Def. Podobieństwo Macierzy:

Macierz kwadratową A nazywamy podobną do macierzy kw. B, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P (det¹0) taka, że B=P-1AP, macierz P. nazywamy macierzą podobieństwa

Tw: Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy b z macierzą podobieństwa P., to macierz B jest również podobna do macierzy A z macierzą podobieństwa P-1

Dowód: B=P-1AP    ½*P.

               PB=AP    Þ  PB*P-1=A

Def. Macierz ortogonalna:

Macierz kwadratową i nieosobliwą A nazywamy ortogonalną Û A*AT =E

Definicja Bazy:

Układ B{e1,e2} gdzie są wektorami liniowo niezależnymi nazywamy bazą w przestrzeni V2 (analogicznie dla B-{e1,e2,e3} (Trzy wektory liniowo niezależne jeżeli kombinacja

Bazę B nazywamy ortonormalną gdy wszystkie wektory bazowe mają dł. równą 1 i są wzajemnie do siebie prostopadłe

Macierz przejścia:

Dane są dwie bazy: B{e1,e2, e3} oraz B’{e1’,e2’, e3’} w prz.V3. Z definicji bazy:

Zmiana współrzędnych wektora przy zmianie bazy:

Def: Operacji liniowej:

Operacja A: V3®V3 (A: V2®V2) nazywamy liniową jeśli spełnia warunek:

1)         - warunek addytywności (analogiczności dla V2)

2)           

-w jednorodności

Def: Operacji jednostkowej:

Operację A, która działa w V3®V3 (lub A: V2®V2 ) nazywamy jednostkową jeżeli:

A=E – ozn. op. jednostkowej.

Macierz operacji jednostkowej:

Macierz operacji jednostkowej nie zależy od bazy ( w każdej bazie jest taka sama) AB’=P-1ABP; EB’=P-1EBP=P-1P=EB.

Def: Operacji symetrycznej:

Operację A:Vn®Vn (n=2,3) nazywamy symetrycznąÛ

Def: Operacji antysymetrycznej:

Operację A:Vn®Vn (n=2,3) nazywamy antysymetrycznąÛ

Def: Wartości własne i wektory własne:

Liczbę l nazywamy wartością własną operacji liniowej A:V3®V3 (A: V2®V2) jeżeli istnieje niezerowy wektor taki, że . Wektor nazywamy wektorem własnym odpowiadającym wart. własnej l przy A.

Def. Tensor o walencji 1:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=1, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n1 liczb xi zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady:

; (xi1)=pii’xi

Def. Tensor o walencji 2:

Dowolny obiekt nazywamy tensorem o welencji=2, nad przestrzenią Vn (n=2,3) jeżeli w każdej bazie B tej przestrzeni jest on określony jednoznacznie za pomocą n2 liczb aij zwanych współrzędnymi tensora w danej bazie, przy czym współrzędne te transformują się przy zmianie bazy według następującej zasady: aij’ =pii’pjjaij

Tensor bezwładności: Jest on reprezentowany w bazie B przez macież

Tensor bezwładnosci masy m Zaczepionej w punkcie M(x1,x2,x3)

Jest to tensor symetryczny na przekątnej są to momenty bezwładności m. względem osi wyznaczonej przez wektory bazowe: -moment względny x1,x2,x3

Pozostałe momenty to momenty dewiacyjne.

Def. Kwadryka:

Zbiór wszystkich punktów M(x1x2x3) o promieniach wodzących i spełniających równanie

nazywamy kwadryką tensorową tensor IB. Kwadryka tensorowa jest to pewna powierzchnia .

Równanie kwadryki i w postaci macierzowej:

Postać kanoniczna kwadryki tensorowej: