y
- wysokość,
x
- odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można
traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.
Położenie
punktu w chwili
t
przedstawia wektor
r
;
prędkość
wektor
v
;
przyspiesze-
nie
wektor
a
. Wektory
r
,
v
,
a
są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić
(za pomocą
wersorów
i
,
j
,
k
czyli wektorów jednostkowych) w postaci
r
=
i
x
+
j
y
v
=
d
r
=
i
d
x
+
j
d
y
=
i
v
+
j
v
d
t
d
t
d
t
x
y
a
=
d
v
=
i
d
v
x
+
j
d
v
y
=
i
a
+
j
a
d
t
d
t
d
t
x
y
Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?
Przykład 1
Żaglówka płynąca pod wiatr (pod kątem 45° do kierunku wiatru). Siła, którą wiatr dzia-
ła na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódź może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku (
F
x
) ma zwrot
w kierunku ruchu.
wiatr
F
x
oś kila
żagiel
Ruch ze stałym przyspieszeniem
oznacza, że nie zmienia się
kierunek
ani
wartość
przy-
spieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego
3-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a
= const
v
=
v
0
+
a
t
r
=
r
0
+
v
0
t
+ (1/2)
a
t
2
Prześledźmy teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przykładowo punkt porusza się z
przyspieszeniem
a
= [2,1], prędkość początkowa
v
0
= [1,2], a położenie początkowe,
r
0
= [1,1]. Szukamy położenia ciała np. po
t
= 1s i
t
= 3s dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania
wektorowe
są równoważne równaniom w postaci skalarnej:
Równania opisujące ruch wzdłuż
osi
x
Równania opisujące ruch wzdłuż
osi
y
a
x
= const
v
x
=
v
x
0
t
+
a
x
t
x
=
x
0
+
v
x
0
t
+ (1/2)
a
x
t
2
a
y
= const
v
y
=
v
y
0
t
+
a
y
t
y
=
y
0
+
v
y
0
t
+ (1/2)
a
y
t
2
Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem
jest rzut ukośny.
3.2 Rzut ukośny
Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem
g
[0, -
g
] skierowanym w dół. Jest
opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn.
r
0
= 0.
v
0
sin
θ
v
0
θ
v
0
cos
θ
Prędkość w chwili początkowej
t
= 0 jest równa
v
0
i tworzy z kąt θ z dodatnim kierun-
kiem osi
x
. Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwi-
3-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
li, opisać tor, znaleźć zasięg. Składowe
prędkości początkowej
(zgodnie z rysunkiem)
wynoszą odpowiednio
v
x
0
=
v
0
cosθ i
v
y
0
=
v
0
sinθ
Prędkość
w kierunku
x
(poziomym)
v
x
=
v
x
0
+
a
x
t
ponieważ
a
x
= 0 więc:
v
x
=
v
0
cosθ, czyli w kierunku
x
ruch jest jednostajny
(składowa
x
prędkości jest stała)
W kierunku
y
(pionowym)
v
y
=
v
y
0
+ a
y
t
ponieważ
g
y
= -
g
więc
v
y
=
v
0
sinθ
– gt
Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi
v
+
=
v
2
v
2
x
y
więc
v
=
v
2
0
−
2
v
gt
+
sin
θ
g
2
t
2
(3.1)
0
Teraz obliczamy położenie ciała
x =
v
0
x
t
czyli
x =
v
0
cosθ
t
(3.2)
y =
v
0
y
t
+(1/2)
a
y
t
2
czyli
y =
v
0
sinθ
t
– (1/2)
gt
2
(3.3)
Długość wektora położenia
r
można teraz obliczyć dla dowolnej chwili
t
z zależności
r
+
=
x
2
y
2
Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y
(
x
). Mamy równania
x
(
t
) i
y
(
t
). Równanie
y
(
x
) obliczymy eliminując
t
z równań (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)
t
=
x
/
v
0
cosθ
więc równanie (3.3) przyjmuje postać
3-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
y
=
(tg
θ
x
−
g
x
2
(3.4)
2
v
cos
θ
)
2
0
Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy
x = Z
oraz
y
= 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca ze-
rowe
Z
= 0
oraz
Z
=
2
v
2
0
sin
θ
cos
θ
=
v
2
0
sin
θ
(3.5)
g
g
Z równania (3.4) wynika, że zasięg jest maksymalny gdy θ = 45°.
Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii
krzywej
.
W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędko-
ści, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o
przyspieszeniu stycznym
.
Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy
wartość
prędkości się nie zmienia a zmienia się
kieru-
nek
.
3.3 Ruch jednostajny po okręgu
Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt
P
- położenie punktu materialnego w
chwili
t
, a
P
' - położenie w chwili
t
+ ∆
t
. Wektory
v
,
v
'
mają jednakowe długości ale
różnią się kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach
P
i
P
'.
O
∆
v
v'
v'
r
θ
v
θ
P'
v
P
Przerysujmy wektory
v
i
v
'
zaznaczając zmianę prędkości ∆
v
.
Zauważmy, że kąt po-
między tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójką-
ty są podobne więc :
∆
v
v
=
l
, gdzie
l
jest długością łuku (pod warunkiem, że
l
jest bar-
r
dzo małe (
l
→0)). Stąd
∆
v
=
v
l
/
r
.
a ponieważ
l
=
v
∆
t
więc
∆
v
=
v
2
∆
t
/
r
Ostatecznie
a
= ∆
v
/∆
t
3-4
)
2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
więc
v
2
a
=
(3.6)
r
To przyspieszenie nazywamy
przyspieszeniem
normalnym
(w odróżnieniu od styczne-
go) bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do
toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również
przy-
spieszeniem dośrodkowym
. Przyspieszenie
normalne
zmienia
kierunek
prędkości.
Często wyraża się to przyspieszenie przez okres
T
. Ponieważ
v
= 2π
r
/
T
więc
a
= 4π
2
r
/
T
2
Przykład 2
Jakiego
ące na równiku?
R
Z
= 6370 10
3
m,
T
= 8.64 10
4
sec.
przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało
będ
a
= 0.0034 m/s
2
.
S
Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest m
rekord w skoku wzwyż).
Prześledźmy teraz prz
acamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie
g
(jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę
zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp
składowych
g
)
jest przedstawiona poniżej.
tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego
g
= 9.81 m/s
2
.
niejsza (np. łatwiej pobić
ykład, w którym zmienia się i
wartość
i
kierunek
prędkości.
Wr
ieszenia stycznego i normalnego (jako
a
s
g
a
r
Teraz obliczym
a) Przyspieszenie styczne
y obie składowe przyspieszenia.
a
s
=
d
t
P
rzypomnijmy, że zależność
v
(
t
) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)
(
v
=
v
2
0
−
v
gt
+
θ
g
2
t
2
).
0
3-5
d
v
sin
2
Plik z chomika:
runiii
Inne pliki z tego folderu:
00. Spis.pdf
(187 KB)
01. Wprowadzenie.pdf
(279 KB)
02. Ruch jednowymiarowy.pdf
(268 KB)
03. Ruch na plaszczyznie.pdf
(276 KB)
04. Dynamika punktu materialnego.pdf
(222 KB)
Inne foldery tego chomika:
Podstawy Fizyki cz.2
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin