stat19.pdf

(198 KB) Pobierz
XIX Gaz elektronów swobodnych
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
60
19. Gaz elektronów swobodnych.
E K 2
2
k
2
m
V
l
3
 2
k
2
2
2
8
g 2
2
 mE
E
mV
2
k - maksymalny promień wektora falowego (promień Fermiego w temp. 0 K)
N - całkowita liczba elektronów =objętość kuli Fermiegio x gęstość stanów
N F
4
v
k
3
2
3
8
3
k F
3
N
n
-koncentracja (gęstość) nośników
3
2
V
k F
3
-promień kuli Fermiego
3
2
n
F k
 -pęd Fermiego
F
V F
F - prędkość Fermiego
p
m
k
E F
-energia Fermiego
2
2
F
2
m
Rzędy wielkości
kula o promieniu s r jest równa objętości przypadającej na 1 elektron
4 3
r s
v
1
3
N
n
r s 4
3
3
n
1
r s
3
3
4
n
http://www.knujon.prv.pl
F
p
239479692.017.png 239479692.018.png 239479692.019.png 239479692.020.png 239479692.001.png
61
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
a o Å - promień atomu Bohra
2
me
2
0
529
Koncentrację odczytujemy z tablic: dla metalu:
N (elektron ma kilka promieni atomu
s
~
2
6
Q
o
Bohra dla swobodnego ruchu)
3
63
10
10
4 6
,
20
m
k
m
1
V
10
~
1
%
F
r
F
r
s
s
s
a
o
a
o
Wnioski:
1. Mimo, że T=0K (klasycznie powinny przestać się poruszać) okazuje się, że elektrony muszą się
poruszać, ponieważ stany podstawowe są zajęte i muszą być pakowane do wyższych stanów
energetycznych, tworząc kulę Fermiego.
2. Największa prędkość elektronów jest rzędu 1%c, czyli możemy zaniedbać poprawki
relatywistyczne.
k
E
2
2
e
2
  2
F a
F
k
2
m
2
a
F
o

o
energia atomu
wodoru eV
1 
Ry ,
13
E  
5
,
01
eV
1
eV
~
11400
K
Na poziomie Fermiego elektrony mają taką energię, jaką
F
  2
a
s
o
miałaby gaz idealny o T ~ 11400 K
E  (energia termiczna w temperaturze pokojowej)
F E
ter
Jeżeli dodamy temperaturę, to rozmyje nam krawędź kuli Fermiego, ale bardzo niewiele. Nadal
w pierwszym przybliżeniu można przyjąć, że wszystkie stany poniżej są obsadzone, a powyżej są
puste.
Energia całkowita (dla T =0K )
całka po kuli Fermiego
k
F
2
k
2
V
V
2
k
F
V
2

E
E
K k
k
d
3
k
4
k
2
d
k
k
4
d
k
5
2
m
4
3
2
m
2
10
m
2
F
K
O
o
Średnia energia na jedną cząsteczkę
http://www.knujon.prv.pl
r
239479692.002.png 239479692.003.png 239479692.004.png 239479692.005.png
 
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
62
E
1
V
2
k
2
3
2
k
2
3
F
F
E
N
2
N
10
m
5
2
m
5
F
E
3
E
N
5
F
T F
F  K
E
58 4
,
2
10
k
rs
a
o
T są duże w porównaniu z energią termiczną (w T =0 K).
Liczymy przybliżenie gazu doskonałego, więc nie liczymy energii potencjalnej. Ale ponieważ gaz
elektronów rozpatrujemy w sieci krystalicznej, więc w pierwszym przybliżeniu można zaniedbać
oddziaływanie między elektronami.
Własności termodynamiczne gazu elektronów swobodnych.
Statystyka Fermiego:    
f
E
1
E
1
n
F
E
średnie obsadzenie danego poziomu
e
energetycznego
r
rozkład Fermiego
w T=0 K
http://www.knujon.prv.pl
E jak i F
Zarówno F
239479692.006.png 239479692.007.png 239479692.008.png 239479692.009.png
63
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
  F
T
K
0
E
T>0 K  F
T
E
N d - to równanie pozwala wyznaczyć potencjał chemiczny
g

E
n
F
E
E
o
Funkcja    1
f
E

1
zwana jest rozkładem Fermiego
e
E
Jest to funkcja rozkładu dla cząstek, z których tylko jedna może zajmować każdy stan
kwantowy. Dla elektronów i wszystkich pozostałych cząstek mających spin połówkowy, czyli dla
fermionów, taka funkcja rozkładu zapewnia spełnienie zakazu Pauliego. Rozkład Fermiego jest słuszny
dla wszystkich układów atomów lub cząstek umieszczanych na z góry ustalonych pozycjach, wszędzie
tam, gdzie tylko jeden atom lub cząstka może zajmować taką pozycję. sytuacje takie można napotkać
przy rozważaniu termodynamiki defektów, rozpuszczania gazów w ciałach stałych.
W wyższych temperaturach ostra krawędź funkcji Fermiego zostaje zaokrąglona- stany poniżej
energii F
E mają skończone prawdopodobieństwo bycia pustymi, a te o energiach wyższych od F
2 . Widać, że w miarę podnoszenia temperatury tylko
niewielka liczba elektronów może pobrać energię. Fakt ten ma istotne konsekwencje, np. dla ciepła
właściwego gazu elektronowego.
Ciepło właściwe elektronów w metalach
Dla typowej koncentracji elektronów przewodnictwa należałoby oczekiwać, poza ciepłem
właściwym sieci krystalicznej, wkładu od elektronów do ciepła właściwego nk
c 2
, zgodnie z
prawem ekwipartycji energii - przynajmniej w podwyższonych temperaturach. Doświadczenia
wykonywane na metalach nie wykazały jednak odchyleń od prawa Dulonga- Petita. Powód jest prosty:
elektrony, w odróżnieniu od gazu klasycznego, mogą pobierać energię tylko wtedy, gdy mają
możliwość przeniesienia się na nie obsadzony stan o energii niewiele się różniącej od energii stanu
wyjściowego. Liczba elektronów, które mają taką możliwość, wyrażona jako ułamek całkowitej
koncentracji n , jest zaledwie rzędu 1%, jak to pokazuje następujący przykład:
http://www.knujon.prv.pl
E
mogą być zapełnione. Szerokość obszaru, na którym odchylenie funkcji Fermiego od funkcji
schodkowej jest znaczące, jest rzędu kT
3
239479692.010.png 239479692.011.png 239479692.012.png
 
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
64
„Rozmyty” obszar funkcji Fermiego ma szerokość rzędu 4 kT , czyli zakaz Pauliego zezwala tylko części
4 wszystkich „swobodnych” elektronów (o koncentracji n ) na absorbowanie energii termicznej.
Energia przypadająca na jeden elektron jest rzędu kT , tak więc energia całkowita wszystkich
termicznie wzbudzonych elektronów jest rzędu

kT /
E
F
4
kT
2
n
U
~
E
F
F temperaturę Fermiego, otrzymujemy następujące oszacowanie rzędu
wielkości ciepła właściwego elektronów:
E T F
k
c 8
~
knT
el
T
T
F
Temperatury Fermiego są rzędu 10 5 K i to, ze względu na czynniki
T
T we wzorze, tłumaczy znikomy
E
wkład elektronów przewodnictwa do ciepła właściwego.
Przeprowadzimy dokładnie obliczenia:
E -energia elekt.
el
C el
el
- ciepło właściwe elektronów
T
E
el
E
g
 E
E
f
E
d
o
E F
el
  E
E
f
E
,
T
g
E
d
c F
   E
E
f
E
,
T
g
E
d
el
T
Pochodna funkcji Fermiego po te mp eraturze jest niezerowa tylko w pobliżu energii Fermiego.
Ponieważ gęstość stanów  E
   E
T
f
c
g
E
E
E
d
el
F
p
o
f
1
E
E
e
 
E
E
F
F
T
T
E
E
kT
2
2
E
F
E
E
 ,
E
F
F
e
1
kT
F
e
kT
1
zróbmy podstawienie;
E x F
E
dx
dE
kT
kT

   
e
x
d
x
e
x
c
g
E
k
2
T
x
2
g
E
k
2
T
x
2
d
x
el
F
x
2
F
x
2
F
e
1
e
1
E

kT
2
3
http://www.knujon.prv.pl
Oznaczając przez
Eg ~ , czyli jest ciągłą funkcją energii, w obliczenia istotna jest tylko
gęstość stanów na powierzchni Fermiego.
239479692.013.png 239479692.014.png 239479692.015.png 239479692.016.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin