07a. Zamiana zmiennych w całce potrójnej.pdf

(116 KB) Pobierz
Zamiana zmiennych w całce potrójnej
ZAMIANA ZMIENNYCH W CAŁCE POTRÓJNEJ
Twierdzenie ( o zamianie zmiennych w całce potrójnej )
Niech V
- obszary w regularne w
,
R ,
3
:
V
,
suriekcja
       
u
,
v
,
w
u
,
v
,
w
,
u
,
v
,
w
,
u
,
v
,
w
dla  
u ,
,
v
w
.
Jeśli
1º odwozorowanie przekształca ró żnowartościowo wnętrze obszaru regularnego 
na wnętrze obszaru regularnego V ,
V
:
int
int
bijekcja
2º
,
,
C
1
  ,
gdzie U – obszar w
R , U
3
3º  
f
C
V
4º
J
0
w obszarze 
to

f
 
x
,
y
,
z
dxdydz

f
     
u
,
v
,
w
,
u
,
v
,
w
,
u
,
v
,
w
dudvdw
J
.
V
1
U
35153398.027.png 35153398.028.png 35153398.029.png 35153398.030.png 35153398.001.png 35153398.002.png 35153398.003.png
Współrzędne walcowe ( φ , r , h )
z
P ( x,y,z )
h
φ
r
y
P'
x
φ – miara kąta między dodatnią półosią OX a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY
r – odległość rzutu P' punktu P na płaszczyznę OXY od początku układu współrzędnych
h – odległość punktu P od płaszczyzny OXY; ze znakiem plus (+), gdy P leży nad tą
płaszczyzną, a w przeciwnym wypadku przed odległością stawiamy minus (-)
Wtedy
x
r
cos
y
r
sin
, gdzie 0
0
2
,
r
z
h
Wyznaczamy jakobian tego odwzorowania:
r
sin
cos
0
J
det
r
cos
sin
0
r
sin
2
r
cos
2
r
J
r
0
0
1
Przykład
Obliczyć całkę potrójną
I

x
2
dxdydz
, gdzie
V
:
0
z
4
x
2
y
2
.
V
.
Przekształcając ostatnie równanie do takiej postaci, aby po jednej stronie równości pojawiło
się wyrażenie nieujemne, otrzymujemy
z oraz powierzchnię
z
4
x
2
y
2
x 
2
y
2
4
z
4
z
0
z
4
0
z .
Jeśli const
0
4
z
, to
x
2
y
2
4
z
const
.
równanie okręgu
o środku w punkcie (0,0)
2
Obszar V jest ograniczony przez płaszczyznę 0
czyli  
35153398.004.png 35153398.005.png 35153398.006.png 35153398.007.png 35153398.008.png
Zatem przekroje powierzchni płaszczyznami const
z
są okręgami.
Jeśli ustalimy
x , to otrzymamy
0
z
4 y
2
.
x jest parabolą.
Podobnie przekrój powierzchni płaszczyzną
y jest parabolą.
0
Stąd powierzchnia
x
2
 4
y
2
z
jest paraboloidą.
z
4
V
h=4-r 2
-2
( φ,r )
2
y
x
Do oblicznia tej całki zastosujemy współrzędne walcowe
x
r
cos
y
r
sin
, gdzie
 
[ 
0
2
]
,
r
[
0
2
,
h
[
0
4
r
2
]
.
z
h
Stąd
I

r
2
cos
2
rd
drdh
, gdzie
[
2
]
[
2
[
0
4
r
2
]
i zamieniając na całkę iterowaną otrzymujemy
2
2
4
r
2
2
2
2
2
 
4
r
2
I
d
dr
r
3
cos
2
dh
d
r
3
cos
2
h
dr
d
r
3
cos
2
4
r
2
dr
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
 
2
1
2
16
2
cos
2
d
4
r
3
r
5
dr
cos
2
d
r
4
r
6
cos
2
d
6
3
0
0
0
0
0
16
2
1
1
16
1
1
2
16
cos
2
d
sin
2
3
2
2
3
2
4
3
0
0
3
Zatem przekrój powierzchni płaszczyzną 0
35153398.009.png 35153398.010.png 35153398.011.png 35153398.012.png 35153398.013.png 35153398.014.png
Współrzędne sferyczne ( φ , θ , r )
z
P ( x,y,z )
φ
θ
y
P'
x
– miara kąta pomiędzy dodatnią półosią OX, a rzutem promienia wodzącego punktu P na
płaszczyznę OXY ,
 2
0
– miara kąta między płaszczyzną OXY, a promieniem wodzącym punktu P ,
,
2
2
r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0
r
Wtedy
x
r
cos
cos
y
r
cos
sin
z
r
sin
Wyznaczamy jakobian dla tego odwzorowania.
r
cos
sin
r
sin
cos
cos
cos
J
det
r
cos
cos
r
sin
sin
cos
sin
0
r
cos
sin
r
2
cos
sin
2
sin
2
r
2
cos
3
cos
2
r
2
cos
3
sin
2
r
2
cos
sin
2
cos
2
r
2
cos
sin
2
r
2
cos
3
r
2
cos
Ponieważ
,
, zatem
J .
0
2
2
4
35153398.015.png 35153398.016.png 35153398.017.png 35153398.018.png 35153398.019.png 35153398.020.png
Zastosowanie całek potrójnych
Niech V – obszar regulany
R . Wtedy
3

dxdydz
V
- objętość obszaru V
V
Przykład
Obliczyć objętość bryły, jaką z kuli o promieniu R wycina stożek kołowy o wierzchołku w
środku kuli, wysokości R
i o kącie rozwarcia 2 , gdzie
0
 
.
2
z
R
V
Ω
α
R
y
R
x
Ponieważ bryła jest symetryczna względem osi OZ , zatem objętość
V 4
dxdydz

, gdzie 
jest ćwiartką bryły V.
Stosujemy współrzędne sferyczne
x
r
cos
cos
y
r
cos
sin
, gdzie  
 2
0
,
,
,  
r 0
R
2
2
z
r
sin
Zatem  jest obrazem prostopadłościanu P ,
P
0
,
 
0
R
.
2
2
2
Stąd
2
2
R
2
2
1
2
1
V
4

r
2
cos
d
d
dr
4
  
d
d
r
2
cos
dr
4
 
d
R
3
cos
d
4
R
3
sin
2
d
3
3
P
0
0
0
0
2
2
2
2
1
4
2
4
R
3
(
cos
)
d
R
3
(
cos
)
R
3
(
cos
)
3
3
2
3
0
opracował Mateusz Targosz
5
35153398.021.png 35153398.022.png 35153398.023.png 35153398.024.png 35153398.025.png 35153398.026.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin