02. Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej.pdf

(96 KB) Pobierz
Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej
POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech

Y - przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa n
,
.
R nad ciałem K )
f
: K
,
Y
a
Y
(element w przestrzeni Banacha)
x '
0
(pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
D
f D
f
Funkcja f ma pochodną ( różniczkę ) w punkcie x 0 równą Y
a
,
a
, jeśli:
f
   f
x
0
0
h
f
x
0
ah
o
h
dla
x
h
D
po podzieleniu przez h wyrażenie )
o
( h
musi dążyć do zera, gdy 0
h
lub równoważnie
  
f
x
0
0
h
f
x
ah
o
h
Oznaczenie:  f
a x 0
pochodna różniczka
f
' 
x
0
d
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
     
f
'
x
lim
f
x
0
h
f
x
0
lim
f
x
0
h
f
x
0
f
'
x
0
h
0
h
h
0
h
0
Dowód
     
f
'
x
f
x
h
f
x
ah
o
h
f
x
0
h
f
x
0
ah
0
0
0
0
h
h
0
    a
h
f
x
0
h
f
x
0
a
0
lim
f
x
0
h
f
x
0
h
h
0
h
0
ڤ
Twierdzenie
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x 0 , to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
)
.
D
(
x
0 x
f
C
(
0
1
f
)
10635265.002.png 10635265.003.png 10635265.004.png 10635265.005.png
Interpretacja pochodnej
Element
a , występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:
f
' 0 x
(
)
1.  Y
'
x
0
(traktujemy jako element przetrzeni Banacha)
f traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe
' x
0
Zatem   h
' 0 x
 K
:
h
a
h
f 0
'  jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.
x
0
h
f
'
x
Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką f
d x 0 .
Różniczka (lub pochodna ) odwzorowania f w punkcie x 0 jest to odwzorowanie liniowe i
ciągłe
d x przybliżające różnicę funkcji  
0 x
f
f
' 0
)
f
z dokładnością do 
h
f
0
o .
h
y
y=f ( x )
y 0
y – y 0 = f ' ( x 0 )( x - x 0 )
równanie stycznej do funkcji f w punkcie ( x 0 ,y 0 )
x 0 x
Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.
opracował Mateusz Targosz
2
f
2. 
f ∋ Y
(
x
0 x
10635265.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin