Zadania ze statystyki
Lista 5.
Estymatory parametrów badanej populacji i ich własności.
Zad. 1. Populacja generalna X ma rozkład określony funkcją gęstości postaci
f(x) = , 0 < x < 1, a>0.
Z populacji tej losujemy n–elementową próbę prostą i jako estymator parametru a przyjmujemy średnią z próby . Czy jest to estymator nieobciążony parametru a?
Zad. 2. Pewien proces produkcyjny zachodzi zgodnie z następującą funkcją gęstości
f(x) = k2 x e-kx dla x > 0.
Losujemy n–elementową próbę prostą i jako estymator parametru k przyjmujemy średnią z próby . Czy jest to estymator przynajmniej asymptotycznie nieobciążony parametru k?
Zad. 3. Populacja ma rozkład skokowy, określony funkcją prawdopodobieństwa postaci
P (X = 2) = P ( X = 3) = P ( X = 4) = .
Z populacji tej losujemy dwuelementową próbę prostą. Obliczyć wartość liczbową obciążenia estymatora parametru s= D(X) tej populacji.
Zad. 4. W pewnym systemie masowej obsługi czas obsługi obiektu jest zmienną losową o rozkładzie określonym funkcją gęstości
f(x) = , x ³ 0, A > 0.
Celem oszacowania parametru A zbadano czasy obsługi dla czterech niezależnych i losowo wybranych obiektów, otrzymując następujące wyniki (w min.):
15,4; 13,8; 14,1; 16,7.
Jaką można podać w oparciu o te wyniki nieobciążoną ocenę parametru A (wraz z błędem standardowym szacunku)?
Zad. 5. Populacja generalna X ma rozkład normalny N (m, s). Zbadać, czy obliczana z n–elementowej próby prostej jest estymatorem nieobciążonym parametru m.
Zad. 6. Wykazać, że średnia z próby jest estymatorem nieobciążonym parametru λ w rozkładzie Poissona.
Zad. 7. Wiemy, że dla dowolnego rozkładu wartość oczekiwana wariancji z próby E (S2) = . Obliczyć obciążenie estymatora S2 parametru s2 badanej populacji (n–liczebność próby prostej).
Zad. 8. Populacja generalna ma rozkład normalny N (m, s). Z populacji tej wylosowano n–elementową próbę prostą. Pokazać, że średnia arytmetyczna z tej próby jest estymatorem najefektywniejszym parametru m, tj. średniej populacji tego rozkładu.
Zad. 9. Wiemy, że mediana Me z dużej próby prostej wylosowanej z populacji normalnej N (m, s) ma rozkład asymptotycznie normalny N (m, ). Zbadać, czy mediana z próby jest estymatorem najefektywniejszym średniej m populacji rozkładu normalnego.
Zad. 10. Znaleźć najmniejszą możliwą wariancję estymatora nieobciążonego wariancji s2 populacji normalnej N (m, s) oraz zbadać, jak zwiększa się efektywność estymatora nieobciążonego wariancji s2 w tym rozkładzie, dla n = 4, 10, 100.
Zad. 11. Populacja generalna X ma rozkład Poissona z nieznanym parametrem λ. Za estymator parametru λ przyjmujemy średnią arytmetyczną z n–elementowej próby prostej. Zbadać efektywność tego estymatora.
uczelnia.zarzadzanie