Szerokość geograficzna – kat zawarty pomiędzy płaszcz. równika, a normalna do pow. kuli w danym punkcie

Długość geograficzna- kat dwuścienny zawarty miedzy płaszcz. południka początkowego a płaszcz. południka przechodzącego przez dany punkt.

Odwzorowanie kartograficzne – odwz. regularne pow.elipsoidy obrotowej spłaszczonej lub kuli w płaszczyźnie. Własności odwz.regularnego: jednojednoznaczne – każdej parze parametrów u, v odpowiada jedna para U, V, ciągle i dwukrotnie różniczkowalne, wzajemnie niezależne J≠0.

Powierzchnia regularna – pow. opisana równaniem wektorowym r=r(u,v). Dla każdego punktu tej powierzchni spełniona jest nierówność |ru x rv|≠0 oraz wektory pochodnych cząstokowych ru, rv są klasy C1

Siatka geograficzna – układ południków i równoleżników na powierzchni ziemi.

Siatka kart.–układ obrazów południków i równoleżników na pow.odwzorowania

Skala główna odwzorowania wyraża stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, pomniejszenie pow.oryginału (odwz. przez podobieństwo); skala główna jest liczbą rzeczywistą przedstawioną w postaci: μ0=1/M.

Skala poszczególna = skala Główna * skala elementarna. Przy przenoszeniu z elipsy obrot. Spłaszczonej na płaszczyznę mapy.

Elementarna Skala Zniekształceń Długości – stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na pow.obrazu i oryginału.

μ=ds’/ds. Jest funkcją 3 zmiennych współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni oryginału i kata kierunkowego A elementu łuku ds na powierzchni.

Loksodroma - linia przecinająca południki pod stałym kątem, odwzorowuje się na prostą przecinającą obraz południka pod stałym kątem.

TW. TISSOTA I (pojęcie kierunków głównych odwzorowań)– w dowolnym regularnym odwzorowaniu jednej regularnej pow. ma druga istnieje co najmniej jedna a jeśli odwzorowanie nie jest równokątne, to istnieje tylko jedna siatka ortogonalna na pow. oryginału której obraz na drugiej pow. będzie również siatką ortogonalną. Siatki te nazywamy siatkami krzywych głównych

TW. TISSOTA II (pojęcie elipsy zniekształceń odwzorowawczych)– w dowolnym regularnym odwz. jednej regularnej pow. na drugą obrazem jednostkowego okręgu wyznaczonego w płaszczyźnie stycznej w dowolnym punkcie pow. oryginału jest elipsa (okręg zamienia się w elipsę),której półosie są = E.S.Z.D w kierunkach głównych Taka elipsa nosi nazwę elipsy Tissota lub elipsy zniekształceń odwzorowawczych. Promień wodzący tej elipsy = E.S.Z.D.

I I II TW. APPOLONIUSZA: Skale μ1 i μ2 są półśrednicami sprzężonymi w elipsie zniekształceń ponieważ spełniają dwa tw.Appoloniusz: I tw. Appoloniusza: μ12+μ22=m2+n2 –suma kwadratów półśrednic sprzężonych elipsy=sumie kwadratów półosi. II tw. Appoloniusza: μ1μ2|sinθ|=|μ1xμ2|= |mxn|=mn –pole równoległoboku zbudowanego na średnicach sprzężonych elipsy= polu prostokąta zbudowanego na osiach elipsy.

Elementarne skale zniekształceń pól – stosunek odpowiadających sobie pól na powierzchni obrazu i oryginału. p=dP’/dP=H’/H. Jeżeli w danym odwz.kartograficzynym wyznaczamy E.S.Z.D. m,n o kierunkach głównych wówczas p=mn

Zniekształceniem dowolnego kąta A nazywamy różnicę pomiędzy odpowiadającymi sobie kątami na pow.obrazu i pow.oryginału: ω=A’-A, gdzie A-kąt pomiędzy krzywymi na pow.oryginału; A’-kąt pomiędzy obrazami tych krzywych na pow.obrazu.

Elementarne zniekształcenie dowolnego kąta – dowolny kąt γ możemy zdefiniować jako różnicę dwóch kierunków β1, β2. γ= β2-β1. Kąt γ’ będący obrazem γ: . γ’= β2’-β1’. Zniekształcenia kąta γ’: ωγ=. γ’- γ

Ekstremalne zniekształcenie dowolnego kąta γ – ekstremalne zniekształcenie kąta kierunkowego β=A-Ae. Zniekształcenie kierunku β: ωβ=β’-β.

tg ωβ=(n-m)/(m*ctg β+n*tg β) Funkcja ta osiąga ekstremum gdy mianownik osiąga ekstremum, wyznaczmy więc ekstr.funkcji: ψ(β)= m*ctg β+n*tg β. Kierunek najbardziej ulegający zniejkształceniu tg β m=sqrt(m/n) , tg ωβ =(m-n)/(2*sqrt(mn))

REDUKCJE ODWZOROWAWCZE

Pojęcie linii geodezyjnej:

Weźmy pod uwagę krzywą L, położoną w danej pow. Na tej krzywej obieramy pkt A, bliski pkt B.

Linia geodezyjna – najkrótsza odległość między punktami A i B.

Normalne do krzywej L – nieskończenie wiele prostych prostopadłych do stycznej poprowadzone w punkcie A.

Płaszczyzna normalna – pęk normalnych.

Płaszczyzna ściśle styczna – przez 3 punkty A,B,C położone blisko siebie na krzywej L poprowadzimy płaszczyznę. Zmiana położenia tych punktów powodować będzie zmianę położenia płaszczyzny w przestrzeni. Graficzne położenie tej płaszcz., gdy B i C dąży do A nazywamy płaszcz.ściśle styczną do krzywej w punkcie A.

Normalna główna – linia przecięcia się płaszczyzny ściśle stycznej z płaszcz.normalną.

Binormalna – normalna prostopadła do stycznej i normalnej głównej.

Płaszczyzna prostująca danej krzywej w punkcie A – płaszczyzna wyznaczona przez styczną i binormalną.

Trójścian Freneta  - wersory stycznej, normalnej głównej i binormalnej w punkcie A.

Płaszczyzna styczna do powierzchni – tworzą ją styczne do nieskończenie wiele krzywych poprowadzonych przez punkt A.

Ortodroma (linia geodezyjna) – jeżeli na danej powierzchni wyznaczymy krzywą taką że w każdym jej punkcie normalna główna tej krzywej jest jednocześnie normalną do powierzchni w tym punkcie. Krzywa geodezyjna tej linii w każdym jej punkcie jest równa 0. Przebieg linii geodezyjnej na danej powierzchni określa równanie Clairauta: r*sinA=const

Pojęcie redukcji odwzorowawczych:

Figury geodezyjne – figury, których bokami są linie geodezyjne. W odwzorowaniach kartograficznych obrazem wieloboku geodezyjnego na ogół nie będzie figura geodezyjna, lecz wielobok krzywoliniowy, którego boki będą odcinkami pewnych krzywych nie będących liniami geodezyjnymi.

Odwzorowanie geodezyjne – odwzorowanie w których obrazami linii geodezyjnych są linie geodezyjne.

Odpowiednik redukcyjny – każdej figurze geodezyjnej zdefiniowanej na pow.oryginału możemy przyporządkować na pow.obrazu figurę geodezyjną zwaną odp.red. który jest zbudowany z odcinków linii geodezyjnych właściwych pow.obrazu, łączących odpowiedniki obrazowe wierzchołków figury oryginał.

Redukcje odwzorowawcze geodezyjne – różnice lub ilorazy zachodzące pomiędzy odpowiadającymi sobie parametrami metrycznymi figury geodezyjnej zlokalizowane na pow.oryginału i odpowiednika redukcyjnego tej figury na pow.obrazu. Dotyczy długości boków, kątów wewnętrznych lub azymutów boków i pól figur geodezyjnych.

KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ KARTOGRAFICZNYCH W ZALEŻNOŚCI OD ZNIEKSZTAŁCEŃ

Odwz.izometryczne – brak zniekształceń, w każdym kierunki i dla każdego punktu spełniony jest warunek: μ=ds’/ds=1  => ds’=ds podstawiając I formy kwadratowe mamy: E’du2+2F’du*dv+G’dv2=Edu2+2Fdu*dv+Gdv2 czyli warunek izometryczności odwzorowania ma postać E’=E, F’=F, G’=G lub E’/E=G’/G=F’/F=1. w ogólności jest to układ 3 równań różniczkowych z 2 niewiadomymi. Taki układ na ogół nie ma rozwiązań. Pomiędzy pow.elipsoidy, kuli i płaszczyzną odwzorowania izometryczne w ogóle nie występują. Natomiast w odwzorowaniach nieizometrycznych mogą istnieć punkty lub pojedyncze linie, dla których kryterium izometrii może być spełnione. W okolicy tych punktów lub linii zniekształcenia są stosunkowo małe. Inny war.izometrii: P=R=1, Q=0 lub μ1=μ2=1 , μ1○μ2=0 lub m=n=1. w odwz.izom. elipsy zniekształceń odwzorowawczych mają postać okręgów o promieniu 1.

Odwz.równokątne – brak zniekształcenia kątów, dla każdego punktu na pow.oryginału spełniony jest warunek A’=A, <=> E’/E=G’/G=F’/F. Na podstawie ctgA’=P/p *ctgA+Q/p widać że odwz. jest równokątne gdy P/p=1, Q=0. stąd wynika: P=R, Q=0. Warunek równokątności(inaczej): μ1=μ2, μ1○μ2=0 stąd m=n. Elipsy zniekształceń mają postać okręgów.

Odwz.równopolowe – nie ma zniekształceń pól, dla każdego punktu na pow.oryginału spełniony jest warunek p=dP’/dP=1 lub inaczej p=mn=1. Długość jednej półosi elipsy zniekształceń odwzorowawczych jest równa odwrotności drugiej.

Odwz.równoodległościowe – istnieje A=A(u,v) że dla każdego (u,v) spełniony jest warunek |u|A=A(u,v)=1. W przypadku gdy A=o linie v=const zachowują swoją długość. Warunek równoodległościowości przyjmuje postać: dla każdego (u,v) E’=E. W przypadku gdy A=90 linie u =const zachowują swoją długość. Warunek równoodległościowości przyjmuje postać: dla każdego (u,v) G’=G.

KLASYFIKACJA ODWZOROWAŃ KARTOGRAFICZNYCH W ZALEŻNOŚCI OD KSZTAŁTU SIATEK KARTOGRAFICZNYCH

-azymutalne r’=[x=ρ(B)cosL, y=ρ(b)sinL]

1.obrazami równoleżników B=const w odwz. są okręgi kół kocentrycznych o środku w pocz.ukł.wsp.prost. płaskich xoy i prom. ρ(b) zależnych od param.B 2.obrazami połud.L=const są odc.linii prostych. Przykład: odzw.azymut.równopol.Lamberta.

-walcowe r’=[x=x(B), y=cL]

1.obrazami równoleżn.B=const w odwz.są odc.linii prostych || do osi y prost.ukł.wsp. xoy 2.obrazami połud.L=const są odc.linii prostych || do osi ukł.wsp.prost.płaskich xoy. Przykład:odwz.walcowe.równokątne Mercatora.

-stożkowe r’=[x=q(B0)-ρ(B)cos(cL), y=ρ(B)sin(cL)]

1.obrazami równoleżn.B=const w odwz.są łuki okręgów kół kocentrycznych w śr w pkt o wsp. x= q(B0), y=0 i prom.ρ(B) zależnych od param.B 2.obrazami połud.L=const są odc.linii prostych. Przykład: odwz.stożkowe równokątne Lamberta

-pseudoazymutalne: r’=[x=ρ(B)cosδ(B,L), y=ρ(B)sinδ(B,L)]

1.obrazem równoleżn.B=const w odwz.są okręgi kół kocentrycznych o środkach w pocz.ukł.wsp.prost. płaskich xoy i prom. ρ(B) zależnych od param.B 2.obrazami połudn.L=const są odc.linii krzywych. Przykład: odzw.pseudoaz.równopol.Wiecheta

-pseudowalcowe r’=[x=(B), y=(B,L)]

1.obrazami równoleżn.B=const w odwz.są odc.linii prostych || do osi y ukł.wsp.prost.płaskich xoy 2.obrazami połud.L=const są odc.linii krzywych. Przykład: odwz.pseudowal.Ekerta lub Sanson.

-pseudostożkowe r’=[x=q(B0)-ρ(B)cosδ(B,L), y=ρ(B)sinδ(B,L)]

1.obrazami równoleżn.B=const w odwz.są odc.okręgów kół kocentryczych o śr.w pkt o wsp x=q(B0) y=0 i prom.ρ zależnych od param.B 2.obrazami połud.L=const są odc.linii krzywych. Przykład: odwz.Borne‘a

-wielostożkowe r’=[x=q(B)-ρ(B)cosδ(B,L), y=ρ(B)sinδ(B,L)]

1.obrazami równoleżn.B=const w odwz.są odc.kół ekscentrycznych (śr każdego łuku w innym miejscu na osi x) o śr w punktach o wsp. x=q(B), y=0 i prom. ρ(B) zależnych od param.B 2.obrazami połud. L=const są odc.linii krzywych. Jeżeli odwz.wielostożkowe jest równokątne i obrazy południków są odcinkami okręgów to mam odwz.wielostożkowe kołowe.

ODWZOROWANIA RZUTOWE

·         Ortograficzne

·         Stereograficzne(sieczne, styczne)

·         Środkowe (sieczne, styczne)

Azymutalne, walcowe

Odwzorowanie Mercatora – Twórcą tego odwzorowania był kartograf i matematyk Gerhard Kremer, znany powszechnie jako Mercator. W 1569 roku sporządził mapę świata w odwzorowaniu równokątnym walcowym normalnym kuli w płaszczyznę. Odwzorowanie stosuje się w ograniczonym pasie równoleżnikowym, ponieważ bieguny N i S odwzorowują się w nieskończoności. Ważną własnością odwzorowania Mercatora jest fakt, że loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem) odwzorowuje się na prostą przecinającą obrazy południków pod stałym kątem. Odwzorowanie normalne M. pow.kuli w płaszczyznę, gdy walec jest styczny do równika można przedstawić za pomocą wzorów:

Y=Rλ

X=R ln tg(π/4+φ/2)

Siatka kartograficzna: obrazami równoleżników sa odc.linii prostych || do osi Y ukl.wsp. Obrazami południków są odc.linii prostych równoległych do osi x.

Rozkład zniekształceń – linie jednakowych znieksz. dł.pokrywają się z obrazami równoleżników,w odwzor.normalnym stycznym do rownika bez zniekształceń odwzor. się rownik.W miare oddlania się od rownika na pn i pd znieksztalcenia rosna.

Zastosowanie: mapy nawigacyjne i morskie.

Odwzrowanie Gaussa-Krugera – Wiernokątne odwzorowanie elipsoidy, które w późniejszych czasach zyskało nazwę Gaussa-Krügera, zostało opracowane przez matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa i użyte przez niego w latach 1820-30 do obliczenia wyników triangulacji Hanoweru. Na podstawie notatek i rękopisów Gaussa geodeta niemiecki Louis Krüger gruntownie dopracował metodę tego odwzorowania i opublikował w roku 1912. Stąd wzięła się nazwa odwzorowanie Gaussa-Krügera.
Jest to odwzorowanie konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę spełniające dwa warunki:
1. południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej osi rzędnych x,
2. elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stała i równa jedności, tzn., że południk osiowy odwzorowuje się bez zniekształceń (izometrycznie).
Interpretacja geometryczna – wiernokątne, walcowe, styczne, poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę.

Siatka kartograficzna – południk osiowy odwzor.się na odc.lini prostej, pozostałe południki odwor.się na krzywe symetryczne względem połud.osiowego. Równoleżniki odwzor.się na krzywe symetryczne względem prostoliniowego obrazu rownika.

Rozkład zniekształceń – izolinie zniekształceń długości tworzą linie proste || do obrazu południka osiowego. Elementarna skala zniekształceń długości na połud.osiowym μ= 1, poza nim >1. w miarę oddalanie się od połud.osiowego wartość ta szybko rośnie.

Układ współrzędnych prostokątnych – oś odciętych x pokrywa się z obrazem połud.osiowego, y z obrazem rownika, liczba ukl.wsp. = liczbie pasów południkowych na które został podzielony odwzorowywany obszar.

Zastosowanie – mapy topograficzne i ukl. WSP. 1942-65-92-2000. Odwzorowanie w pasach 3 – 60 oraz w układzie 1992 pas 100.

Odwzorowania quasi – stereograficzne – Metodę tworzenia odwzorowania stereograficznego dla elipsoidy podał w 1924 roku astronom francuski Roussilhe. Adaptując to odwzorowanie do obszaru Polski, profesor dr Lucjan Grabowski z Politechniki Lwowskiej zaproponował stosowne wzory matematyczne. W 1930 roku F. Biernacki i J. Słomczyński (oficerowie ówczesnego Wojskowego Instytutu Geograficznego) zastosowali to odwzorowanie w pracach geodezyjnych i kartograficznych obszaru Polski. Po II wojnie światowej znalazło zastosowanie przede wszystkim do tworzenia map topograficznych i zasadniczych w układzie 1965 (strefy odwzorowawcze 1-4) oraz map topograficznych w układzie GUGiK 80.Odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwzorowaniem konforemnym, azymutalnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę. W ograniczonym obszarze odpowiada ono stereograficznemu odwzorowaniu kuli o promieniu wyznaczonym w punkcie głównym odwzorowania, tj. punkcie styczności płaszczyzny odwzorowania do elipsoidy.
Prace teoretyczne nad własnościami odwzorowania Roussilhe’a wykazały, że może być ono powiązane z odwzorowaniem Gaussa-Krügera. Otrzymano prostą pojęciowo i sprawną numerycznie metodę bez konieczności rozwijania na szeregi. Metoda ta pozwala ponadto na odwzorowanie dowolnie dużego obszaru z całą elipsoidą włącznie.

Rozkład zniekształceń: izolinie Z.D. maja postac zblizoną do koncentrycznych okręgow wokół obrazu pkt.głównego. Jeżeli w pkt.gł skal Z.D = 1 to poaza pkt.gl jest >1. W przypadku przecięcia w pkt.gl E.S.Z.D mniejszej od 1 w odwzor.obszarze nastepuje zmniejszenie zniekształceń,

Układ współrzędnych – pocz.ukl. znajduje się w pkt.gl, poł.osiowy odwzorowuje się na odc linii prostej, x pokrywa się z obrazem poł.osiow.

Zastosowanie układ 1965 i GUGiK 80

Odwzrowanie UTM – Zaproponowane w latach II wojny światowej w Ameryce odwzorowanie UTM stanowi pewną modyfikację odwzorowania Gaussa-Krügera. UTM jest także odwzorowaniem konforemnym elipsoidy w płaszczyznę z południkiem osiowym odwzorowującym się na odcinek linii prostej ze stałą skalą zniekształceń długości, lecz wartość tej skali jest mniejsza od jedności i równa m0=0,9996. Zależność pomiędzy współrzędnymi w odwzorowaniu Gaussa-Krügera a współrzędnymi w odwzorowaniu UTM zgodnie z powyższym przedstawiają wzory:

xUTM = ...