MP-przyk3.pdf

(279 KB) Pobierz
TEMAT:Ramê pokazan¹ na rysunku rozwi¹zaæ metod¹ przemieszczeñ
MP Î przykład 3 Î rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi
1. ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Ramę pokazaną na rysunku
rozwiązać metodą
przemieszczeń i dokonać
kontroli rozwiązania.
q
2
2
F
/
m
k
2
EI
/
m
F
k
4
EI
/
m
3
1
2
30
O
2EI
q
1
F
/
m
M
Fm
4 m
3 m
3 m
2 m
2 m
1.1 WYZNACZENIE STOPNIA GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
s - s
Podział układu na elementy,
dla ktrych dane są wzory
transformacyjne przedstawiono na
rysunku obok
w - s
s - p
B
C
1
2
s - s ; element "sztywno - sztywny"
s - p ; element "sztywno - przegubowy"
w - s ; element "wolny koniec - sztywny"
to jest element wspornikowy
ł - s ; element "łyżwa - sztywny"
Z przyjętego podziału na elementy
wynika, że:
Î dla pręta A-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
A
1, 2 ; węzły sztywne mające swobodę obrotu,
łączące końce przyjętych elementw
M
EI
A
1
M
o
A
,
M
EI
A
1
M
o
A
, gdzie
0
,
A
1
A
1
1
A
1
1
A
1
A
A
1
1
A
1
L
L
A
1
A
1
Î dla pręta B-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
,
Î dla pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
M
B M
1
o
B
1
,
M
1
B M
o
B
Î
M
EI
12
4
2
6
M
o
,
M
EI
12
4
2
6
M
o
,
12
12
21
12
12
21
21
12
12
21
L
L
12
12
Î dla pręta 2-C stosować będziemy wzr transformacyjny w postaci
M
EI
2
C
3
3
M
o
,
M
0
2
C
2
C
2
C
2
C
C
2
L
2
C
Uwzględniając, że
A
1
0
,
1
A
1
B
12
1
,
21
2
C
2
stwierdzamy, że
wszystkie kąty obrotu końcw prętw określone są przez kąty obrotu 2 węzłw
1
i
2
, więc
Î liczba stopni swobody obrotu węzłw wynosi
n
ϕ =
2
Model układu o węzłach przegubowych przedstawiono na rysunku poniżej. Więzi oznaczone liniami
przerywanymi odbierają stopnie swobody przesuwu, ktre zostały już uwzględnione we
wspłczynnikach wzorw transformacyjnych dla elementu wspornikowego i elementu áł-sÑ.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
1
Wyznaczenie liczby stopni swobody przesuwu węzłw n
21042958.044.png 21042958.045.png 21042958.046.png 21042958.047.png 21042958.001.png 21042958.002.png 21042958.003.png 21042958.004.png
 
MP Î przykład 3 Î rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi
Liczba stopni swobody przesuwu spełnia
warunek
n
B
1
2
C
2 =2*8 - 7 - 7 = 2,
gdzie w - liczba węzłw,
p - liczba prętw w modelu,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby przegubowy
model układu był geometrycznie niezmienny
należy dodać, co najmniej 2 więzi.
Aby określić, w ktrych węzłach dodać te
więzi i w jakich kierunkach należy
pamiętać, że węzły połączone więziami pojedynczymi z fundamentem (z punktami, ktre nie mają
możliwości przemieszczania się) , jeśli mogą się przemieszczać to tylko w kierunkach
prostopadłych do tych więzi. Inne połączenia nie mogą powodować zmiany tych kierunkw.
Mogą natomiast powodować, że
określone węzły w ogle nie mogą się
przemieszczać.
W rozwiązywanym przykładzie węzły B, 1
i C połączone są z fundamentem więziami
pojedynczymi (podporę przegubowo-
przesuwną traktujemy jak więź
pojedynczą). Jeśli więc mogą się
przemieszczać to tylko tak jak pokazano
strzałkami na rysunku obok. Odbieramy
możliwość przemieszczania się jednego z
tych węzłw (np. węzła C) przez
przyłożenie więzi elementarnej I o
kierunku możliwego przemieszczenia
określonym strzałkami. Powoduje to, że
węzły B, 1 i 2 jeśli mogą się
przemieszczać to tylko tak jak pokazano
strzałkami na rysunku obok
Odbieramy możliwość przemieszczania
się jednego z tych węzłw (np. węzła 2)
przez przyłożenie więzi elementarnej II o
kierunku możliwego przemieszczenia
określonym strzałkami. Układ
przegubowy z dodanymi więziami I i II
pokazano na rysunku obok. Jak widać na
tym rysunku dodanie tych 2 więzi
przekształciło przegubowy model układu
w układ geometrycznie niezmienny.
Oznacza to, że liczba stopni swobody
przesuwu układu danego wynosi
δ ≥ ⋅ − −
A
B
1
C
A
Węzeł A nie może się przemieszczać,
gdyż połączony jest z fundamentem 2
więziami nie leżącymi na jednej prostej
B
1
2
C
I
Węzeł C po dodaniu więzi I nie może się
przemieszczać, gdyż połączony jest z
fundamentem 2 więziami nie leżącymi na
jednej prostej.
A
B
1
2
C
I
II
A
n
δ =
2 .
Stopień geometrycznej
niewyznaczalności wynosi, więc
nnn
2 + 2.
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
wp r
g
21042958.005.png 21042958.006.png 21042958.007.png 21042958.008.png 21042958.009.png
MP Î przykład 3 Î rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi
1.2 PRZYJĘCIE UKŁADU PODSTAWOWEGO
Układ podstawowy
tworzymy z układu danego przez
dodanie n
q 2
więzi rotacyjnych i
k
1
k
1
M o
2
M
P
k
1
k
2
więzi translacyjnych (w
naszym przykładzie 2 więzi
rotacyjne i 2 translacyjne), co
przekształca dany układ w układ
geometrycznie wyznaczalny
pokazany na rysunku obok.
Uwaga : Wprowadzono tu nowe
oznaczenia niektrych danych
(
q 1
C
30
O
B
1
2
2EI
I
II
4 m
A
3 m
3 m
2 m
2 m
ϕ 1
δ 1
k ⇒ ,
k
k ⇒ i M w węźle
k
1
2
M ⇒ ) dostosowując je do przyjętej numeracji węzłw i oznaczeń stosowanych we wzorach na
wspłczynniki układu rwnań.
o
1.3 ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
1.3.1 ZESTAWIENIE DANYCH
m
q
1
F
/
,
q
2
2
F
/
m
M
Fm
,
M 1 0
,
M o
2
M
Fm
,
L A
1
5
m
,
L B
1
3
m
,
L
12 3
= ⋅
m
,
L C
2
4
m
,
EI A
1
1
EI
,
EI B
1
1
EI
,
EI
12 1
= ⋅
EI
,
EI
2
B
= ⋅
2
EI
,
δ .
1.3.2 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA DANEGO
Należy pamiętać, że poszczeglne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że stanowi
obciążeń danych towarzyszy
k
1
k
1
2
EI
/
m
,
k
1
k
2
4
EI
/
m
3
1
2
= =
I
II
0
a to oznacza, że w rozpatrywanym stanie
j M od obciążeń danych przy założeniu, że
przemieszczenia brzegowe występujące we wzorach transformacyjnych są rwne zero.
Dla elementw przyjętych w punkcie 1.1 momenty brzegowe
i M oraz
o
o
j M obliczamy na podstawie
wzorw zestawianych w literaturze (patrz też lub otrzymujemy w wyniku rozwiązania metodą sił.
Obciążenia działające na poszczeglne elementy i wykresy momentw zginających pokazano na
rysunku poniżej. Pokazano także siły rwnoważne działającym obciążeniom sprowadzone do punktw,
ktrych będą wyznaczane przemieszczenia od jednostkowych przemieszczeń
i M oraz
o
o
I
i
II
q 2
M o
M
Fm
2
P
3 F
/
2
P
F
/
2
o
4
P
3
q
m
/
2
M 1
o
B
M 12
2
2
F
B
1
2
C
M 21
o
M 2
o
C
M 1
o
A
3 m
2 m
2 m
q 1
P
1 4
q
1
m
4 m
A
M 1
o
3 m
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
n
2
wyznaczamy momenty brzegowe elementw
21042958.010.png 21042958.011.png 21042958.012.png 21042958.013.png 21042958.014.png 21042958.015.png 21042958.016.png 21042958.017.png 21042958.018.png 21042958.019.png 21042958.020.png
 
MP Î przykład 3 Î rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi
2 obciąża węzeł 2 i będzie uwzględniany jako obciążenie tego
węzła (nie należy go traktować jako obciążenia pręta) .
Momenty brzegowe prętw odpowiednio wynoszą:
M o
M
Fm
q
(
4
m
)
2
F
16
m
2
8
q
(
4
m
)
2
16
M A
1
Fm
,
M o A
1
Fm
,
M
o
A
M
o
A
8
Fm
,
1
1
1
1
6
m
6
3
3
3
3
m
3
m
2
F
9
m
2
M
o
B
0
,
M o B
q
3
Fm
,
M
o
B
M
o
B
3
Fm
,
1
1
2
1
1
2
3
m
6
MM
o
= −
o
0
,
MM
o
o
0
,
12
21
12
21
M o C
3
F
4
m
0
.
75
Fm
,
M
o
C
0
,
M
o
M
o
C
0
75
Fm
.
2
2
2
C
2
16
1.3.3 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
1 1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
1
1
,
2
0
I
II
0
(
ij
1
0
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorw w postaci
M
1
EI
ij
a
1
b
1
,
ij
ij
ij
ij
ji
L
ij
do ktrych podstawiamy
1
1
12
1
, i pozostałe
1
0
A
B
1
ij
Momenty brzegowe wynoszą:
Î
M A
1
EI
( )
0
1
0
.
2
EI
,
M
1
1
EI
( )
1
0
0
.
2
EI
,
M
1
1
M
1
0
,
1
A
A
A
1
5
m
L
5
m
L
Î
M
B
1
M
1
1
B
0
,
M
1
1
B
M
B
1
0
,
Î
M
12
EI
4
1
2
0
4
EI
,
M
21
EI
4
0
2
1
2
EI
,
M
1
12
M
1
21
2
EI
,
3
m
3
m
3
m
3
m
m
Î
M C
2
2
EI
( )
0
0
,
M
1
0
,
M
1
2
M
1
0
.
C
2
C
C
2
4
m
Î
1.3.4 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
2 1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy: 1
2
,
1
0
I
II
0
(
ij
ij
2
0
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorw w postaci
M
2
EI
ij
a
2
b
2
,
ij
ij
ij
ij
ji
L
ij
do ktrych podstawiamy
2
21
2
2
C
2
1
, i pozostałe
ij
2
0
Momenty brzegowe wynoszą:
Î
M A
2
EI
( )
0
0
0
,
M A
2
1
EI
( )
0
0
0
,
M
2
1
A M
2
0
,
1
A
1
5
m
5
m
Î
M
B M
1
2
1
B
0
,
M
2
1
B M
B
1
0
,
Î
M
2
12
EI
4
0
2
1
6
0
2
EI
,
M
2
21
EI
4
1
2
0
6
0
4
EI
,
M
2
12
M
2
21
2
EI
,
3
m
3
m
3
m
3
m
L
2
EI
EI
EI
Î
M C
2
2
3
1
3
0
1
.
5
,
M
2
0
,
M
2
2
M
2
1
.
5
.
C
2
C
C
2
4
m
m
m
1.3.5 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD
I
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:,
1
= ϕ
2
0
(
ij
ji
0
),
II
0
i brak obciążenia
danego. Korzystamy, więc ze wzorw w postaci
M
I
ij
c
EI
ij
I
ij
, do ktrych podstawiamy kąty
ij
L
ij
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Uwaga: Moment
ij
1
1
3
2
2
21042958.021.png 21042958.022.png 21042958.023.png 21042958.024.png 21042958.025.png 21042958.026.png 21042958.027.png 21042958.028.png 21042958.029.png 21042958.030.png
MP Î przykład 3 Î rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi
obrotu cięciw prętw
( )
I
określone
P
P
P
ij
1
1
2
I
B
C
1. W celu
wyznaczenia szukanych kątw obrotu
cięciw prętw rozpatrujemy
przegubowy model układu z dodanymi
więziami translacyjnymi i wymuszamy
przesunięcie o wartości 1 w miejscu i
kierunku więzi I. Wartości wzajemnych
przesunięć końcw prętw można
wyznaczyć sporządzając biegunowy
plan przesunięć obrconych. Układ
odkształcony i biegunowy plan
przesunięć obrconych pokazano na
rysunku obok. W układzie tym dodano
też więzi oznaczone liniami
przerywanymi odpowiadające stopniom
swobody przesuwu uwzględnionym we
wspłczynnikach wzorw
transformacyjnych, gdyż w przeciwnym razie układ przegubowy nie byłby mechanizmem tylko
układem o wielu stopniach swobody. Takie przyjęcie pozwala na poprawne wyznaczenie
przemieszczeń wszystkich węzłw z
wyjątkiem tych węzłw, w ktrych
dodano te więzi
W rzeczywistości przemieszczenie
wymuszane jest w układzie
podstawowym (układ przed i po
odkształceniu pokazano na rysunku
obok) skąd wynika, że przemieszczenia
wszystkich punktw wspornika (B-1) i
wszystkich punktw pręta o końcu z
łyżwą prostopadłą do osi pręta (A-1) są
rwne przemieszczeniu węzła 1 (pręty te przemieszczają się rwnolegle). Na rysunku z układem
przegubowym dokonano kolorem czerwonym korekty przemieszczeń uwzględniającej ten fakt.
Po uwzględnieniu tej korekty wartości wzajemnych przesunięć końcw prętw i kątw obrotw cięciw
wynoszą:
2'
I
C'
P
1'
II
1''
2''
C''
P
P
D, D', D''
b.p.p.o
A, A', A''
A, B, C, D, 1, 2
D'', A''
A'
5
1
I
4
B''
1''
3
C'' 2''
4
B
1
2
2'
C
I
1
C'
B'
II
1'
A
A'
I
I
I
1
'
A
'
'
0
I
A
1
A
0
I
1
'
B
'
'
0
I
B
1
B
0
1
A
1
L
1
B
1
L
1
A
1
B
3
I
3
1
I
1
'
'
(á-Ñgdyż obrt pręta w lewo),
I
12
12
4
12
L
4
3
m
4
m
12
I
I
2
'
C
'
'
0
I
2
C
0
2
C
2
C
L
2
C
Momenty brzegowe w układzie podstawowym od przemieszczenia 1
I
wynoszą:
M
A M
I
A
0
,
M
I
A M
I
A
0
,
M
I
B M
I
B
0
,
M
B M
I
B
0
,
1
1
1
1
1
1
1
1
M
I
M
I
6
EI
12
I
6
EI
1
1
EI
,
M
I
M
I
EI
,
12
21
12
L
3
m
4
m
2
m
2
12
21
m
2
12
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
od przemieszczenia
A''
I
I
21042958.031.png 21042958.032.png 21042958.033.png 21042958.034.png 21042958.035.png 21042958.036.png 21042958.037.png 21042958.038.png 21042958.039.png 21042958.040.png 21042958.041.png 21042958.042.png 21042958.043.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin