rozd6.pdf

(389 KB) Pobierz
QPrint
6. PRAWA WIELKICH LICZB I TWIERDZENIA
GRANICZNE
s
A ssp
k
sss
k kA s
k
=
s =
kk
k
=
=
p
k
=
=
q
=
−
p
p
pq
k
=
k
=
sssA n
s np
S
n
=
+
+
n
S n =
npq
S n =
Twierdzenie 1 (prawo wielkich liczb w postaci Bernoulliego). Dla kaŇdego
>
mamy
S n
−
p
>
przy
n
n
s
n
>
S
n
−
p
>
=
S
−
np
>
n
npq
=
pq
n
n
n
n
ss
s s
s s s n
A =
ss
s n
S n sp.
ss
S
n
CiĢg ZL
n
jest zbieŇny wedþug prawdopodobieıstwa (stocha-
stycznie) do ZL
, jeŇeli dla kaŇdego
>
mamy
n
−
>
=
n
−
>
przy
n
=
S n s
sA p
169132192.014.png 169132192.015.png 169132192.016.png 169132192.017.png
ss
p
n
ss
S
n
n
p
p
Twierdzenie 2. Niech a
n
p
, b
, gdzie a i b sĢ pewnymi liczbami
n
p
rzeczywistymi,
f jest funkcjĢ ciĢgþĢ w punkcie
y
b
a . Wwczas
f
n
n
p
f
a
b
.
s
f s y
y
x
x + y
x
−
xy
x ss
s
s JeŇeli
y
p
a
,
, to
p
b
+
p
a
+
b
,
n
n
n
n
a
−
p
a
−
b
,
p
ab
,
n
p
, gdy
b .
n
n
n
n
b
n
s JeŇeli
p
n
,
p
n
, to
p
n
+
n
+
,
p
−
−
,
p
,
n
p
, gdy
=
.
n
n
n
n
n
n
s
F n
x
s
F
x
Mwimy, Ňe ciĢg ZL
n
jest zbieŇny do ZL
wedþug rozkþadu
(sþabo zbieŇny), jeŇeli
F n przy
x
x
F
n w kaŇdym punkcie ciĢgþoĻci funkcji
F . Oznaczenie sþabej zbieŇnoĻci to
x
n , lub
F n .
x
x
F
Twierdzenie 3. JeŇeli
p
n
, to
n
.
s
ssss
sss
s
ssss
s
x
169132192.001.png 169132192.002.png
s
=
n
k
=
n
k
k
sss
s
sss
sn
n s
ss k
k
Mwimy, Ňe ciĢg ZL
n
okreĻlonych na przestrzeni probabili-
stycznej
S
speþnia prawo wielkich liczb, jeŇeli
n
n
p
−
.
k
k
n
n
k
=
k
=
ssss
s
Twierdzenie 4 (prawo wielkich liczb w postaci Czebyszewa). JeŇeli
jest
ciĢgiem niezaleŇnych ZL, majĢcych jednostajnie ograniczone wzglħdem n wariancje
(tj. istnieje dodatnia liczba staþa C taka, Ňe C
n
dla wszystkich n), to ciĢg ten
n
speþnia prawo wielkich liczb.
ss
>
n
n
n
n
n
k
C
=
=
−
k
k
k
n
= n
n
k
k
n
n
s
−
n
k
n
k
k
=
k
=
n
s
Twierdzenie 5 (prawo wielkich liczb w postaci Chinczyna). Niech
bħdzie
ciĢgiem niezaleŇnych ZL o tym samym rozkþadzie ze skoıczonĢ wartoĻciĢ oczekiwanĢ
n
n
=
p
. Wwczas
=
a
a
.
k
n
k
169132192.003.png 169132192.004.png 169132192.005.png 169132192.006.png 169132192.007.png
ss
=
s
s
Twierdzenie 6 (twierdzenie graniczne MoivreÓaÎLaplaceÓa). JeŇeli =
S
n
=
+
+
n
=npq , to
− − dx
S
np
b
a
n
b
−
e
x
npq
a
gdzie
sss
s
S ss
ss S
S
=
k
=
k
k
=
sss
=
S
>
=
k
k
sss
a −=
b
+
S
−
−
{ }
>
=
>
−
e
− dx
x
=
−
−
=
=
s
sss
s
S n
−
<
n
kk
− ba .
<
=
S
169132192.008.png 169132192.009.png 169132192.010.png
S ssn s
s
<
S n
−
n
n
S
<
S
n
−
=
<
S
−
n
n
=
n
n
S
n
−
n
n
=
<
a
−
−
a
=
a
−
n
n
a
=
n
s
a
−
a
s
a
S s
ssnp q ss
sp=nnpn s
ss s
s
k
S n =
ss
n
S
n s
=
S
=
k
=
n
p
k
q
n
−
k
q −
n p
= n
k
n
n
n
n
k
S ssn
p
Twierdzenie 7 (Poissona) . Niech n
S
S nbħdzie ciĢgiem ZL o rozkþa-
dzie dwumianowym danym wzorem . JeŇeli
>
n
np
=
to
n
n
snpq s n
=
n
169132192.011.png 169132192.012.png 169132192.013.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin