calki_nieozn_cw.pdf

(178 KB) Pobierz
Microsoft PowerPoint - CALKI_NIEOZN_CW.ppt
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI 1- ZMIENNEJ
ZMIENNEJ
Def.
Funkcj ħ F(x) nazywamy funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji f(x)
(okre Ļ lonej w pewnym przedziale sko ı czonym lub
(okre Ļ lonej w pewnym przedziale sko ı czonym lub
niesko ı czonym), je Ň eli w ka Ň dym punkcie tego przedziału
niesko ı czonym), je Ň eli w ka Ň dym punkcie tego przedziału
spełniona jest równo Ļę
spełniona jest równo Ļę
dF
=
f x
( )
dx
Tw.
Ka Ň da funkcja ci Ģ gła w przedziale X ma w nim funkcj ħ
pierwotn Ģ , o takiej funkcji mówimy Ň e jest całkowalna w sensie
Ka Ň da funkcja ci Ģ gła w przedziale X ma w nim funkcj ħ
pierwotn Ģ , o takiej funkcji mówimy Ň e jest całkowalna w sensie
Newtona na tym przedziale
Newtona na tym przedziale
Tw.
(x) s Ģ wtedy i tylko wtedy funkcjami
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy ró Ň ni Ģ si ħ mi ħ dzy sob Ģ w
(x) i F 2 (x) s Ģ wtedy i tylko wtedy funkcjami
pierwotnymi tej samej funkcji f(x), gdy ró Ň ni Ģ si ħ mi ħ dzy sob Ģ w
rozwa Ň anym przedziale X o stał Ģ warto Ļę C
rozwa Ň anym przedziale X o stał Ģ warto Ļę C
a
F 2 (x)
(x)
a
F 1 (x)
(x)
tg
a
=
dF
dx
x a
a
X
F
2 (
x
)
=
F
1
(
x
)
+
C
1
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI 1
Def
Funkcj ħ F(x) nazywamy funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji f(x)
Tw
Tw
Dwie funkcje F 1 (x) i F
Dwie funkcje F
=
252645575.022.png
Def.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
rozwa Ň anym przedziale X nazywamy całk Ģ nieoznaczon Ģ
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) w
rozwa Ň anym przedziale X nazywamy całk Ģ nieoznaczon Ģ
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
funkcji f(x), i oznaczamy symbolem
( )
Ð
f x dx
Z tw
tw . o funkcjach pierwotnych wynika Ň e:
. o funkcjach pierwotnych wynika Ň e:
Ð
f x dx F x C
( )
=
( )
+
a stała C nosi nazw ħ stałej całkowania
Znajdowanie funkcji pierwotnych – czyli całek
czyli całek
nieoznaczonych – nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
nazywamy całkowaniem. Całkowanie jest
działaniem odwrotnym do ró Ň niczkowania, tzn.
działaniem odwrotnym do ró Ň niczkowania, tzn.
d
Ç × =
f x dx
( )
f x
dx
É Ù
Przykład 1.1
Zbada ę , czy funkcja 2x
Zbada ę , czy funkcja 2x 3 +4
+4 jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji 6x
jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji 6x 2
d
(
2
x
3
+ =
)
d
(
x
3
+ = × × =
2 2 3
)
x
2
6
x
2
dx
dx
Funkcja 2x 3 +4 JEST funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji 6x
+4 JEST funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji 6x 2
Zadanie 1.1
Zbada ę , czy funkcja 2cos(x)+4
Zbada ę , czy funkcja 2cos(x)+4 jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji
jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji
2sin(x)
2sin(x)
Zadanie 1.2
Zbada ę , czy funkcja 2sin(x)+4
Zbada ę , czy funkcja 2sin(x)+4 jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji
jest funkcj Ģ pierwotn Ģ funkcji
2cos(x)
2cos(x)
2
Def
Z
Znajdowanie funkcji pierwotnych
nieoznaczonych
Ð
( )
Przykład 1.1
4 2
Funkcja 2x
Zadanie 1.1
Zadanie 1.2
252645575.023.png 252645575.024.png 252645575.025.png
Całki nieoznaczone podstawowych funkcji
Ð
adx ax C
= +
Ð
sinh( )
x dx
=
cosh( )
x C
+
Ð
x dx
n
=
1
x
n
+
1
+
C
;
n
¹ −
1
Ð
cosh( )
x dx
=
sinh( )
x C
+
n
+
1
Ð Ð
x dx
−
1
=
1
dx
=
ln
x C
+
Ð
sinh ( ) dx
1
= −
coth( )
x C
+
2
x
x
a
x
1
Ð
a dx
x
=
+
C
;
a
>
0,
a
¹
1
Ð
cosh ( ) dx
= −
tgh x C
( )
+
ln( )
a
2
x
Ð
e dx e C
x
= +
x
;
e
=
2.718...
Ð
sin( )
x dx
= −
cos( )
x C
+
Ð
ln( )
x dx x x x C
=
ln( )
− +
Ð
cos( )
x dx
=
sin( )
x C
+
Ð
1
dx
=
arcsin( )
x C
+
Ð
sin ( ) dx
1
= −
cot( )
x C
+
1
−
x
2
2
x
Ð
1
dx
=
arc ( )
tg x C
+
Ð
cos ( ) dx tg x C
1
=
( )
+
2
x
1
+
x
2
Tw
Je Ň eli funkcje f(x) oraz h(x) s Ģ całkowalne w sensie Newtona w
pewnym przedziale, to funkcje
Je Ň eli funkcje f(x) oraz h(x) s Ģ całkowalne w sensie Newtona w
pewnym przedziale, to funkcje
f(x)+h(x)
oraz a*f(x)
a*f(x) (a
(a – stała)
stała)
S Ģ tak Ň e całkowalne w sensie Newtona w tym przedziale, oraz
Ð
[
f x h x dx
( ) ( )
+
Ð Ð
Ð Ð
]
=
[ ]
f x dx
( )
+
[ ]
h x dx
( )
af x dx a f x dx
( )
=
( )
Przykład 1.2
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji : 2x+5(2
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji : 2x+5(2 x )
( )
( )
( )
Ç ×
1
Ç ×
2
x
5
Ð
Ç
2 5 2
x
+
x
×
dx
=
Ð Ð Ð Ð
2
xdx
+
5 2
x
dx
=
2
xdx
+
5 2
x
dx
=
2
x
2
+
5
= +
x
2
2
x
È Ø
É
Ù
È Ø
É Ù É Ù
2
ln 2
ln 2
3
oraz
Przykład 1.2
252645575.001.png 252645575.002.png 252645575.003.png 252645575.004.png 252645575.005.png 252645575.006.png 252645575.007.png 252645575.008.png 252645575.009.png
Zadanie 1.3
5
x
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji:
3
Zadanie 1.4
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji:
2 sin( ) 3cos( )
x
+
x
Zadanie 1.5
1
3 4 (2 )
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji:
−
x
2
Zadanie 1.6
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji:
ln(5 )
x
Zadanie 1.7
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji:
4 x x x
Techniki całkowania
Całkowanie przez podstawienie.
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyj Ļ ciowego wyznaczenia całki
nieoznaczonej do równowa Ň nego zagadnienia , o znanej
nieoznaczonej do równowa Ň nego zagadnienia , o znanej
całce nieoznaczonej
całce nieoznaczonej
Tw.
Je Ň eli f(x)=g[h(x)]*h’(x), funkcja t=h(x) ma ci Ģ gł Ģ pochodn Ģ w
przedziale (a,b), gdzie t
przedziale (a,b), gdzie t Î (A,B) gdy
(A,B) gdy x Î (a,b) , a funkcja g(t) jest
(a,b) , a funkcja g(t) jest
ci Ģ gł a w (A,B) to zachodzi
a w (A,B) to zachodzi
Ð Ð
( )
=
g h x h x dx
( ) '( )
=
Ð
g t dt
( )
4
Cel: sprowadzenie zagadnienia wyj Ļ ciowego wyznaczenia całki
Tw
Je Ň eli f(x)=g[h(x)]*h’(x), funkcja t=h(x) ma ci Ģ gł Ģ pochodn Ģ w
ci
f x dx
[ ]
252645575.010.png 252645575.011.png 252645575.012.png
Przykład 1.3
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji cos(6x)
Ð
cos(6 )
x dx
=
=
Ð
cos( )
t dt
1
=
1
Ð
cos( )
t dt
=
1
sin
t C
+ = =
1
sin 6
x
+
C
6
6
6
6
t h x
=
( ) 6
=
x
dt h x dx
=
'( )
=
6
dx dx
® =
1
d
t
6
Przykład 1.4
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji
1
4 x
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji
+
2
Ð Ð
1
dx
=
1
dx
=
1
Ð
1
dx
=
4
+
x
2
Ä Ô
1
4
Ä
2
Ô
x
2
Ä Ô
4 1
+
x
Å Õ
Å
1
+
Õ
Å Õ
4
Å
Õ
Æ Ö
2
Æ
Æ Ö
Ö
1
Ð
1
dx
=
=
1
Ð
1
2
dt
=
2
Ð
1
dt
=
2
arctg( )
t C
+ = =
2
arctg
Ä Ô
x
+
C
Å Õ
4
4
( )
4
( )
4
4
2
Ä
Ä Ô
x
2
Ô
1
+
t
2
1
+
t
2
Æ Ö
Å
1
+
Õ
Å Õ
Å
Õ
Æ Ö
2
Æ
Ö
t h x
=
(
)
=
x
2
dt h x dx
=
'( )
=
1
dx
®
dx
=
2
d
t
2
Przykład 1.5
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji
x e −
2
x
3
Ð
x e dx
2
−
x
3
= =
Ð
x e
2
t
−
1
d
t
=
−
1
Ð
e dt
t
= −
1
e
t
+ = =
C
−
1
e
−
x
3
+
C
3
x
2
3
3
3
t h x
=
( )
= −
x
3
dt h x dx
=
'(
)
= −
3
x d
2
x
®
d
x
=
−
1
dt
3
x
2
Przykład 1.6
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji
6
(2 3)
x +
Oblicz całk ħ nieoznaczon Ģ funkcji
Ð
(2 3)
x
+
6
dx
= =
Ð Ð
t
6
1
dt
=
1
t dt
6
=
1 1
t C
+ = =
1
(2 3)
x
+
7
+
C
2
2
2 6 1
+
14
t h
=
( ) 2 3
x
= +
x
dt h x x
=
'(
)
d
=
2
d
x
®
dx
=
1
d
t
2
5
Przykład 1.4
Przykład 1.6
7
252645575.013.png 252645575.014.png 252645575.015.png 252645575.016.png 252645575.017.png 252645575.018.png 252645575.019.png 252645575.020.png 252645575.021.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin