08. Opr_rozw_ukl_rown.pdf
(
109 KB
)
Pobierz
PolitechnikaPozna«ska
WydziałInformatyki
Wykład08:
Rozwi¡zywanieukładurówna«za
pomoc¡formyzredukowanej
wierszowo
Opracowanie
Autor:
WeronikaKubacka,
JerzyBrzozowski
18grudnia2012
Opracowanie
I.Pełnerozwi¡zanieAx=b
Danyjestdorozwi¡zaniaukładrówna«:
8
>
<
x
1
+2
x
2
+2
x
3
+2
x
4
=1
2
x
1
+4
x
2
+6
x
3
+8
x
4
=5
3
x
1
+6
x
2
+8
x
3
+10
x
4
=6
>
:
Mo»nagozapisa¢wpostaci
Ax=b
,gdzie:
A
-oznaczamacierzskładaj¡c¡si¦zewspółczynnikówprzyniewiadomych
x
-oznaczawektorskładaj¡cysi¦zkolejnychniewiadomych
b
-oznaczawektorskładaj¡cysi¦zwyrazówwolnychtudzie»rozwi¡za«
równa«
Tenukładpozapisaniuwtakiejpostacib¦dziewygl¡dałnast¦puj¡co:
2
3
2
3
x
1
x
2
x
3
x
4
2
3
1222
2468
36810
1
5
6
6
6
6
4
7
7
7
5
=
6
4
7
5
·
6
4
7
5
Mo»nate»zapisa¢tenukładrówna«wpostaci
macierzyrozszerzonej
,
czylimacierzy
A
zdopisanymwektorem
b
:
2
6
4
3
7
5
12221
24685
368106
[
A
|
b
]=
Nale»yzauwa»y¢,»ewrozwa»anymprzypadkutrzeciwierszmacierzyjest
sum¡dwóchpoprzednich,czyliwierszapierwszegoiwierszadrugiego.Tym
samymbyukładbyłrozwi¡zywalnysumarozwi¡za«pierwszegoidrugie-
gorównaniamusida¢rozwi¡zanietrzeciegorównania.Mo»nasformułowa¢
wniosek:
równanie
Ax=b
marozwi¡zaniewtedyitylkowtedy,gdywek-
tor
b
nale»ydoprzestrzenikolumnowejmacierzy
A
(innymi
słowy:wektor
b
jestkombinacj¡liniow¡kolumnmacierzy
A
.
1
Opracowanie
Korzystaj¡cz
metodyeliminacjiGaussa
doprowadzimyterazt¦macierz
do
postacischodkowej
górnotrójk¡tnej.
2
3
2
3
1
2221
24685
368106
1
2221
00
2
43
00243
6
4
7
5
−!
6
4
7
5
−!
[
A
|
b
]=
2
3
1
2221
00
2
43
00000
6
4
7
5
=
U
−!
Pierwszywierszpomno»yli±myrazy2iodj¦li±myoddrugiegowierszaoraz
pierwszywierszpomno»yli±myrazy3iodj¦li±myodtrzeciegowiersza.Na-
st¦pnieodtrzeciegowierszaodj¦li±mydrugiwiersz.
Znajd¹myterazpełnerozwi¡zanieukładu
Ax=b
.Wpierwszejkolejno±ci
wyznaczymy
rozwi¡zanieszczególne
,x
p
(zang.x
particular
).Abytozrobi¢
nale»ypodstawi¢za
zmienneswobodne
dowoln¡liczb¦(najwygodniej-
szymrozwi¡zaniemjestpodstawienieliczby0)irozwi¡za¢układdla
zmien-
nychosiowych
.Zmiennymiswobodnymi(zang.freevariables)nazywamy
teelementy,którele»¡wkolumnachbezelementówosiowych(
kolumnach
swobodnych
),za±zmiennymiosiowymi(zang.pivotvariables)nazywa-
myteelementy,któreznajduj¡si¦wkolumnachzelementamiosiowymi
(
kolumnachosiowych
).
Wprzypadkuanalizowanejmacierzyzmiennymiswobodnymib¦d¡
x
2
i
x
4
,
za±zmiennymiosiowymi
x
1
i
x
3
.Zatemzapiszmy:
(
x
1
+2
x
2
+2
x
3
+2
x
4
=1
2
x
3
+4
x
4
=3
Podstawiaj¡cza
x
2
i
x
4
zeramo»emyupro±ci¢układ:
(
x
1
+2
x
3
=1
2
x
3
=3
Dzielimydrugierównanieobustronnieprzez2,dzi¦kiczemuobliczamy
x
3
=
3
2
.Podstawiamytakobliczone
x
3
dopierwszegorównaniaiobliczamy
x
1
=
−
2.Mamyzatemobliczone
x
1
,x
2
,x
3
i
x
4
.Zapisujemyrozwi¡zanieszczególne
x
p
wformiewektora:
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
x
1
x
2
x
3
x
4
−
2
0
3
2
0
x
p
=
2
Opracowanie
Kolejnymkrokiemdowyznaczeniapełnegorozwi¡zania
Ax=b
b¦dziewy-
znaczeniewektorówspełniaj¡cychrównanie
Ax=0
,czyliwektorównale»¡-
cychdo
przestrzenizerowej
macierzy
A
.
