09. Zasada zachowania pedu.pdf
(
294 KB
)
Pobierz
Wyk³ad 9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 9
9. Zasada zachowania pędu
9.1 Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bez-
wymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postę-
powego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
• ciało może wirować lub drgać.
• w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej
ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to
środek
masy
. Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia
średniej ważonej
. W tym celu rozważmy prosty
układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka
o różnej masie. W jednej mamy
n
1
jabłek, każde o masie
m
1
, w drugiej
n
2
, każde o ma-
sie
m
2
. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
m
=
n
1
m
+
n
2
m
śred.
n
+
n
1
n
+
n
2
1
2
1
2
czyli
m
=
n
1
m
1
+
n
2
m
2
śred.
n
+
n
1
2
To jest
średnia ważona
(wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy
w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast
środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czyn-
nikiem ważącym przy tworzeniu średniej
.
Np. dla dwóch różnych mas
m
1
i
m
2
9-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
y
x
œrm
m
1
m
2
x
1
x
x
2
x
śrm
=
m
1
x
+
m
2
x
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
czyli
x
śrm
=
m
1
x
1
+
m
2
x
2
m
+
m
1
2
Dla
n
mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
∑
n
m
x
m
x
+
m
x
+
.....
+
m
x
i
i
x
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
∑
=1
n
ponieważ suma
m
i
=
M
jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
i
∑
=
n
Mx
śrm
=
m
i
x
i
i
1
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postę-
pując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
∑
n
m
x
m
x
+
m
x
+
.....
+
m
x
i
i
x
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
oraz
∑
n
m
y
m
y
+
m
y
+
.....
+
m
y
i
i
y
=
1
1
2
2
n
n
=
i
=
1
śrm
m
+
m
+
.....
+
m
n
∑
1
2
n
m
i
i
=
1
9-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwię-
złe równanie wektorowe
∑
=
n
m
i
r
i
r
=
i
1
(9.1)
śrm
M
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że
środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych
punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia
(nie zależy od wyboru układu odniesie-
nia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach
m
1
= 1kg,
m
2
= 2kg i
m
3
= 3kg,
umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak
jak na rysunku.
3
2
m
3
m
1
½
m
2
x
x
śrm
= (
m
1
x
1
+
m
2
x
2
+
m
3
x
3
)/
M
= (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
y
śrm
= (
m
1
y
1
+
m
2
y
2
+
m
3
y
3
)/
M
= (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·
3
2
m)/6kg =
3
4
m
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
9.2 Ruch środka masy
Rozważmy układ punktów materialnych o masach
m
1
,
m
2
,
m
3
...,
m
n
i o
stałej
cał-
kowitej masie
M
. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
M
r
śrm
=
m
1
r
1
+
m
2
r
2
+.......+
m
n
r
n
gdzie
r
śrm
jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (wzglę-
dem czasu) powyższe równanie otrzymamy
M
d
r
śrm
=
m
d
r
+
m
d
r
2
+
......
+
m
d
r
d
t
1
d
t
2
d
t
n
d
t
9-3
1
n
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
lub
M
v
śrm
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
+.....+
m
n
v
n
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
M
d
v
śrm
=
m
d
v
1
+
m
d
v
2
+
......
+
m
d
v
n
d
t
1
d
t
2
d
t
n
d
t
lub
M
a
śrm
=
m
1
a
1
+
m
2
a
2
+ .......+
m
n
a
n
czyli
M
a
śrm
=
F
1
+
F
2
+ ...........+
F
n
Wobec tego możemy napisać
M
a
śrm
=
F
zew
(9.2)
Z równania (9.2) wynika, że
środek masy układu punktów materialnych porusza się w
taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły
zewnętrzne nań działały
.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
• Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie).
Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
• Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu
wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na
środek ciężkości
. W roz-
ważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-
liczmy
E
k
mierzone w układzie środka masy.
E
=
∑
m
v
2
i
=
∑
m
i
(
v
śrm
+
v
i
,
wzg
)
v
śrm
+
v
i
wzg
)
k
,
calkowita
2
2
gdzie
v
wzgl
jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie
skalarne otrzymamy
E
=
∑
m
i
v
2
+
v
∑
m
v
+
∑
m
i
v
2
,
wzg
k
calkowita
2
śrm
śrm
i
i
,
wzg
2
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi
M
razy pręd-
kość środka masy (
M
v
śrm
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
+.....+
m
n
v
n
). W układzie środka masy, w któ-
rym mierzymy,
v
śrm
= 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
M
v
2
E
=
śrm
+
E
'
kcalkowita
2
k
9-4
i
,
i
,
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
gdzie
E
k
'
jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych
to równanie przyjmuje postać
M
v
2
E
=
śrm
+
E
'
kcalkowita
2
rot
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obro-
tową).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość
v
.
v
Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?
m
v
2
m
v
2
E
=
+
rot
wzg
kcalkowita
2
2
gdzie
v
rot,wzg
to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator
w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością
v
więc
v
rot,wzg
=
v
.
Stąd
m
v
2
m
v
2
E
kcalkowita
=
+
=
m
v
2
2
2
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego
się z tą samą prędkością
v
(ale nie obracającego się).
9.3 Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy
m
i prędkości
v
. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
d
p
F
=
d
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem
n
punktów materialnych o masach
m
1
, ......,
m
n
. Zakładamy, że masa układu (
M
) pozostaje
stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie
miał całkowity pęd
P
w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną
pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
9-5
,
Plik z chomika:
EIT_PWR
Inne pliki z tego folderu:
11. Elementy szczegolnej teorii wzglednosci.pdf
(307 KB)
10. Zasada zachowania pedu.pdf
(254 KB)
09. Zasada zachowania pedu.pdf
(294 KB)
08. Zasada zachowania energii.pdf
(300 KB)
07. Praca i energia.pdf
(231 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin