rozd1.pdf

(452 KB) Pobierz
Microsoft Word - rozd1
EWSIE
Oleg Tikhonenko
METODY PROBABILISTYCZNE
I STATYSTYKA
I
Dla studentów kierunku „Informatyka”
„ Informatyka ( łac . informatio 'wyobrażenie', 'wizerunek', 'pomysł'), ( ang. computer
science , computing science , information technology , informatics ) – dziedzina nauki i
techniki zajmująca się przetwarzaniem informacji – w tym technologiami przetwa-
rzania informacji oraz technologiami wytwarzania systemów przetwarzających in-
formacje, pierwotnie będąca częścią matematyki , rozwinięta do osobnej dyscypliny
nauki, pozostającej jednak nadal w ścisłym związku z matematyką, która dostarcza
podstaw teoretycznych przetwarzania informacji.” – Wikipedia, wolna encyklopedia.
Warszawa 2008
169132187.002.png
LITERATURA
1. Borowkow A.A. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 1975.
2. Krzyśko M. Wykłady z teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: WNT, 2000.
3. Plucińska A, Pluciński E. Probabilistyka. Warszawa: WNT, 2000.
4. Ombach J. Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowe – MA-
PLE. Kraków: Wyd. Uniwersytetu Jagiellońskiego, 2000.
5. Jakubowski J., Sztencel R. Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa:
SCRIPT, 2004.
6. Kubik L.T. Rachunek prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 1986.
7. Боровков А.А. Теория вероятностей. Москва: Эдиториал УРСС, 1999.
8. Ширяев А.Н. Вероятность. Москва: Наука, 1980.
9. Гнеденко Б.В. Теория вероятностей. Москва: Наука, 1969.
10. Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K., Wasilewski M. Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Część 1 . Rachu-
nek prawdopodobieństwa. Warszawa: PWN, 1997.
2
1. DYSKRETNA PRZESTRZEŃ ZDARZEŃ
ELEMENTARNYCH
1.1. Przestrzeń probabilistyczna
Doświadczeniem losowym będziemy nazywali takie doświadczenie, które w za-
sadzie można powtórzyć nieskończenie wiele razy w tych samych warunkach i które-
go wyniki (w tych samych warunkach) za każdym razem mogą być różne.
Nich dane jest pewne doświadczenie losowe. Oznaczmy przez  zbiór wszyst-
kich wykluczających się nawzajem wyników tego doświadczenia. Zbiór  nosi na-
zwę przestrzeni zdarzeń elementarnych. Jest to pojęcie pierwotne rachunku prawdo-
podobieństwa podobnie temu, jak pojęcie punktu w geometrii Euklidesowej. W przy-
padku jednokrotnego rzutu monetą mamy np.
{ R
}
{
2
,...,
6
, natomiast
istnieje 6 wyników elementarnych n -krotnego rzutu tej samej kostki.
W poprzednich doświadczeniach odpowiadające zbiory zdarzeń elementarnych
były skończone. Łatwo jednak podać przykład doświadczenia, któremu odpowiada
nieskończony zbiór . Rozpatrzmy np. doświadczenie polegające na rzucaniu mone-
tą dopóki po raz pierwszy nie wypadnie orzeł. Zdarzeniami elementarnymi są w tym
przypadku ciągi postaci OR , OOR , OOOR , ..., tworzące, oczywiście zbiór nieskoń-
czony (jest ten zbiór zbiorem przeliczalnym). W ciągu dalszym my będziemy zaj-
mować się także nieprzeliczalnymi zbiorami , lecz w danym rozdziale będziemy
zakładać, że zbiór zdarzeń elementarnych  jest co najwyżej przeliczalny. Przez 
będziemy oznaczać elementy zbioru , tj. zdarzenia elementarne. Celem naszego
kursu jest nauczanie rachunku prawdopodobieństwa traktowanego jako teoria mate-
matyczna. Dlatego konkretna natura przestrzeni nie będzie nas interesować.
Zdarzeniem (w przypadku co najwyżej przeliczalnego ) będziemy nazywać
każdy podzbiór
A , tj. }
:{ A
 .
Sumą dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie B
A , składające się ze
wszystkich zdarzeń elementarnych, należących albo do A albo do B:
)}
A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
wynikiem doświadczenia jest co najmniej jedno ze zdarzeń A , B .
Iloczynem dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzenie B
B
:
(
A
)
(
B
. Zdarzenie B
A (lub AB), składające
się ze wszystkich zdarzeń elementarnych, należących i do A, i do B:
3
 , tj. przestrzeń zdarzeń ele-
mentarnych składa się z dwóch elementów O – orzeł oraz R – reszka. W przypadku
n -krotnego rzutu monetą przestrzeń  składa się z 2 elementów, którymi są
wszystkie możliwe ciągi uporządkowane { O , ..., O },...,{ R , ..., R } długości n , składa-
jące się z elementów O i R . Analogicznie w doświadczeniu z jednokrotnym rzutem
kostki sześciennej zbiór  składa się z sześciu elementów
O
 . Oznacza to, że zdarzenie A zachodzi wtedy i
tylko wtedy, gdy wynikiem doświadczenia losowego jest zdarzenie elementarne
A
A
{
. Zdarzenie AB zachodzi wtedy i tylko wtedy,
gdy wynikiem doświadczenia jest jednoczesne zachodzenie zdarzeń A i B.
Różnicą B
B
AB
{
:
(
A
)
&
(
B
)}
A \ zdarzeń A i B nazywa się zdarzenie, składające się ze wszystkich
zdarzeń elementarnych, należących do A, lecz nie należących do B:
)}
A \ zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
wynikiem doświadczenia jest zachodzenie zdarzenia A przy nie zachodzeniu zdarze-
nia B.
Zbiór nazywamy zdarzeniem pewnym. Zdarzenie to zachodzi przy każdym
powtarzaniu danego doświadczenia. Zbiór pusty , będący podzbiorem każdego
zbioru, nazywam y zdarzeniem niemożliwym.
Zdarz en ie A
\
B
{
:
(
A
)
&
(
B
. Zdarzenie B
 .
Zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A.
Zdarzenia A i B nazywają się rozłącznymi (wyłączającymi się), gdy
A \
 nazywamy przeciwnym zdarzeniu A:
A
:{ A
(
)}
AB .
Oznacza to, że w danym doświadczeniu jednoczesne zachodzenie zdarzeń A i B jest
niemożliwe. W ciągu dalszym dla oznaczenia sumy rozłącznych zdarzeń A i B bę-
dziemy niekiedy używać oznaczenia B
A .
Niech np. doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką do gry. Jako
przestrzeń zdarz eń elementarnych należy tu przyjąć zbiór składający się z 36 elemen-
tów )
A  zamiast B
ji , gdzie i , j oznacza liczbę oczek otrzymaną przy pierwszym i dru-
gim rzucie odpowiednio. Wówczas zdarzenia
( i , 6
, 
1
iA i
j
{ 
3
jB są rozłącz-
{ 
6
ne; iloczynem zdarzeń A i
C
{ j
jest
parzyste
}
jest zdarzenie (1, 2).
 , jeżeli na przestrzeni określona jest nieujemna funkcja liczbowa P ta-
ka, że 1
P .
{ 
Definicja 2. Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę
{ A P
}
P .
}
A
, gdzie jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem
zdarzeń elementarnych, a P – określonym na prawdopodobieństwem, nazywa się
dyskretną przestrzenią probabilistyczną.
Zauważmy, że nadanie konkretnych wartości liczbowych funkcji P jest jedynie
sprawą praktycznej wartości tego czy innego modelu, odwzorowującego naturę zja-
wiska, badanie którego leży poza przedmiotem rachunku prawdopodobieństwa. Jest
np. jasne, że w przypadku symetrycznej kostki do gry dla wyników 1, 2,..., 6 do-
świadczenia polegającego na rzucie jednokrotnym trzeba przyjąć
Definicja 3. Dwójka P
{ PP
{
4
A
A
Definicja 1. Mówimy, że określone są prawdopodobieństwa zdarzeń elementar-
nych
169132187.003.png
 
P , natomiast dla monety symetrycznej
... 
{
1
6
P
{
O P
}
R
{
}
1
2
, co wynika z
{ P można wyznaczyć chyba tylko na podstawie rezulta-
tów długiej obserwacji działania tego urządzenia. Metodami ocen nieznanych praw-
dopodobieństw na podstawie wyników obserwacji zajmuje się statystyka matema-
tyczna.
Zauważmy, że bynajmniej nie dla wszystkich doświadczeń można zbudować
modele z dyskretną przestrzenią zdarzeń elementarnych. Przypuśćmy np., że mierzy
się energię cząstek, której możliwe wartości wypełniają odcinek ]
V . Zbiór
punktów tego odcinka (czyli zbiór  zdarzeń elementarnych) ma moc continuum
(jest nieprzeliczalny). Albo niech wynikiem doświadczenia jest elektrokardiogram
dokonany na chorym. Tutaj punktem przestrzeni  będzie element pewnej prze-
strzeni funkcyjnej. We wskazanych przypadkach potrzebne są schematy ogólniejsze.
Z podanych wyżej określeń łatwo, korzystając ze zbieżności bezwzględnej sze-
regów
[ V , 0
P , wyprowadzić następujące własności prawdopodobieństwa:
}
A
1. 1
P .
{ 
2.
P
{
A
B
}
P
{
}
P
{
}
P
{
}
P
{
}
A
B
A
B
A
B
P
{
A
}
P
{
B
}
P
{
AB
}
3.
P
}{ A
A P
1
{
}
, co wynika z tego, że A
A
.
{ P =0.
Wynika stąd w szczególności, że dla zdarzeń rozłącznych A i B (w tym przy-
padku możemy pisać B
4. }
A zamiast B
A ) mamy
.
W przypadku n parami rozłącznych zdarzeń A
P
{
A
B
}
P
{
A
}
P
{
B
}
A ...,
, 1 będziemy niekiedy pisali
n
A
zamiast n
i
A
. Za pomocą indukcji matematycznej łatwo można udowodnić, że
i
1
jeżeli zdarzenia A
A ...,
, 1 są parami rozłączne, to
n
n
P
A
i A
P
i
}
.
i
1
i
1
Natomiast w przypadku ogólnym mamy
P
{
BA P
}
P
{
A
}
{
B
}
oraz
P .
n
n
A
i A
P
}
i
i
1
i
1
5
natury wskazanych przedmiotów, mianowicie z ich symetrii.
W pewnych przypadkach nadanie wartości konkretnych funkcji P nie jest łatwe.
Niech np. trzeba wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A , polegającego na tym,
że pewne urządzenie będzie działało niezawodnie w określonym odcinku czasu. W
tym przypadku wartości }
169132187.004.png 169132187.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin