rozciaganie-profaska.pdf

Zadanie Ćwiczeniowe – rozciąganie (ściskanie) układów statycznie niewyznaczalnych

Doskonale sztywna bryła ABCD jest ustawiona na trzech prętach przegubowych 1, 2,

oraz 3 i poddana działaniu pary sił P o momencie M = P ·r (rys. 5.14). Materiał i długości

prętów są jednakowe, natomiast pola przekrojów poprzecznych wynoszą odpowiednio:

A 1 = 5 [cm 2 ], A 2 = 5 [cm 2 ], A 3 = 10 [cm 2 ].

Wyznaczyć:

1. wartości sił w prętach przy układzie takim jak na rysunku,

2. gdzie powinien znajdować się pręt 2, jeśli siła w nim ma zredukować się do zera i czemu w

tym przypadku będą równe siły w prętach 1 i 3,

Rys 5.14

Rozwiązanie:

Ad. 1 . Załóżmy, że wszystkie pręty będą rozciągane odpowiednio siłami S 1 , S 2 oraz S 3 .

Z warunków równowagi bryły mamy (rys. 5.15):

S 1 + S 2 + S 3 + P – P = 0,

(1)

- S 1 ·a - S 2 · a

(2)

Mamy układ dwóch równań z trzema niewiadomymi.

Brakujące równania otrzymamy z warunku zgodności odkształceń (przemieszczeń).

2 + P ·r = 0

Rys. 5.15

Jeżeli pod działaniem pary sił dolna krawędź bryły zajmie położenie A 1 E 1 D 1 , to:

Δl 1 - Δl 3

Δl 2 - Δl 3 = a

= 2

gdzie:

Δl 1 =

E ·A 1 ,

Δl 2 =

E ·A 2 ,

Δl 3 =

E ·A 3 ,

więc:

Δl 1 - Δl 3

Δl 2 - Δl 3 =

S 1 l

E ·5 -

S 3 l

E ·10

= 2S 1 - S 3

2S 2 - S 3 = 2

(3)

S 2 l

E ·5 -

S 3 l

E ·10

Z równania (2) wyznaczamy S 3 , które wynosi:

S 3 = - S 1 + S 2

i wstawiamy do równania (3):

2S 2 + S 1 + S 2 = 3S 1 + S 2

3S 2 + S 1 = 2,

czyli:

S 1 = 5 ·S 2

S 1 l

S 2 l

S 3 l

2S 1 + S 1 + S 2

Z równania momentów otrzymujemy:

- 5 ·S 2 ·a – S 2 · a

2 + R ·r = 0,

skąd:

S 2 = 2

11 · Pr

Dodatni wynik dowodzi, że pręt 2 jest rzeczywiście rozciągany.

Wyznaczamy wartość S 1 :

S 1 = 5 ·S 2 = 10

11 · Pr

oraz S 3 :

S 3 = - S 1 – S 2 = - 10

11 · Pr

a - 2

11 · Pr

S 3 = - 12

11 · Pr

a ,

skąd wynika, że pręt S 3 jest ściskany.

Ad. 2 . Zgodnie z założeniami zadania piszemy, że S 2 = 0 . Otrzymamy wtedy:

S 1 + S 3 = 0

czyli:

S 1 = - S 3 .

Warunek momentów względem punktu D wynosi:

- S 1 + P ·r = 0,

skąd:

S 1 = Pr

a ,

więc:

S 3 = - S 1 = - Pr

i oznaczamy:

│S 1 │ = │S 3 │ = S.

Pręt 1 jest więc rozciągany, a pręt 3 ściskany z taką samą siłą co do wartości.

Bryła nachyli się jak na rysunku (5.15). Możemy napisać:

AA 1 = Δl 1 =

S 1 l

E ·A 1 =

E ·A 1 ,

DD 1 = Δl 3 =

S 3 l

E ·A 3 =

E ·A 3 .

Gdy górny koniec pionowego pręta 2 umieścimy w punkcie O , zachowa on swoją

długość, a więc nie wystąpią w nim naprężenia.

Z podobieństwa trójkątów AOA 1 oraz DOD 1 mamy:

DD 1 = b

c ,

czyli:

E ·A 1

E ·A 3

= F 3

F 1 = b

c ,

stąd:

F 3 ·c – F 1 ·b = 0.

Jeśli w płaszczyźnie przekroju poprzecznego prętów przeprowadzimy przez punkt O oś

x - x (rys. 5.15), to wyrażenie:

F 3 ·c – F 1 ·b

stanowi moment statyczny względem osi x - x figury składającej się z zespołu przekrojów

prętów. Jeśli ten moment jest równy zeru, to oś x - x przechodzi przez środek ciężkości figury.

AA 1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: