Moduł I

Zmienna losowa i jej rozkład – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1. Dany jest rozkład pewnej dyskretnej zmiennej losowej X:

Wyznacz stałą α. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Otrzymane wyniki zinterpretować. Obliczyć .

Zadanie 2. Dany jest rozkład pewnej dyskretnej zmiennej losowej X:

Wyznacz wartość x tak, aby wartość oczekiwana tej zmiennej losowej była równa 2,6. Dla wyznaczonej wartości x znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres. Obliczyć wariancję i odchylenie standardowe. Otrzymane wyniki zinterpretować.

Zadanie 3. Dana jest dystrybuanta pewnej dyskretnej zmiennej losowej X:

Przedstawić powyższą dystrybuantę graficznie. Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa powyższej zmiennej. Obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Obliczyć .

Zadanie 4. Zbadano, że popularność pewnego czasopisma mierzona ilością sprzedanych egzemplarzy ma rozkład normalny o średniej równej 35 tys. sztuk i odchyleniu standardowym wynoszącym 10 tys. sztuk. Wyznaczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu miesiąca sprzedanych zostanie:

a)      mniej niż 30 tys. egzemplarzy;

b)     co najmniej 50 tys. egzemplarzy;

c)      między 35 a 45 tys. egzemplarzy.

d)     między 25 a 32 tys. egzemplarzy.

Zadanie 5. Ustalono, że prędkość samochodu na nowo wybudowanym odcinku autostrady ma rozkład normalny N(110; 30). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że prędkość na tym odcinku będzie:

a)      co najwyżej równa 90 km/h;

b)     wyższa niż 125 km/h;

c)      zawierać się między 100 a 130 km/h;

d)     jest nie większa niż 135 km/h;

e)      jest mniejsza niż 95 km/h lub co najmniej 120 km/h.