wektory.pdf

Wektory, Skalary - wprowadzenie

W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:

wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami)

wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako

strzałki)

Wektory są używane do opisu wielkości mających kierunek - np. siła działa w jakimś kierunku,

prędkość też wyróżnia określony kierunek ruchu itp.

Skalary stosowane są do opisu wielkości bezkierunkowych - np. czas, temperatura itp...

Jak poznać, czy symbol literowy wielkości oznacza wielkość wektorową,

czy skalarną?

Wektory

Skalary

Wektory zapisuje się w podręcznikach najczęściej

na dwa sposoby:

jako literę oznaczającą wielkość

fizyczną ze strzałką.

- drukiem pogrubionym (często też

pochyłym). - np. F (wektor siły F).

Skalary w tekście, to po prostu zwykłe litery,

drukowane zazwyczaj czcionką pochyłą - np. m,

t, q - czyli masa, czas, ładunek.

Typowa szkolna definicja wektora

Typowa szkolna definicja wektora mówi nam, że:

Wektor jest to wielkość posiadająca:

kierunek

zwrot

punkt przyłożenia (nie zawsze się nim zajmujemy)

wartość

W sumie powyższa definicja jest prawdziwa, choć matematycznie

zaawansowana i w sumie poprawniejsza metodologicznie definicja

wektora jest nieco inna. Ale tym się na razie nie przejmujmy, bo

powyższa definicja też jest dla nas dobra.

Rzeczywiście jeśli przyjrzymy się typowemu przedstawieniu wielkości wektorowej, to da się dla niej

wyróżnić wspomniane wyżej własności.

Kierunek wektora

Kierunek wektora stanowi prosta poprowadzona przez początek i koniec wektora.

Uwaga:

W języku polskim słowo „kierunek” oznacza właściwie nie tyle samą prostą, co tzw. prostą

„zorientowaną”, czyli określającą również w którą stronę jest skierowana nasza prosta. Inaczej

mówiąc praktyka językowa jest taka, że często słowem „kierunek” określa się także własność,

którą dalej nazwiemy „zwrotem” - mówimy o "kierunku w lewo", lub "kierunku do góry".

Niestety, różne znaczenia – bardziej potoczne, i te wymyślone przez twórców terminologii

fizycznej – niekiedy się nakładają. I dlatego trzeba czujnie podchodzić do określeń „kierunek” i

„zwrot”, gdyż mogą być one używane zamiennie.

Zwrot wektora

Jak napisano w rozdziale poświęconym kierunkowi, wektorom przypisujemy zwrot .

Zwrot określa nam, które zakończenie odcinka symbolizującego nasz wektor jest

początkiem, a które końcem wektora.

Początek wektora jest rysowany zwykle (choć nie jest to ścisła reguła) w punkcie

przyłożenia wektora.

Punkt przyłożenia wektora

Punkt przyłożenia wektora , to nic innego tylko obiekt, do którego odnosi się nasz wektor. Np.

Jeśli siła działa w środku belki, to mówimy, że jest ona przyłożona w środku tej belki.

Podobnie wektor prędkości jest „przyłożony” do ciała, które ma daną prędkość.

Jeśli rozpatrujemy pole wektorowe (czyli obszar, w którego każdym punkcie określamy jakiś wektor

konkretnej wielkości), to punkt przyłożenia informuje nas o jakim punkcie przestrzeni jest mowa.

Na powyższym rysunku narysowano wektory przyłożone w dwóch różnych punktach pola

wektorowego.

Punkt przyłożenia wektora rysowany jest zwykle w początku wektora (patrz rozdział o

zwrocie ) .

Wartość wektora

Wartość wektora symbolizuje intensywność wielkości, którą określa wektor. Np. duża wartość

wektora prędkości mówi nam, że ciało się szybko porusza; duża wartość wektora siły ukazuje fakt, że

siła jest duża itd.

Wartość wektora

Wartość wektora w przypadku zwykłych wektorów przesunięcia od punktu A do punktu B jest po

prostu długością tego wektora. Dla wektorów innych wielkości (np. prędkości, wektora natężenia

pola) jest to liczba symbolizująca tę "długość" jednak w odpowiedniej przestrzeni - np. w przestrzeni

prędkości, przestrzeni natężeń pól itp.

Operację pobierania z wektora jego wartości (tzw. modułu wektora) zapisuje się symbolicznie za

pomocą kresek otaczających symbol wektora.

Wektor

wartość wektora (skalar)

wartość siły, czyli liczba wyrażona w Newtonach np.: | F | = 40 N

siła:

wartość prędkości, czyli liczba wyrażona w m/s

np. | v | = 10 m/s.

prędkość

Wartość jest szczególnym typem skalara, gdyż:

wartość wektora NIE może być liczbą ujemną!

Wartość wektora graficznie

Patrząc na wektor graficznie, wartość wektora to liczba mówiąca nam ile wektorów jednostkowych

mieści się w naszym wektorze.

Na powyższym rysunku wektor jednostkowy jest oznaczony na niebiesko.

Wartość wektora analitycznie

W przypadku gdy znamy współrzędne wektora, wtedy jego wartość obliczamy z twierdzenia

Pitagorasa:

na płaszczyźnie

w przestrzeni

Czyli:

podnosimy wszystkie współrzędne do kwadratu

sumujemy uzyskane kwadraty współrzędnych

wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy.

i już mamy długość (wartość) wektora

Z powyższej recepty na obliczanie długości wektora wynika stąd w sposób oczywisty, że wektor

będzie miał wartość (długość) równą zero tylko wtedy, gdy wszystkie jego składowe będą równe

zero.

Uwaga na często popełniany błąd!

Pamiętajcie, aby nie "wyciągać" pierwiastka bezpośrednio spod sumy kwadratów (sporo uczniów robi

ten błąd).

Wektory - ujęcie graficzne i ujęcie analityczne

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: