ciagi.pdf

(89 KB) Pobierz
Ci¹gi liczbowe
CIĄGILICZBOWE
1. Znaleźćciągarytmetyczny,któregosuma n pierwszych wyrazów jest równa 3n 2 +n
2. Zbadaćmonotonicznośćciągu a n =
2
n
+
1
3
n
+
1
3. Drugiwyrazciąguarytmetycznegojestrówny10,piątywyraz28.Wyznaczyć a 1 i r .
Podaćwzórogólnyciągu
4. Podaćdefinicjęciągugeometrycznego.Zamienićułamek1,1(12)naułamekzwykły
5. Obliczyć2+4+8+…+1024
x
x
2
3
6. Rozwiązaćrównanie
1
-
+
+
...
=
2
4
x
7. Dane są trzy pierwsze wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego
3
+
1
;
3
-
1
-
1
-
;
1
.Podaćdwanastępnewyrazyiobliczyćsumętegociągu.
3
3
6
8. Stosując zasadę indukcji matematycznej wykazać, Ŝe dla kaŜdego
n
Î
N
\
{
0
}
1
+
1
+
3
+
1
=
1
-
1
( )
1
×
2
2
×
3
n
-
1
n
n
9. Podaćdefinicjęciąguarytmetycznego.Obliczyćsumęwszystkichl iczb naturalnych,
dwucyfrowych podzielnych przez 5.
10. Udowodnić,ŜedlakaŜdejliczbynaturalnej n liczba
7
n
-
1
( )
a
n
znającwyraz pierwszy a oraz iloraz q tegociągu
12. RozwiąŜrównanie
x
-
1
+
1
-
1
+
3
=
8
x
x
2
x
5
5
13. Wykazać,Ŝeciąg
a
=
2 jestrosnący
n
-
n
n
14. Na paraboli
y
=
48 x
-
2
znaleźć punkty
( )
x ; takie, Ŝe y
y
3 tworzą ciąg
x ,
geometryczny
15. Dlaciągu
{ }
n
a gdzie a n= cos
n
2 p
wyznaczyć a 3 , a 6 , a 9 i a 12
16. Obliczsumękolejnychliczbparzystychod8do2004
17. Liczby 2, 2 x i 2 x +3 tworząciągarytmetyczny.Obliczyćx
18. Udowodnić,ŜedlakaŜde go
n
Î
N
liczba postaci 4 n +5 jest podzielna przez 3
n
+
3
19. Sprawdźczyciągowyrazieogólnym
a n
= n
jestrosnący
+
4
20. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
(
r jest równa połowie
¹
0
)
sumynastępnych n wyraz ów.Znaleźć
s 3
n
s
n
b
2
n
21. Wyznaczyćwartośćparametru b, dla której
lim
=
2
( )
b
+
4
n
+
b
n
®
¥
22. Liczby a,b,c,d są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Suma dwóch liczb
środkowychjestrówna24,asumadwóchliczbskrajnychjestrówna36.Znaleźćte
liczby
1
jest podzielna przez 6
11. Wyprowadzićwzórnasumę n początkowychwyrazówciągugeometrycznego
4202248.017.png 4202248.018.png 4202248.019.png 4202248.020.png 4202248.001.png
23. Wyznaczyćdwakolejnewyrazuciągugeometrycznego:
2
+
3
;
3
-
2
2
24. Narysowaćwykresfunkcji f ,wiedząc,Ŝe f(x) jestsumąszeregu
1
+
1
+
1
+
...
x
x
2
25. PodaćprzykładciągumalejącegozbieŜnegodoliczby2
26. Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o sumie równej 18. Największa z nich ma
wartość9.Wyznaczpozostałeliczby
27. Podać wzór ogólny ciągu arytmetycznego, wiedząc, Ŝe suma n pierwszych jego
wyrazów jest równa n 2 +n dlakaŜdego n naturalnego
28. Dla jakiej wartości k suma wyrazów nieskończonego ciągu
geometrycznego:
è
k
;
k
;
k
...
ø
jest równa 3?
3
9
1
x
1
x
2
1
x
3
1
x
n
29. Rozwiązaćrównanie
-
+
-
+
-
+
3
-
+
3
=
0
x
3
x
2
6
x
3
12
x
n
3
×
2
n
-
1
30. Iloczyn pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego, w którym a 1 =2 jest
1 .Wyznaczyćilorazqtegociągu
równy 32
31. Ciąg ( a n )jes t ciągiem geometrycznym. Pokazać, Ŝe ciąg ( b n ) o wyrazie ogólnym
b n= a n + 1 -a n jestteŜciągiemgeometrycznym.
32. Długościbokówtrójkątatworząciąggeometryczny.Jakiwarunekmusispełniaćiloraz
tegociągu?
33. Długościbokówtrójkątaprostokątnegotworząciągarytmetyczny.Jakiesądługości
przyprostokątnych,jeŜeliprzeciwprostokątnamadługość10?
34. Krótsza przyprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 1. Jakie są długości
pozostałych boków, jeŜeli wiadomo, Ŝe długości wszystkich boków tworzą ciąg
geometryczny.
35. W Papadocji zbudowano piramidę w taki sposób, Ŝe najniŜsza warstwa bloków
skalnych miała objętość V , a objętość kaŜdej warstwy stanowiła 60% objętości
warstwyleŜącejbezpośredniopodnią.Jakąobjętośćmapiramida,jęliskładasięona
z 20 warstw.
36. W ciągu arytmetycznym suma pierwszych n wyrazów o numerach nie parzystych
wynosi 3n 2 - 5n.Podaćsumęnpierwszychwyrazówonumerachparzystych.
37. Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym
a n
=
n
-
1
. Znaleźć granicę tego ciągu. Które
n
wyrazyciągumajątęwłasność,Ŝewartośćbezwzględna a n igranicytegociągujest
nie mniejsza od 0,01?
38. Zbadać monotoniczność ciągu(b n )o wyrazie ogólnym
b
n
= n
a
2
+
2
gdzie (a n )jest
ciągiemmalejącymowyrazachujemnych.
39. Obliczyćsumęwszystkichliczbdwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 5
jest równa 2.
40. Dla jakich wartości parametru m suma nieskończonego ciągu geometrycznego
1
;
m
-
2
n
3
-
2
m
2
-
4
m
+
8
3
jestskończona?
m
+
2
2
æ
ö
4202248.002.png 4202248.003.png 4202248.004.png 4202248.005.png 4202248.006.png
è
n
ø
41. Oblicz granice: a)
lim
2
b)
lim
sin(
x
+
1
n
®
¥
1
+
2
+
5
+
...
+
(
2
n
-
1
x
®
-
1
x
2
+
5
x
+
4
2
n
2
-
n
1
+
2
+
3
+
...
+
n
n
(
n
+
2
c)
lim
d)
lim
e)
lim
n
®
¥
1
+
2
+
3
+
...
+
n
n
®
¥
n
2
n
®
¥
2
n
2
+
n
+
3
f)
lim
(
n
-
n
2
+
5
n
)
g)
lim
(
9
n
2
+
4
n
-
3
n
)
h)
lim
1
+
4
+
7
+
...
+
(
n
-
2
n
®
¥
n
®
¥
n
®
¥
2
n
2
+
3
n
+
4
i)
lim
(
n
2
+
n
-
n
j)
lim
n
1
+
3
+
5
+
...
+
(
2
n
-
1
n
®
¥
n
®
¥
2
n
2
+
n
+
1
4
+
8
+
12
+
...
+
4
n
4
n
2
+
9
(
n
+
2
)!
k)
lim
l)
lim
ł)
lim
n
®
¥
1
+
3
+
6
+
...
+
(
2
n
-
1
n
®
¥
3
n
+
1
n
®
¥
n
2
×
n
!
2
n
4
n
2
n
+
3
n
(
n
+
2
)!
+
n
!
m)
lim
n)
lim
o)
lim
n
®
¥
5
n
n
®
¥
(
2
´
3
n
n
®
¥
(
n
+
2
)!
-
(
n
+
1
)!
p)
lim
n
!
(
n
+
1
)!
r)
lim
1
n
®
¥
(
n
-
1
)!
(
n
+
2
)!
n
®
¥
2
2
n
+
3
n
+
1
-
n
+
2
n
2
+
n
-
n
æ
1
1
1
n
-
1
ö
s)
lim
t)
lim
è
+
+
+
...
+
ø
n
®
¥
1
1
1
n
®
¥
1
×
2
2
×
3
3
×
4
n
2
1
+
+
+
...
+
3
9
3
n
42. Ciąg(an)jestciągiemarytmetycznymopierwszymwyraziea 1 =2m- 3róŜnicyr=m+2.
Dlajakichwartościparametrumciąg(bn)owyrazieogólnym
b
=
a
2
-
a
2
jest
n
n
+
1
n
ciągiemarytmetycznym,adlajakichwartościmjestciągiemgeometrycznym?
43. Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a 1 =1 i ilorazie
1
=
k
2
+
. Dla jakich wartości parametru k ciąg (bn) o wyrazie ogólnym
b
=
log
2
a
-
log
2
a
jest ciągiem arytmetycznym, a dla jakich ciągiem
n
n
+
1
n
geometrycznym?
44. Siódmy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 11, a suma piętnastu pierwszych
wyrazów jestrówna210,którywyraztegociągujestrówny26?
45. Znaleźć ciąg arytmetyczny, dla którego przy dowolnym naturalnym k suma n
pierwszych wyrazów o numerach nieparzystych jest równa
3
k
2
3
k
x
n
+
1
-
1
47. Udowodnićindukcyjnie,Ŝedla 1
¹ x zachodzirówność:
1
+
x
+
x
2
+
...
+
x
n
=
x
-
1
48. Danyjestciągowyrazach.Obliczyć
lim
a 1
n
+
n
®
¥
a
n
49. Rozwiązaćrównanie
1
-
1
+
1
-
1
+
...
=
x
-
1
x
x
2
x
3
50. Od jakiego n począwszy wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym
a n
= n
3
n
+
1
spełniają
+
1
a n ,gdziegjestgranicąciągu(an)?
51. Znaleźćsumę80początkowychliczbnaturalnych,któreprzydzieleniuprzez6dają
resztę3.
52. Trzy liczby, których suma jest równa 6, tworząciąggeometryczny.Jeślidwieostatnie
znichzamienimymiejscami,tootrzymujemyciągarytmetyczny.Jakietoliczby?
- g
£
0
01
3
æ
ö
q
+ .
46. WykaŜ,Ŝejeślinjestpodzielneprzez3ton 2 -n jest podzielne przez 6.
nierówności
4202248.007.png 4202248.008.png 4202248.009.png 4202248.010.png
n
54. Dla jakich wartości k granica ciągu o wyrazie ogólnym
lim
(
4
n
2
+
kn
-
2
n
)
=
1
?
®
¥
1
-
kn
2
a n
=
jest równa 2?
1
+
6
+
11
+
...
+
(
n
-
4
56. Wykopanostudnieogłębokości20m.Zapierwszymetrzapłaconopzł,azakaŜdy
następny metr zapłacono 2 razy więcej niŜ za poprzedni metr. Ile kosztowało
wykopanie studni?
57. Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. JeŜeli dodamy do tych
liczb odpowiednio 4,5,- 3 to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
oróŜnicy4.Znaleźćliczbya,b,c.
58. Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. JeŜeli dodamy do tych
liczb odpowiednio 3,-5,- 4tootrzymamytrzykolejnewyrazyciągugeometrycznego
4
2
x
+
1
-
17
×
4
x
+
4
=
0
1 .Znaleźćliczbya,b,c.
o ilorazie 4
a 1
+
n
9
59. Obliczyć
lim
n
gdy
a
=
.
n
®
¥
a
n
4
n
n
.
61. Dla jakiej wartości n współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu
rozwinięciadwumianu(a+b) n tworząciągarytm etyczny.
(
3 x
+
2
)
3 , a suma pięciu
62. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, którego 5 wyraz jest równy 2
początkowychwyrazówjestrówna5.
63. Wyznaczyć ciąg arytmetyczny, w którym suma trzech pierwszych wyrazów wynosi
27, a suma kwadratów tych wyrazów jest równa 275.
64. Obwód trójkąta prostokątnego wynosi 60 cm. Oblicz długość boków tego trójkąta
wiedząc,Ŝetworząoneciągarytmetyczny.
65. Rozwiązaćrównania:
a) 1+4+7+…+x=117
b) (x+1)+(x+4)+(x+7)+…(x+28)=155
66. Wykazać, Ŝe jeŜeli
1
;
1
;
1
są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
a
+
b
c
+
a
b
+
c
b sątakŜekolejnymiwyrazamiciąguarytmetycznego.
67. Wciąguarytmetycznym n
2
; c
a
2
2
i a n =m. Obliczyć a p .
68. Wykazać,ŜejeŜeliwciąguarytmetycznymspełnionyjestwarunek
a m
=
s
¸
s
=
m
2
¸
n
2
m
n
m .
69. Dla jakich wartości k pierwiastki równania
a
¸
a
n
=
(
2
m
-
1
) (
¸
2
n
-
1
)
x
4
-
(
3
k
+
2
)
x
2
+
k
2
=
0
tworzą ciąg
arytmetyczny?
70. W ciągu geometrycznym mamy dane :
a
1
+
a
5
=
51
Ù
a
2
+
a
6
=
102
. Dla jakich
s ?
71. Boki trójkąta prostokątnego tworzą ciąg geometryczny, znaleźć tangensy kątów
ostrychtegotrójkąta.
n
=
4
53. Dlajakichwartościkzachodzirówność
55. Wyznaczyć piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego, w którym wyraz drugi
iwyrazczwartysąpierwiastkamirównania
9
60. Bezrozwijaniapotęgiwyznaczyćsiódmywyrazrozwinięciadwumianu
arytmetycznego to
to
wartościnsuma 3069
4202248.011.png 4202248.012.png 4202248.013.png
72. Dla jakich
a
liczby
1
sin
a
;
cos
a
;
tg
a
wzięte w tej kolejności tworzą ciąg
6
geometryczny.
73. Suma liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 93. Liczby te są równe
pierwszemu, drugiemu i siódmemu wyrazowi ciągu arytmetycznego. Znaleźć te
liczby.
74. Dla jakich wartości parametru m, liczby x,y,z będące rozwiązaniem
układu
x
+
y
+
z
=
m
+
4
Ù
2
x
-
y
+
2
z
=
2
m
+
2
Ù
3
x
+
2
y
-
3
z
=
1
-
2
m
tworzą ciąg
geometryczny?
75. Wykazać,ŜejeŜeli s jestsumąnpoczątkowychwyrazówciągugeometrycznegoto
(
s
-
s
) (
=
s
-
s
)
2
.
n
3
n
2
n
2
n
n
(
) (
)
76. Dla jakich wartościxciąggeometryczny1,
x
2
-
3
x
+
1
;
x
2
-
3
x
+
1
2
...
jestzbieŜny
imasumę0,8?
77. Obliczyćsumę
s
=
1
+
2
a
+
3
a
2
+
4
a
3
+
...
+
na
n
-
1
.
n
78. Rozwiązaćnierówności
lim
x
-
4
³
4
.
n
®
¥
x
n
-
n
+
n
79. Obliczsumęwszystkichparzystychliczbtrzycyfrowychpodzielnychprzez3.
80. Wyprowadzićwzórnasumęnpoczątkowychwyrazówciąguarytmetycznego.
81. Udowodnić metodą indukcji., Ŝe dla N
n Î
liczba
3
2
n
+
1
+
40
n
-
67
jest podzielna
przez 64.
82. Dla jakich n suma początkowych wyrazów ciągu liczb naturalnych 1,2,3,…n jest
równaliczbiedwucyfrowej,którejcyfrysąrówne?
83. Podać definicję granicy właściwej ciągu liczbowego i udowodnić na podstawie
definicji,Ŝe
lim
2
n
=
2
.
n
® n
+
3
sin
2
x
.
85. Współczynniki a,b,c równania ax 2 +bx+c=0 tworzą ciąg arytmetyczny. Suma tych
współczynnikówjestrówna24.Jednozrozwiązańrównaniajestrówne - 3.Znaleźć
drugierozwiązanietegorównania.
86. Zciąguliczbnaturalnych1,2,3…n..wybranodziesięćkolejnychliczbtakich,Ŝepo
poprzedzielaniukaŜdejprzez3uzyskujemyresztę1.Znaleźćnajmniejsząznich,jeśli
wiadomo,ęsumawszystkichjestrówna10.
87. Danyjestciągarytmetycznyowyrazach
lim
(
ctgx
+
ctg
3
x
+
...
ctgx
2
n
-
1
)
=
n
®
¥
cos
2
x
a
1
=
2
a
2
=
7
a
3
=
12
...
uzas adnij,Ŝepewien
wyraztegociągujestrówny2007.
(
k
2
-
k
-
1
) 2
n
2
-
5
88. Dlajakichwartościparametrukgranicaciągu
a n
=
jestliczbąnie
n
2
+
2
n
+
większąniŜpierwiastekrównania:
x
2
+
2
x
-
3
x
2
+
2
x
-
3
x
2
+
2
x
-
3
x
2
+
2
x
-
3
+
+
+
+
...
=
3
x
2
-
2
2
4
8
89. Dlajakiejliczbynsumanpoczątkowychwyrazówwciąguarytm etycznego ( )
n a jest
a
90. Wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego (a n ) są dodatnimi liczbami całkowitymi.
Suma pierwszego i trzeciego wyrazu wynosi 4, a ich iloczyn jest równy 3. Znajdź
2
=
3
x
+
y
,
a
4
=
5
x
-
2
y
-
1
a
6
=
17
5
s
84. Rozwiązaćrównanie
równa260jeŜelia 1 =x
4202248.014.png 4202248.015.png 4202248.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin