03. Własności całki podwójnej.pdf

WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ

I. Liniowość całki.

f, g – całkowalne w P ,



1 O αf + βg – całkowalne w P

oraz

2 O



,









 



f 





















II. Addywność całki względem obszaru całkowania.

f – całkowalna w prostokącie P , gdzie

P jest sumą dwóch prostokątów P 1 ,P 2 ,



1 O f – całkowalna w P 1 ,

f – całkowalna w P 2

oraz

2 O







o rozłącznych wnętrzach,

P 

1 P









fd 





 





int

P 

1 o

int





P P

III. Ograniczoność całki.

f – całkowalna w prostokącie P ,







 



inf

 









 M

 











 



sup





gdzie  - pole prostokąta P .



 



Twierdzenie ( całkowe o wartości średniej )

Z:  

f  , gdzie C ( P ) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie P

wartość średnia









A 





(

)







  ,

gdzie  - pole prostokąta P.

Dowód

Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej

  M

m P











 funkcja f ciągła, więc spełniona jest własność Darboux



A 





(

)





 

□





Twierdzenie ( o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną )

   



(

gdzie











 





 





 





oraz







 





 





  .





Uwaga

Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy całką

iterowaną .

Oznaczenia

1. Sybol  d nazywamy elementem pola i oznaczamy .

dxdy

2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.





ozn

 





 







 

 



 



ozn

 

 











 

Przykład

Obliczyć całkę podwójną

 

dxdy

gdzie





 więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki

podwójnej na całkę iterowaną i wtedy

xf 

(





















xdx



opracował Jacek Zańko

Ponieważ  

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: