05 TEORIA SOMMERFELDA.pdf

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

TEORIA SOMMERFELDA

V.1. REGUŁY KWANTOWANIA WILSONA – S OMMERFELDA

Reguły kwantowania Wilsona – Sommerfelda dotyczą dowolnej wielkości fizycznej, która

jest periodyczną funkcją czasu (jeżeli funkcje opisujące jakiś układ są funkcjami

periodycznymi to układ jest kwantowalny).

q  t = q  t 

gdzie:

t – okres

∫ p q dq = n q h (V.1.1)

p q – pęd odpowiadający współrzędnej uogólnionej q

n q – liczba kwantowa

Przykład: Punkt o masie m poruszający się po orbicie kołowej.

(r, j )

q 1 = r, q 2 = j

r = const

j = w t

0≤≤2 , =2

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

p q = dE x

(V.1.2)

˙ q = dq

E k = m

2  ˙ r 2  r 2 ˙  2 

(V.1.3)

d ˙  = mr 2 ˙= mr 2 = mvr = L

∂ ˙ r = m ˙ r =0 , bor = const

L  lewastrona  : ∮ p q dq = ∮ p  d = ∫ 0 2 Ld = L ∫ 0 2 d =2 L

P  prawastrona  :n  ⋅ h

Ponieważ L = P, to:

2 L = n  ⋅ h , czyli:

L = n  ℏ (V.1.4)

Zależność (V.1.4) zgodna (identyczna) z II postulatem Bohra.

Stanowi jego matematyczne rozwiązanie.

Jeżeli (V.1.1) zastosujemy do oscylującej cząstki o masie m, to możemy znaleźć jej

– 2 –

d ˙ q

p q = dE k

p r = ∂E k

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

energię całkowitą:

E = nhf (V.1.5)

Wzór (V.1.5) jest zgodny z IV postulatem Bohra.

Sommerfeld uogólnił model Bohra i pokazał że elektron na danej orbicie może poruszać

się po orbicie eliptycznej (kołowa jest jej szczególnym przypadkiem), przy czym liczba orbit

zależy od n i jest dokładnie jej równa.

n – będziemy nazywać główną liczbą kwantową.

V.2. SUBTELNA STRUKTURA WIDMA WODORU.

Wszystkie linie spektralne począwszy od n = 2 są rozszczepione – jest to struktura

subtelna.

Struktura subtelna została wyjaśniona w oparciu o rachunek relatywistyczny.

Rys.V.1. Subtelna struktura widma atomu wodoru.

Sommerfeld był w stanie obliczyć parametry orbit i ich energie.

L = n  ℏ , n  =1, 2, 3 , ... (V.2.1)

 a b −1  = n r ℏ , n r =0, 1, 2 , ... (V.2.2)

– 3 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

 Ze 2 n 2

(V.2.3a)

b = a n 

(V.2.3b)

E =−  e 4 Z 2

2ℏ 2 ⋅

 1 n 2  (V.2.3c)

Wzory (V.2.3a), (V.2.3b), (V.2.3c) – definiują orbitę po której porusza się elektron.

n = n   n r =1,2,3 , ... – główna liczba kwantowa

n  =1,2 , .... ,n – azymutalna liczba kwantowa

n,n φ – definiują kształt orbity

n → n  = n,a = b

V.3. PRZYKŁADY ORBIT SOMMERFELDA.

Rys.V.2. Przykłady orbit Sommerfelda.

– 4 –

a = ℏ 2

b = a n 

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Pod względem energetycznym wszystkie orbity dla danego n są takie same, bo energia

nie zależy od n φ – degeneracja orbit.

Degeneracja została zniesiona po wprowadzeniu rachunku relatywistycznego.

 1−  v c  2

(V.3.1)

Energia E = f  n,n   – jest charakterystyczna dla danej orbity

E = − e 4 Z 2

2ħ 2 n 2

[ 1 a 2 Z 2

 1 n  − 3 4n  ] (V.3.2)

Z (V.3.2) wynika, że E = f  n,n   i wyjaśnia strukturę subtelna linii spektralnych

Po uwzględnieniu efektu relatywistycznego energia wyraża się wzorem:

E = E NR  ∆E R (V.3.3)

gdzie:

E NR – część nierelatywistyczna (V.2.3c)

E R – poprawka relatywistyczna

∆E R ~ a 2 Z 2

 1 n  − 3 4n  (V.3.4)

Poprawka opisuje przesunięcie poziomów energetycznych – pojawienie się struktury

subtelnej.

ℏ c ≃ 1

137

(V.3.5)

a – stała struktury subtelnej, charakterystyczna wielkość we wzorach fizyki kwantowej

Jest wiele interpretacji tej stałej a, jedną z nich jest:

a = v 1

– 5 –

m = m 0

a = e 2

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: