1szeregi liczbowe.pdf

Szeregi liczbowe

Zdefiniujmy w przestrzeni wektorowej pewną operację na ciągach, która jest uogólnieniem

operacji sumowania ciągów skończonych.

Niech  X , ∥ ⋅ ∥  - przestrzeń unormowana

 a n  n ∈ℕ - c ią g el e ment ó w z X

Definicja

Szeregiem o wyrazie ogólnym a n nazywamy ciąg  S n  n ∈ℕ , gdzie S n : = k =1

a k ,

∞

i oznaczamy ten ciąg symbolem k =1

a k . Element S n nazywamy n -tą sumą

∞

cząstkową szeregu k =1

a k .

Definicja

Szereg nazywamy zbieżnym , jeśli ciąg  S n  n ∈ℕ jest zbieżny do elementu przestrzeni X .

∞

S n nazywamy sumą szeregu k =1

Element ten, czyli lim

n ∞

a k i oznaczamy również tym

∞

samym symbolem k =1

a k .

Definicja

Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym .

Uwaga

Symbol k =1

∞

a k ma dwa znaczenia:

∞

● k =1

a k = S n  n ∈ℕ

∞

∃ lim

n ∞

S n

● k =1

a k =

lim

n ∞

S n = : S

- 1 -

Przykłady

1) n =0

∞

q n - szereg geometryczny, q≠ 1, q ∈ℂ

Wtedy

S n = k =0

q k = 1− q n 1

1− q

∞

n =0

q n - zbieżny ⇔ ∃ lim

n ∞

S n

Aby istniała granica musi zachodzić |q|<1 i wtedy lim

n ∞

1− q = 1

1− q

Stąd

n =0

∞

q n = 1

1− q

dla |q|<1.

n  n 1

∞

S n = k =1

k  k 1 = k =1

k − 1

k 1 =1− 1

2  1

2 − 1

3  1

3 − 1

4 ... 1

n −1 − 1

n  1

n − 1

n 1 =1− 1

n 1

n ∞ 1− 1

n 1 =1 ⇒ szereg n =1

∞

n  n 1

∞

jest zbieżny i n =1

lim

n ∞

S n = lim

n  n 1 =1

W przestrzeni Banacha ciąg jest zbieżny ⇔ jest ciągiem Cauchy'ego, stąd wynika

następujące twierdzenie:

Twierdzenie (WKW zbieżności Cauchy'ego)

Niech (X, ||.||)- przestrzeń Banacha

i niech a k ∈ X dla k ∈ℕ.

W t e d y

∞

∥ k = m

∥ 

k =1

a k − zbieżny ⇔ ∀0∃ n 0 ∈ℕ ∀ n,m ∈ ℕ ,n 0  m ≤ n

a k

Dowód

k =1

a k - zbieżny

⇔  S n  n ∈ℕ

- zbieżny

⇔  S n  n ∈ℕ

- ciąg Cauchy'ego

⇔

⇔ ∀0∃ n 0 ∈ℕ ∀ n,m ∈ ℕ , n 0  m −1≤ n ∥ S n − S m −1 ∥ 



- 2 -

1− q n 1

2) n =1

 1

∞

Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)

n =1

a n − zbieżny ⇒ lim

n ∞

a n =0

Dowód

n =1

a n − zbieżny ⇒ ∃ lim

n ∞

S n = S ⇒ ∃ lim

n ∞

S n −1 = S

P o n i eważ

S n = S n −1  a n dla n ≥2

zatem

lim

n ∞

a n = lim

n ∞  S n − S n −1 = S − S =0



Uwaga

Warunek lim

n ∞

a n =0 nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu.

Przykład

∞

n =1

n - szereg harmoniczny

Nazwa pochodzi od średniej harmonicznej liczb, bo a n jest średnią

harmoniczną a n −1 ia n 1 , gdzie

średnia harmoniczba liczb a i b jest to 1

a  1

(odwrotność

b 

połowy sumy odwrotności tych liczb).

n n ∞ 0

⇒WK zbieżności szeregu zachodzi, jednak szereg jest rozbieżny.

∞

Hipoteza: n =1

n - zbieżny.

Wtedy

} ⇒ lim

∃ lim

n ∞

S n = S ∈ℝ

S 2 n = S ⇒ lim

n ∞

 S 2 n − S n = S − S =0

 S 2 n  n ∈ℕ − podciąg ciągu  S n  n ∈ℕ

n ∞

Z drugiej strony

S n = k =1

a k =1  1

2  1

3 ... 1

S 2 n = k =1

2 n

a k = k =1

2 n

k =1  1

2  1

3 ... 1

n  1

n 1 ... 1

2 n

- 3 -

∞

2  1

Zatem

S 2 n − S n = 1

2  n

n 1  1

n 2 ... 1

≥ n 1

2 n = 1

2 ⇒ lim

n ∞  S 2 n − S n ≥ 1

2 - sprzeczność

(hipoteza fałszywa)

⇩

n =1

n - szereg rozbieżny

Definicja

Szereg n =1

∞

a n nazywamy bezwzględnie zbieżnym , gdy zbieżny jest szereg norm

∞

n =1

∣∣ a n ∣∣.

∞

Szereg n =1

a n nazywamy warunkowo zbieżnym , gdy jest zbieżny lecz nie bezwzględnie.

Twierdzenie (o szeregu zbieżnym bezwzględnie)

Niech (X, ||.||) - przestrzeń Banacha nad ciałem K .

Jeśli n =1

∞

a n - jest zbieżny bezwzględnie ⇒

∞

1) n =1

a n - zbieżny

∥ n =1

∥ ≤ n =1

∞

a n

∥ a n ∥

Dowód w oparciu o WKW Cauchy'ego.

Twierdzenie (działania na szeregach)

Niech A∈ K .

Jeżeli szeregi wektorowe n =1

∞

a n , n =1

b n są zbieżne, to szeregi n =1

 a n  b n  i n =1

Aa n

są zb ie ż ne i zach o d z i

∞

1) n =1

 a n  b n = n =1

a n  n =1

b n

∞

2) n =1

Aa n = A n =1

a n

- 4 -

∞

Twierdzenie (Cauchy'ego o iloczynie szeregów)

Jeżeli szeregi liczbowe n =0

∞

a n , n =0

b n są zbieżne bezwzględnie, to szereg n =0

c n ,

gdzie c n : = k =0

a k b n − k dla n ∈ℕ 0 , jest zbieżny bezwzględnie i zachodzi

∞

 n =0

∞

 ⋅  n =0

∞



n =0

c n =

a n

b n

∞

Szereg n =0

c n nazywamy iloczynem Cauchy'ego szeregów n =0

a n i n =0

b n .

Kryteria zbieżności szeregów liczbowych

Na podstawie twierdzenia o szeregu zbieżnym bezwzględnym, każdy szereg zbieżny

bezwzględnie jest zbieżny, zatem istotne są kryteria zbieżności bezwzględnej, czyli

kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych.

Uwaga

Niech p ∈ℕ. Wtedy

∞

n =1

a n − zbieżny ⇔ n = p

a n − zbieżny

Dowód

S n = a 1  a 2 ... a n = a 1  a 2 ... a p −  const

 a p  a p 1 ... a  S n '

dla n ≥ p

S n = const  S n '

∃ lim

n ∞

S n ⇔ ∃ lim

n ∞

S n '



Twierdzenie (kryterium porównawcze - wersja klasyczna)

Niech p ∈ℕ

oraz niech 0≤ a n ≤ b n dla n ≥ p .

Wtedy

∞

1) Jeśli n =1

b n - zbieżny, to n =1

a n - zbieżny

∞

2) Jeśli n =1

a n - rozbieżny, to n =1

b n - rozbieżny

- 5 -

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: