szeregi_potegowe_ortogonalne_i_Fouriera.pdf

(1117 KB) Pobierz
145788843 UNPDF
Szeregi potęgowe Dla potomnych
Artur Ślączka
Definicja
Niech Y , ∥⋅∥ -przestrzeń unormowana nad ciałem K ,
a n ∈ Y , x , x 0 ∈ K .
Szereg funkcyjny postaci
n =0
∞
a n x − x 0 n
nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie x 0 .
Umowa
∀ x , x 0 ∈K a n x − x 0 0 :=1
czyli
n =0
∞
a n x − x 0 n = a 0 a 1 x − x 0  a 2 x − x 0 2 
Uwaga
Wystarczy badać zbieżność szeregów potęgowych o środku w punkcie 0 , bo
podstawiając t := x − x 0 , otrzymujemy n =0
∞
a n t n -szereg potęgowy o środku w punkcie 0.
Lemat Abela
∞
Jeśli n =0
a n x n jest zbieżny w punkcie ∈ K ∖ { 0 } , to szereg ten jest zbieżny bezwzglednie
w kuli K 0,∣∣ oraz jest zbieżny jednostajnie w każdej kuli domkniętej K 0, ,
gdzie 0∣∣.
Dowód
∞
n =0
a n x n − zbieżny w ∈ K ⇒
WK
lim
n ∞
a n n =0 ⇒  a n n n ∈ℕ − ciąg ograniczony ⇒
⇒∃ M 0 : ∥ a n n ∥ M dla n ∈ℕ.
Niech x ∈ K 0,∣∣. Wtedy ∣ x ∣∣∣⇒
∥ a n n n
∥ = ∥ a n n ∥ ⋅ ∣ ∣
n
∣ ∣
n
∥ a n x n ∥=
M
∞
∣ ∣
n
∣ ∣ 1
Ponieważ n =0
M
-zbieżny jako szereg geometryczny o ilorazie q =
∞
∣ ∣
n
∞
zatem n =0
- zbieżna majoranta szeregu n =0
M
∥ a n x n ∥. Stąd na podstawie kryterium
∞
porównawczego n =0
∥ a n x n ∥− zbieżny ∀ x ∈ K 0,∣∣ ⇒
- 1 -
145788843.006.png 145788843.007.png
∞
⇒ N =0
a n x n -zbieżny bezwzględnie w K 0,∣∣.
Niech x ∈ K 0, , gdzie 0∣∣ . Wtedy
∥ a n n
n
∥ =∥ a n n ∥⋅ ∣ ∣
n
∣ ∣
∣∣
n
}
∥ a n x n ∥=
M
M
∞
Tw.Weierstrassa
n =0
a n x n − zbieżny
∞
∣∣
n
− zbieżna majoranta szeregu ∑ a n x n
jednostajnie w K 0,.
n =0
M
Defi n icj a
Definiujemy promień zbieżności szeregu potęgowego R w następujący sposób :
R : = sup { r : n =0
∞
a n x n − zbieżny w kuli K 0, r }
oraz dodatkowo
∞
R :=0 , jeśli n =0
a n x n zbieżny tylko w x =0 ,
∞
R :=∞ , jeśli n =0
a n x n zbieżny ∀ x ∈ K .
Ponadto, jeśli
R 0 ⇒ K 0, r -nazywamy kołem zbieżności szeregu,
K =ℝ ⇒ K 0, R =− R , R - przedział zbieżności szeregu.
Uwaga
∞
Szereg n =0
a n x n w K / K 0, R - jest rozbieżny.
Wniosek
∞
Niech R - promień zbieżności szeregu n =0
a n x n .
Wtedy
1˚ n =0
∞
a n x n - zbieżny bezwzględnie i niemal jednostajnie w K 0, R
∞
2˚ n =0
a n x n -rozbieżny w K / K 0, R .
Jeżeli ∣ x ∣= R , to aby rozstrzygnąć zbiezność szeregu dla tych x , należy szereg zbadać
inaczej.
- 2 -
n
⇒
145788843.008.png
Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda
Niech : = lim sup
n ∞
∥ a n ∥ .
∞
Wtedy promień zbieżności szeregu potęgowego n =0
a n x n wynosi:
{ 0 , gdy =∞ ,
R =
1
, gdy 0∞ ,
∞ , gdy =0 .
Dowód
Wystarczy zbadać, kiedy szereg n =0
∞
a n x n jest zbieżny bezwzględnie. Na podstawie
∞
∥ a n x n ∥1 ,czyli
kryterium Cauchy'ego szereg n =0
∥ a n x n ∥ jest zbieżny, jeśli lim sup
n ∞
n
limsup
n ∞
∥ a n x n ∥=limsup
n ∞
∥ a n ∥⋅∣ x n ∣=limsup
n ∞
∣ x ∣ n
∥ a n ∥=∣ x ∣limsup
n ∞
∥ a n ∥=∣ x ∣⋅1 .
Jeśli 1˚ =0 ⇒ ∀ x ∈ K : ∣ x ∣⋅1 ⇒ R =∞ ,
2 ˚ =∞ ⇒ tylko dla x =0 : ∣ x ∣⋅1 ⇒ R =0
≠∞ } ⇒∣ x ∣ 1
□
Przykład
3 ˚ ≠0
∞
Obliczyć promień i przedział zbieżności szeregu n =0
−2 n 1 x n .
=:limsup
n ∞
∣−2 n 1 ∣=limsup
n ∞
∣2 ⋅2 n ∣=2 ⇒
Tw.Cauchy ' ego − Hadamarda
R = 1
2 ⇒~dla ∣ x ∣ 1
2
szereg jest zbieżny .
sprawdzimy zbieżność na końcach przedziału zbieżności
dla x = 1
∞
2
n
∞
n =0
= n =0
2 :
−2 n 1 ⋅
−1 n 1 ⋅2 − szereg rozbieżny
dla x =− 1
2
∞
− 2
n
∞
n =0
= n =0
:
−2 n 1 ⋅
−2− szereg rozbieżny
∞
− 2 , 2 .
czy l i n =0
−2 n 1 ⋅ x n -zbieżny w
- 3 -
n
n
n
n
n
n
145788843.009.png 145788843.001.png 145788843.002.png 145788843.003.png
Twierdzenie
Jeśli istnieje granica lim
n ∞
∥ a n 1
a n
∥ = oraz a n ≠0  , to promień zbieżności szeregu
potegowego n =0
∞
a n x n wynosi
R =
{
0 , gdy =∞
1
, gdy 0∞
∞ , gdy =0
Przykład
∞
2 n !
Obliczyć promień zbieżności R szeregu n =1
n !⋅ n n ⋅ z n
, z ∈ℂ.
∥ a n 1
∥ =lim
∥ 2 n 22 n 12 n ! n !⋅ n n
n 1 n !⋅ n 1 n 1 n 2 n ! ∥ =lim
4 n 2
n
n 1
n
= 4
e ⇒ R = e
=lim
n ∞
n 1 ⋅
a n
4
n ∞
n ∞
Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu potęgowego)
∞
Niech R – promień zbieżności szeregu n =0
a n x n ,
f – suma tegoż szeregu,
∞
f x = n =0
a n x n
, x ∈ K O , R .
Wtedy
f ∈ C ∞ K O , R  -tzn. f posiada pochodną dowolnego rzędu
oraz
∞
k a n x n − k .
∀ x ∈ K O , R f k x = n = k
k !
Dowód
Na podstawie twierdzenia o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego
f ' x = n =0
∞
'
∞
∞
= n =0
a n x n ' = n =1
a n x n
n a n x n −1
,
∞
jeśli n =0
a n x n '
jest zbieżny jednostajnie.
∞
Ponieważ limsup
n ∞
∥ na n ∥= R ⇒ n =1
n a n x n −1 -zbieżny niemal jednostajnie w K 0, R  ⇒
∀ , 0 R : ∑ na n x n −1 jest zbieżny jednostajnie w K O ,  (czyli można go
różniczkować “wyraz po wyrazie”)
Analogicznie
- 4 -
n
145788843.004.png
∞
n a n x n −1
'
∞
f ' ' x = n =1
= n =2
n n −1 a n x n −2
k a n x n − k
□
Uwaga
∞
∞
n !
∞
f k x = n = k
n n −1 n −2⋅⋅ n − k 1 a n x n − k = n = k
n − k ! a n x n − k = n = k
k !
Dla x =0 teza twierdzenia przyjmuje postać
f k 0= k !
k a k = k ! a k .
Twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego
Niech
n =0
∞
a n x n − szereg rzeczywisty, to znaczy a n ∈ℝ , x ∈ℝ ,
∞
R -promień zbieżności szeregu n =0
a n x n .
Wtedy
x
n =0
∞
dx = n =0
∞
a n
∫ 0
a n x n
n 1 x n 1
∀ x ∈− R , R .
Dowód
− R − 0 R
W przedziale [− , ] , dla 0 R , szereg można całkować wyraz po wyrazie (jest
jednostajnie zbieżny)
Zatem dla x ∈− R , R
n =0
dx = n =0
∫ x
= n =0
x
∞
∞
∞
a n
∫ 0
a n x n
a n x n dx
n 1 x n 1 .
□
- 5 -
145788843.005.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin