stat09.pdf

(136 KB) Pobierz
9
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
31
9. Twierdzenie o ekwipartycji energii (wyprowadzenie i
przykłady).
Weźmy układ opisywany za pomocą jego f współrzędnych uogólnionych
q  i
1 ,
, q
f
p . Energia takiego układu E jest wówczas
funkcją tych zmiennych:  
f
1 ,
, p
f
E
 . Często energię możemy przedstawić w postaci
E
q
1 ,
, p
E

  
f
p
i
E
q
1
, p
,
, gdzie  i jest funkcją jedynie jednej zmiennej, np. określonego pędu
p .
Załóżmy, że badany układ znajduje się w równowadze cieplnej ze zbiornikiem ciepła o
temperaturze bezwzględnej T . Jaka jest wówczas wartość średniego przyczynku energii
pochodzącego od  i ?
i
e
E
 
q
1
,
p
f
d
q
,
,
d
p
i
1
f
i
e
E
 
q
1
,
,
p
f
d
q
,
,
d
p
1
f
e
E
 
i
E
d
q
d
p
e

i
d
p
e
E
d
q
d
d
p
i
1
f
i
i
1
i
f
i
e
E
 
E
d
q
d
p
e

d
p
e
E
d
q
d
d
p
i
i
1
f
i
1
i
f
e

d
p

e

i
d
p
i
i
i
i
ln
e

d
p
i
e

d
p
e

d
p
i
i
i
i
i
i
Zastanówmy się teraz nad takim szczególnym przypadkiem, kiedy i
jest funkcją kwadratu
p , jak to jest w przypadku, gdy i
i
przedstawia energię kinetyczną.
p
2
Załóżmy więc, że i
 ma postać
, b - stała dowolna (np.
i bp
2
)
i
i
i
2
m
y
e

d
p
e
bp
2
d
p
1
e
by
2
d
i
i
2
i
i
i
zatem
ln
e

i
d
p
1
ln
ln
e
by
2
d
y
i
i
2
ln
e

i
d
p
1
ln
1
i
i
i
2
2
http://www.knujon.prv.pl
odpowiednich pędów uogólnionych
p , a E zależy od wszystkich pozostałych zmiennych z wykluczeniem tej zmiennej i
,
i
239477465.015.png 239477465.016.png 239477465.017.png 239477465.018.png 239477465.001.png 239477465.002.png
32
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
i
1
kT
2
Jeżeli układ znajduje się w stanie równowagi w temperaturze bezwzględnej T , to każdy
wyraz niezależny we wzorze na energię zawierający kwadrat pędu lub współrzędnej ma
tę samą średnią wartość równą kT
2
1
.
Przykład 1 Gaz doskonały
Cząsteczki gazu 1-atomowe
1
  kT
p
x
2
p
2
p
2
3
1
kT
3
2
m
y
z
2
2
mol
3
N
kT
3
RT
2
A
2
c mol
V
;
R
c
p
;
c
mol
V
R
5
R
c
p
5
1
67
2
2
c
3
V
Cząsteczki gazu 2-atomowe
1
  
p
2
p
2
p
2
1
L
2
L
2
2
m
x
y
z
2
I
1
2
5
kT
2
;
5
RT
c
V ;
5
R
c
p ;
7
R
7
1
2
2
2
5
Cząsteczki gazu 3 lub więcej-atomowe (wieloatomowe)
1
  3
L
2
L
2
L
2
p
2
p
2
p
2
1
2
3
2
m
x
y
z
2
I
2
I
2
I
1
2
mol
6
RT
2
c 3
V ;
R
c 4
p ;
R
4
1
33
3
Przykład 2
Ruchy Browna – chaotyczne ruchy większych cząstek w zawiesinach
http://www.knujon.prv.pl
3
mol
mol
mol
mol
mol
mol
239477465.003.png 239477465.004.png 239477465.005.png 239477465.006.png 239477465.007.png 239477465.008.png 239477465.009.png 239477465.010.png
 
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
33
p
2
x ;
1
m x
2
1
kT
2
kT
;
kT
V
x
0
2
2
m
2
m
2
V
2
0
stąd wniosek, że cząsteczka zawsze jest w ruchu.
x
Przykład 3 (Oscylator harmoniczny)
 
x
1
p
2
1
x
2
;
F
x
2
m
x
2
1
 energia oscylatora
kT
1
kT
kT
2
2
Ciało stałe jako zbiór oscylatorów trójwymiarowych: kT
;
3
E 3
mol
RT
c
mol
V
R
3
25
J
mol
K
Prawo Dulonga - Petita:
Wszystkie ciała stałe mają molowe ciepło właściwe równe 25
J
mol
K
Prawo to powinno być słuszne dla zbioru oscylatorów harmonicznych w przybliżeniu
wysokotemperaturowym. Dosyć dobrze zgadza się z doświadczeniem, za wyjątkiem
niektórych substancji, np.:
krzem – 20
J
mol
K
J
diament – 6
mol
K
Odstępstwa mogą być spowodowane poprawkami anharmonicznymi, które stają się
szczególnie istotne w wysokich temperaturach.
http://www.knujon.prv.pl
239477465.011.png 239477465.012.png 239477465.013.png 239477465.014.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin