zbiory.liczbowe.teoria.pdf
(
227 KB
)
Pobierz
22914164 UNPDF
Tytułem wstępu:
Dla ułatwienia orientacji w zapisie matematycznym, przyjęto ustalenie, iż zbiory oznaczamy
dużymi literami alfabetu: A, B, C, X, Y, …, a elementy zbiorów – małymi literami alfabetu: a, b,
c, x, y, … Należy jednak mieć na uwadze, ze nie jest to ustalenie obowiązkowe (choć – by nie
komplikować zapisu – jest najczęściej przestrzegane). Jeżeli ktoś napisze, że A jest elemen-
tem zbioru B, to taki ekscentryczny zapis jest poprawny.
Znak równości, który używamy w obliczeniach rachunkowych, może być stosowany także w
przypadku zbiorów. Jeżeli zapiszemy
=
, to tym samym stwierdzamy, że
zbiory
i
są
równe, czyli mają takie same elementy
:
= ⟺ ∈ ⟺ ∈
W powyższym zapisie symbolicznym pojawił się znak
∈
. J
est to znak przynależności do zbio-
ru:
∈
oznacza, że
należy do zbioru
.
Rzadko spotykany zapis:
∋
oznacza dokładnie to samo (to mniej więcej tak, jakby ktoś
zastąpił nierówność
<
nierównością
>
).
s
) jest to zbiór, do którego nie należy żaden element.
Czy coś takiego jest do czegokolwiek potrzebne? A zero jest do czegoś potrzebne, jeżeli
obietnica: „dam Ci zero prezentów” nikogo nie cieszy? Niby zero to nic, a jednak się go uży-
wa. Tak samo jest ze zbiorem pustym.
∅
s
Zbiór pusty
(oznaczamy go
Mówimy, że
zbiór A zawiera się w zbiorze B
, lub że
zbiór A jest podzbiorem zbioru B
, jeżeli
każdy element zbioru A jest elementem zbioru B.
Zapisujemy to symbolicznie:
⊂
(symbol
⊂
jest symbolem zawierania się zbiorów).
Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem
:
⊂
, gdyż każdy element zbioru
należy
do zbioru A.
Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru
, gdyż nie ma w zbiorze pustym takich ele-
(dlatego nie da się skutecznie zaprzeczyć stwier-
dzeniu: każdy element zbioru pustego należy do zbioru
– nie każdy? – więc podaj jaki?).
Przy tym założeniu mamy:
,,, ⊂
=
,,,
, ⊂
∅ ⊂
ss
.
Po prawej stronie równania mamy zbiór, którego cztery elementy wypisano w nawiasie
klamrowym. Właśnie nawias klamrowy jest używany do zapisywania zbiorów.
Wymienimy teraz sposoby zapisywania różnych zbiorów:
= ,,,
Û
Znaki specjalne
, np.:
∅
- zbiór pusty
- zbiór liczb całkowitych
- zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
Û
Wypisanie elementów zbioru w nawiasie klamrowym
, np.:
,,,
,,,,,…
Jak widać można to zrobić nawet wtedy, gdy zbiór ma nieskończenie wiele elemen-
tów.
mentów, które nie należałyby do zbioru
Niech
Zbiory zazwyczaj oznaczamy dużymi literami alfabetu, ale nie jest to jedyny sposób ich zapi-
sywania. W powyższym przykładzie pojawiła się równość:
Û
Określenie zbioru poprzez własność, którą spełniają wszystkie elementy tego zbio-
ru
, np. zapisy:
∈ :
+ <
określają zbiór takich liczb rzeczywistych, które spełniają podaną nierówność.
Ogólnie: ten sposób zapisu zbiorów wygląda następująco:
∈ :
: ∈
Û
Suma zbiorów
(inaczej:
unia zbiorów
)
Suma zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A
lub
do
zbioru B (czyli należy co najmniej do jednego z tych zbiorów).
Sumę zbiorów A i B oznaczamy symbolem
∪
.
∪ = : ∈ ∨ ∈
Przykład:
,,∪, = ,,,
Û
Iloczyn zbiorów
(inaczej:
przecięcie zbiorów
lub
część wspólna zbiorów
)
Iloczyn zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A
i
do
zbioru B.
Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy symbolem:
∩
.
∩ = : ∈ ∧ ∈
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym (
,,∩, =
), czyli takie, które nie mają
wspólnych elementów, nazywamy
zbiorami rozłącznymi
.
Û
Różnica zbiorów
Różnica zbiorów A i B jest to zbiór, którego każdy element należy do zbioru A
i
nie na-
leży do zbioru B.
Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolem:
∩ = ∅
\
lub
−
.
\ = : ∈ ∧ ∉
Przykład:
,,\, = ,
lub
: ∈ ∧
+ <
Przykład:
Û
-
zbiór liczb naturalnych
Z tym zbiorem mamy niezły galimatias. Kiedyś, dawno temu, sprawa była prosta: de-
finicję zbioru liczb naturalnych przyjmowano w Polsce następującą:
=
,,,,…
Potem, w ramach nieustających reform oświaty, nie obyło się bez kombinowania przy
nauczanych treściach matematycznych i zaczęto wprowadzać definicję:
= ,,,,…
, czyli do zbioru liczb naturalnych dołączono liczbę zero.
Takie ustalenie nie jest zbyt wygodne - staje się wygodne wtedy, gdy konsekwentnie
będziemy wszelkiego rodzaju numerację elementów zaczynać od zera (np. numerację
wyrazów ciągu). Wobec tego zaczęto się z tej „nowatorskiej” definicji powoli wycofy-
wać, ale ten proces tak jakby zatrzymał się, więc mamy teraz taką sytuację, iż zbiór
liczb naturalnych jest taki, jaki sobie ktoś-tam w danym momencie zdefiniuje: z ze-
rem, albo bez zera.
W końcowym efekcie „dla pewności” (np. w tematach zadań maturalnych) zaznacza
się: „
zbiór liczb naturalnych dodatnich
”, by ktoś nie brał pod uwagę zera, gdy układa-
jący temat zadania tego nie chce.
Podsumowując: najczęściej przyjmowaną definicją zbioru liczb naturalnych jest defi-
nicja następująca:
=
,,,,…
,
wsparta dodatkowym symbolem
:
= ,,,,…
- zbiór liczb naturalnych dodatnich
Û
-
zbiór liczb całkowitych
= …,−,−,−,,,,,…
Û
-
zbiór liczb wymiernych
Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które dadzą się zapisać w
postaci ułamka zwykłego:
, gdzie
∈ ∈ ≠
Zwracamy tu uwagę na często popełniany błąd: o tym, czy liczba jest wymierna decy-
duje
możliwość
zapisania jej w postaci ułamka zwykłego, a nie jej wygląd. Często
wymierne są liczby, które wcale na to nie wyglądają, np.:
V
liczby całkowite:
,−,
=
, − =
, =
V
niektóre pierwiastki:
, , =
=
V
inne:
=
=
Bardzo ważną cechą liczb wymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę wymierną w
postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to albo
ułamek dziesiętny skończony
(od
pewnego miejsca po przecinku będą same zera – np.
,
), albo
ułamek dziesiętny
nieskończony i okresowy
(np.
,… = ,
).
Û
-
zbiór liczb niewymiernych
Zbiór liczb niewymiernych jest to zbiór tych wszystkich liczb, które nie dadzą się zapi-
sać w postaci ułamka zwykłego.
P
rz
ykłady liczb niewymiernych:
√ ,
,
Bardzo ważną cechą liczb niewymiernych jest to, że jeżeli zapiszemy liczbę niewy-
mierną w postaci ułamka dziesiętnego, to będzie to
ułamek dziesiętny
nieskończony
i nieokresowy
, np.:
= .…
Û
Związki między zbiorami liczbowymi
, czyli:
- każda liczba naturalna jest całkowita i wymierna,
- każda liczba całkowita jest wymierna, ale nie każda liczba całkowita jest natural-
na (np.
⊂ ⊂
),
- nie każda liczba wymierna jest całkowita (np.
−
) i nie każda liczba wymierna jest
naturalna (np.
,−
).
Nie istnieje taka liczba, która jest jednocześnie wymierna i niewymierna.
V
Mamy:
∩ = ∅
Na osi liczbowej każdemu punktowi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywi-
sta i jest to liczba wymierna albo niewymierna.
∪ =
W podanych niżej definicjach:
, ∈ <
.
Przedziały liczbowe ograniczone
,
=
: ∈ < <
V
Przedział domknięty
:
,
=
: ∈ ≤ ≤
V
Mamy:
V
Mamy:
V
Przedział otwarty
:
Plik z chomika:
wojmusz
Inne pliki z tego folderu:
wykresy.exe
(670 KB)
funkcje_trygonometryczne.pdf
(95 KB)
geometria_analityczna.pdf
(63 KB)
granice_i_pochodne_funkcji.pdf
(105 KB)
logika.teoria.pdf
(320 KB)
Inne foldery tego chomika:
audiobooki
budownictwo(budownictwo)
Dokumenty
filmiki 3D side by side
filmy
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin