FCS_cz2.doc

(27659 KB) Pobierz

Pasmowy model ciała stałego:

Pasmowy model ciała stałego:
model Kroniga-Penney’a

Model elektronów swobodnych nie wyjaśnia dlaczego jedne ciała są dobrymi przewodnikami inne zaś półprzewodnikami o własnościach elektrycznych w znacznym stopniu zależnych od temperatury lub izolatorami.

Obserwuje się dużą różnicę między oporem typowego przewodnika metalicznego a izolatora:

opór czystego metalu w niskich temperaturach jest rzędu 10-10 cm, opór izolatora osiąga wartość 1022 cm.

Obserwowany przedział wartości oporu obejmujący 32 rzędy wielkości jest przypuszczalnie najszerszym przedziałem wartości powszechnie występującej właściwości ciała stałego.

Z modelu opisującym strukturę energetyczną ciała stałego wynika, że elektrony w kryształach znajdują się w pasmach energetycznych.

Rys.2.1 Ilustracja struktury pasmowej a), b) metal, c) izolator d) półprzewodnik

Przyjmuje się, że energia potencjalna w krysztale zmienia się periodycznie w przestrzeni, dozwolone stany energetyczne są skwantowane, poziomy grupują się w pasma, pasma te oddzielone są pasmami wzbronionymi.

2.2 Schemat przedstawiający poziomy energetyczne dwóch izolowanych atomów A i B, odległość środków atomów wynosi R i jest wystarczająco duża by atomy nie oddziaływały ze sobą. Dla ilustracji dwa skwantowane poziomy energetyczne dla n=1 i n=2 są przedstawione.

(K. F. Brennan:„The physics of semiconductors”1999)

Rys.2.3 Ilustracja przedstawiająca jak poziomy energetyczne oddziaływujących atomów formują pasma energetyczne

2.4 Potencjał periodyczny w krysztale jednowymiarowym, wysokość potenjału wynosi V0 , szerokość b. (K. F. Brennan:„The physics of semiconductors”1999)

Równanie Schrödingera dla tak przyjętego jednowymiarowego potencjału periodycznego ma następującą postać:

Dla:

1) 0< x < a:

(2.1)

2) -b < x < 0

(2.2)

Rozwiązaniem równania Schrödingera dla periodycznego potencjału są funkcje Blocha:

(2.3)

Należy znaleźć współczynnik Uk (x) występujący przed eksponentą, dla równania (2.1) oraz (2.2). Podstawiamy postulowane rozwiązanie (2.3) do równania (2.1) oraz (2.2) i otrzymujemy równania Uk1 oraz Uk2:

ad1)

(2.4)

gdzie:

(2.5)

ad2)

(2.6)

gdzie:

(2.7)

Stałe A, B, C i D znajdziemy z czterech równań, które zostaną zapisane przy wykorzystaniu własności funkcji falowych spełniających równanie Schrödingera:

a) ciągłość funkcji:

(2.8)

b) ciągłości pierwszych pochodnych:

(2.9)

c) periodyczności funkcji:

(2.10)

d) periodyczności pochodnych:

(2.11)

Z warunków od a) do c) otrzymamy układ czterech równań jednorodnych na nieznane wartości A, B, C i D.

Taki układ równań posiada niezerowe rozwiązania, gdy wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych A, B, C i D jest równy zero.

Ten warunek daje w efekcie równanie:

(2.12)

Gdzie P jest miara energii wiązania elektronu w studni potencjału i jest zdefiniowane:

(2.13)

Taka definicja wynika z następujących własności potencjału V:

Potencjał V spełnia własności funkcji delty Diraca tzn. gdy to tak żeby miało wartość skończoną

Równanie (2.12) jest relacja dyspersji dla tego zagadnienia i jest zarazem równaniem na nieznana wartość a czyli zgodnie z równaniem (5P) możemy wyliczyć wartości własne E dla których istnieją funkcje falowe Blocha.

Analizujemy równanie (2.12):

Prawa strona równania zawiera się w wartościach ± 1 natomiast lewa strona może przekraczać te wartości, należy określić zakres zmienności argumentu , dla którego lewa strona równania (2.12) będzie również zawarta w granicach ± 1.

2.5 Wykres funkcji dla P=3p/2 Dozwolone wartości () podane są przez zakresy dla których funkcja zawiera się pomiędzy +1 i –1 (wg Kroniga i Penneya)

Jak widać z przebiegu funkcji istnieją wartości , dla których lewa strona równania (2.12) jest zawarta w wymaganych granicach, wartości te wyznaczają zakres pasma energetycznego, w którym znajdują się dozwolone stany energetyczne. Dla pozostałych wartości występuje przerwa energetyczna, tzw. pasmo wzbronione co oznacza, że te stany energetyczne nie mogą być obsadzone. Z tej analizy wynika, że struktura energetyczna elektronów, znajdujących w obszarze działania periodycznego potencjału posiada charakter pasmowy, występują pasma dozwolone i pasma wzbronione. Jak widać z ilustracji szerokość pasma dozwolonego wzrasta

wraz ze wzrostem czyli ze wzrostem energii E. Szerokość pasma dozwolonego zależy od P i maleje wraz ze wzrostem P

Rys.2.6 Zależność energii E od wektora falowego k (relacja dyspersji) dla potencjału Kroniga-Penney’a, dla . Przerwa energetyczna (obszary wzbronione) występuje dla

Z relacji dyspersji (12P) wynikają dwa skrajne, dyskutowane wcześniej przypadki:

Elektron w studni potencjału o nieskończenie wysokich brzegach pasma energetyczne staja się bardzo wąskie i widmo energii staje się liniowe.

Dla bo:

ma wartość skończoną i wówczas otrzymujemy:

(2.14)

Wartości własne dla tego zagadnienia wynoszą:

(2.15)

b) Elektron swobodny

Wówczas wszystkie stany są dozwolone:

(2.16)

Dla otrzymujemy przypadek pośredni, pasma energii dozwolonej przedzielone są pasmami wzbronionymi.

Strefy Brillouina

Nieciągłości funkcji E = E(k) występują dla wartości

Dla wszystkich wartości k zawartych miedzy tymi wyznaczającymi nieciągłość funkcji, wszystkie wartości własne są dopuszczalne.

Wartości k zawarte między -p/a oraz + p/a wyznaczają I-szą strefę Brillouina,

Wartości k zawarte między +p /a i +2p/a oraz –p/a i –2p/a wyznaczają II-gą strefę Brillouina

Można wykreślić krzywe stałej energii E = const. Gdy relacja dyspersji jest kwadratowa (E ~ k2 ) to krzywe E=const są okręgami, przykład elektrony swobodne w modelu Fermiego.

Gdy elektrony poruszają się w polu zmiennego potencjału np. w sieci krystalicznej; potencjał periodyczny to relacja dyspersji nie jest kwadratowa (rys 2.7 i krzywe E=const)

STREFY BRILLOUINA