Interpolacja trygonometryczna
Załóżmy, że znamy wartości pewnej ciągłej i okresowej funkcji f(x) o okresie 2π w 2n+1 węzłach. Jako bazę interpolacji przyjmujemy zbiór funkcji trygonometrycznych
Otrzymujemy zatem wielomian interpolacyjny w postaci
zawierający 2n+1 nieznanych parametrów.
Ze względu na uproszczenie obliczeń najistotniejszy jest przypadek interpolacji funkcji określonej na zbiorze równoodległych węzłów xiÎ[0,2π] dobranych według następującej zależności
, gdzie i = 0, 1, ..., 2n
Czyli
Warunek interpolacji prowadzi do układu równań liniowych w postaci
Współczynniki pierwszego wiersza macierzy X wynikają z wartości funkcji sin(hx) i cos (hx) dla x0 = 0. Przedstawiony układ równań rozwiązuje się natychmiastowo, ponieważ macierz X-1 można wyznaczyć z zależności
Przykład: Daną funkcję f(x) = 7x – x2 przybliżyć wielomianem trygonometrycznym przyjmując n = 3. Współrzędne węzłów interpolacji obliczamy ze wzoru:
x
0
0,898
1,795
2,693
3,590
4,488
5,386
y
5,478
9,344
11,598
12,242
11,274
8,695
Baza interpolacji – zbiór funkcji:
Interpolacja wielomianowa
W praktyce często używa się bazy złożonej z jednomianów
Baza dla funkcji ciągłych na odcinku skończonym [xo, xn] jest bazą zamkniętą, tzn., że każda funkcja tej klasy może być przedstawiona w postaci szeregu złożonego z funkcji bazowych. Wielomian interpolacyjny ma w tym przypadku postać:
dodatkowo musi być spełniony warunek:
Powyższy układ równań ma jedyne rozwiązanie względem a1, jeżeli wartości x0, x1, ..., xn są od siebie różne
Macierz X-1 dla bazy wielomianowej nazywana jest macierzą Lagrange’a
Zauważyć należy, że każdy zbiór węzłów równoodległych xi+1 – xi = h = const. można sprowadzić do zbioru podstawowego podstawiając , wówczas , a macierz Φ przyjmuje postać
Interpolacja Lagrange’a
Przedstawiony powyżej sposób podejścia do interpolacji nie jest zbyt efektywny, ponieważ macierz X jest macierzą pełną i nie zawsze dobrze uwarunkowaną, co oznacza, że numeryczna procedura jej odwracania może być obarczona dużym błędem.
W interpolacji wielomianowej Lagrange’a dla n+1 węzłów interpolacji
przyjmuje się funkcje bazowe w postaci
Funkcje te są wielomianami stopnia n zbudowanymi w ten sposób, że w funkcji bazowej φ1 brakuje czynnika (x-xi). Zatem wielomian interpolacji wyraża się następującym wzorem:
współczynniki a0 ... an tego wielomianu wyznaczamy z równania:
X · A = Y, przy czym macierz X ma postać:
Macierz posiada tylko główną przekątną niezerową w związku z tym układ równań X · A = Y rozwiązuje się natychmiastowo
Można więc wielomian interpolacyjny Lagrange’a zapisać w postaci ułamka:
lub krócej
, j = 0, 1, ..., n
Aproksymacja średniokwadratowa
Niech dana będzie funkcja y=f(x), która w pewnym zbiorze X punktów x0, x1, ..., xn przyjmuje wartości y0, y1, ..., yn. Wartości te znane tylko w przybliżeniu z pewnym błędem (np. jako wyniki pomiarów). Poszukujemy takiej funkcji Q(x) przybliżającej daną funkcję f(x), która umożliwi wygładzenie funkcji f(x), czyli pozwoli z zakłóconych błędami danymi wartości funkcji przybliżonej otrzymać gładką funkcję przybliżającą.
Niech jj(x), j=0, 1,...,n będzie układem funkcji bazowych. Poszukujemy wielomianu uogólnionego Q(x) będącego najlepszym przybliżeniem średniokwadratowym funkcji f(x) na zbiorze X=(xj). Funkcja przybliżająca ma postać
Przy czym współczynniki ai są tak określone, aby wyrażenie
dla i=0, 1, ..., n
było minimalne. Funkcja w(x) jest z góry ustaloną funkcją wagową.
Aby wyznaczyć współczynniki ai oznaczamy odchylenie
gdzie Rj jest odchyleniem w punkcie xj.
Następnie obliczamy pochodne cząstkowe funkcji H względem ai. Z warunku
, gdzie k = 0, 1, ..., n
otrzymujemy układ m+1 równań o niewiadomych ai zwany układem normalnym
Jeśli wyznacznik tego układu jest różny od zera to rozwiązaniem układu jest minimum funkcji H. W zapisie macierzowym układ przyjmuje postać
gdzie
Aproksymacja wielomianowa
Jeżeli za funkcje bazowe przyjmiemy ciąg jednomianów (xi), i = 0, 1, ..., n to układ normalny przyjmuje postać
, k = 0, 1, ..., n
co po zmianie kolejności sumowania daje
Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych ze wzrostem stopnia wielomianu, obliczenia stają się coraz bardziej pracochłonne a ich wyniki niepewne. Problem ten można usunąć stosując do aproksymacji wielomiany ortogonalne.
Funkcje f(x) i g(x) nazywa się ortogonalnymi na dyskretnym zbiorze punktów x0, x1, ..., xn jeśli
przy czym
Analogicznie ciąg funkcyjny
nazywamy ortogonalnym na zbiorze punktów x0, x1, ..., xn jeśli
dla j≠k
Zastosowanie tej metody powoduje, że znika jedna z trudności obliczeniowych przy aproksymacji wielomianowej, mianowicie złe uwarunkowanie macierzy układu normalnego. Przy aproksymacji wielomianami ortogonalnymi macierz układu normalnego jest macierzą diagonalną, a jej elementy położone na głównej przekątnej dane są wzorem
Załóżmy, że znamy n+1 równoodległych punktów xi (xi = x0+ih, i = 0, 1, ..., n). Za pomocą przekształcenia liniowego
przeprowadzimy te punkty w kolejne liczby całkowite od 0 do n poszukujemy ciągu wielomianów
(dolny indeks oznacza stopień i m ≤ n) spełniających warunek ortogonalności
Często używa się unormowanego ciągu wielomianów spełniających warunek
, gdzie k = 0, 1, ..., m
Co po przekształceniu daje nam wzór na wielomiany Grama, zwane też wielomianami Czebyszewa stopni k = 0, 1, ..., m w postaci
Wzór aproksymacyjny oparty na wielomianach Grama ma postać:
gdzie,
oraz
Aproksymacja trygonometryczna
Często spotykamy się z przypadkiem, gdy funkcja f(x) jest okresowa. Taką funkcję wygodniej jest aproksymować, wielomianem trygonometrycznym o bazie:
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, …, sin kx, cos kx
Jeżeli f(x) jest funkcją dyskretną określoną w dyskretnym zbiorze równoodległych punktów i ich liczba jest parzysta i wynosi 2L (dla nieparzystej liczby punktów rozumowanie jest analogiczne), niech:
dla i = 0, 1, …, 2L-1
Baza jest ortogonalna nie tylko na przedziale <0, 2π>, ale też na zbiorze punktów xi, przy czym warunki ortogonalności mają postać:
...
matachari