ZBIORY NIEMIERZALNE W SENSIE JORDANA NA PROSTEJ:

Szukamy „lepszej” miary, takiej, aby

dla n=1 miarą                                                          < a,b >                               była              (b-a)

dla n=2 miara prostokąta, który jest   było             

ogólnie miarąbyło

TWIERDZENIE

Niech S oznacza rodzinę wszystkich przedziałów domkniętych w Rn oraz niech

niech ponadto odwzorowanie będzie określone powyższą zależnością.

Istnieje dokładnie jedna miaraokreślona w rodzinie zbiorów borelowskich [B (Rn ) ],

taka, że                           

tzn. jest jedynym rozszerzeniem miary na B (Rn )

Tak określona miara nie jest zupełna, ponieważ nie każdy podzbiór zbioru miary zero jest zbiorem mierzalnym.

TWIERDZENIE

Miarą Lebesgue`a nazywamy miarę  uzupełnioną do miary zupełnej i oznaczamy symbolem l.

WŁASNOŚCI MIARY LEBESGUE`A:

1.     wszystkie zbiory borelowskie są mierzalne w sensie Lebesgue`a

2.     miara Lebesgue`a jest miarą zupełną, tzn. każdy podzbiór zbioru miary zero jest mierzalny

3.     zbiory jednoelementowe mają miarę zero

4.     każdy zbiór przeliczalny ma miarę zero

OGÓLNA TEORIA CAŁKI

DEFINICJA

(Ω,S,m)- przestrzeń z miarą

    f- nazywamy m-prostą, jeżeli:

1.     funkcje przyjmują skończoną liczbę wartości

2.                  

S

TWIERDZENIE

Każda funkcja                  m-mierzalna jest granicą pewnego niemalejącego ciągu funkcji  m-prostych , tzn:

DEFINICJA

Całka z funkcji f m-prostej względem miary m nazywamy wyrażenie:

gdzie zbiór wartości funkcji

DEFINICJA

Całką z nieujemnej funkcji m-mierzalnej ( względem miary m ) nazywamy wyrażenie:

gdzie - ciąg funkcji m-prostych niemalejący, zbieżny do

DEFINICJA

(Ω,S,m)- przestrzeń z miarą

  m-mierzalna

Częścią dodatnią z funkcji f nazywamy funkcję:

Częścią nieujemną z funkcji f nazywamy funkcję:

PRZYKŁAD

UWAGA:

DEFINICJA

  m-mierzalna

Całka z funkcji f względem miary m nazywamy wyrażenie:

Funkcję f nazywamy całkowalną jeżeli przynajmniej jedna z całek (1) lub (2) jest skończona.

Funkcje f nazywamy sumowalną jeżeli:

DEFINICJA

- funkcja charakterystyczna zbioru A 

PRZYKŁAD

UWAGA:

Jeżeli          

DEFINICJA

Całka z funkcji f względem miary Lebesgue`a nazywamy całkę Lebesgue`a a funkcja f jest całkowalna w sensie Lebesgue`a:

TWIERDZENIE

Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, to jest całkowalna w sensie Lebesgue`a i obie są równe.

PRZYKŁAD

Funkcja Dirichleta:

Funkcja Dirichleta nie jest całkowalna w sensie Riemanna, ale jest całkowalna w sensie Lebesgue`a.

DEFINICJA

(Ω,S,m)- przestrzeń z miarą

              S

Tak określona funkcja jest miarą zwaną iloczynem miary m i funkcji f.

Będziemy ją oznaczali:

DEFINICJA

(Ω,S,m)- przestrzeń probabilistyczna

                zmienna losowa

(R,B(R),Px)- przestrzeń probabilistyczna

Jeżeli istnieje nieujemna sumowalna funkcja f, taka, że: ,

to mówimy, że zmienna losowa ma rozkład ciągły. Funkcje f nazywamy wtedy gęstością zmiennej losowej X.

WŁASNOŚCI

1.

2.

Każda funkcja spełniająca warunki (1) i (2) jest gęstością pewnej zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym.

PRZYKŁAD

istnieje zmienna losowa o rozkładzie ciągłym, której gęstością jest funkcja:

UWAGA:

Jeżeli X-zmienna losowa ma rozkład ciągły:

1.

                            PRZYKŁAD

2.