Jakju»wiadomo,zazmienneswobodnemo»emypodstawi¢dowolneliczby.
Zatemrozwa»mydwa
przypadkispecjalne
.Wpierwszymza
x
2
podstawi-
my1,za
x
4
podstawimy0.Wdrugimprzypadkupost¡pimyodwrotnie:za
x
2
podstawimy0,za
x
4
podstawimy1.
Zanalizujmyzatempierwszerozwi¡zaniespecjalne,któryoznaczymyjakox
s1
.
(
x
1
+2
x
2
+2
x
3
+2
x
4
=0
2
x
3
+4
x
4
=0
Podstawiamy
x
2
=1oraz
x
4
=0:
(
x
1
+2
x
3
=
−
2
2
x
3
=0
Dzielimydrugierównanieprzez2,dzi¦kiczemuotrzymujemy
x
3
=0.Pod-
stawiamywyliczone
x
3
dopierwszegorównaniaiuzyskujemy
x
1
=
−
2.Roz-
wi¡zaniamo»emyzapisa¢wpostaciwektora:
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
x
1
x
2
x
3
x
4
−
2
1
0
0
x
s1
=
Zajmijmysi¦terazdrugimrozwi¡zaniemspecjalnym,któryoznaczymyjako
x
s2
.
(
x
1
+2
x
2
+2
x
3
+2
x
4
=0
2
x
3
+4
x
4
=0
Podstawiamy
x
2
=0oraz
x
4
=1:
(
x
1
+2
x
3
=
−
2
2
x
3
=
−
4
Dzielimydrugierównanieprzez2,dzi¦kiczemuotrzymujemy
x
3
=
−
2.Pod-
stawiamywyliczone
x
3
dopierwszegorównaniaiuzyskujemy
x
1
=2.Roz-
wi¡zaniamo»emyzapisa¢wpostaciwektora:
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
=
2
6
6
6
4
3
7
7
7
5
x
1
x
2
x
3
x
4
2
0
−
2
0
x
s2
=
3
Opracowanie
Maj¡cobliczonex
p
,
x
s1
,
x
s2
mo»emysformułowa¢
pełnerozwi¡zanie
,
któreoznaczymyliter¡x.ebyjeuzyska¢dodajemydorozwi¡zania
szczególnegopomno»oneprzezdowolnyskalarrozwi¡zaniaspecjalne-tym
samymdodamywszystkierozwi¡zaniazprzestrzenizerowejdanejmacierzy.
x=x
p
+x
n
2
3
2
3
2
3
−
2
0
3
2
0
−
2
1
0
0
2
0
−
2
1
6
6
6
4
7
7
7
5
+
c
1
6
6
6
4
7
7
7
5
+
c
2
6
6
6
4
7
7
7
5
x
=
| {z }
x
n
Gdzie
c
1
i
c
2
oznaczaj¡dowolneliczby.
uzasadnieniepowy»szegozapisu:
(
Ax
p
=b
Ax
n
=0
A
(x
p
+x
n
)=
A
x
p
+
A
x
n
=
b
+0=
b
II.Macierzwszykuschodkowozredukowanym
Mo»emykontynuowa¢proceseliminacjimacierzy
U
zwykorzystaniem
me-
todyJordana
,czylidokonywaniaeliminacjigórnejcz¦±ci,takabyuzyska¢
zerarównie»powy»ejelementówosiowych.
2
3
2
3
2
3
1222
0024
0000
1222
0012
0000
120
−
2
0012
0000
6
4
7
5
−!
6
4
7
5
−!
6
4
7
5
=
R
U
=
Uzyskan¡macierz
R
nazywamy
macierz¡wszykuschodkowozreduko-
wanym
(zang.reducedrowechelonform).Posumowuj¡cmo»nasformuło-
wa¢wniosek:
Macierzmazredukowanyszykschodkowy,wtedyitylkowte-
dy,gdymaszykschodkowywierszowy,ka»dyelementosiowy
jestrówny1orazjestjedynymniezerowymelementemwswo-
jejkolumnie.
4
Plik z chomika:
piedev
Inne pliki z tego folderu:
01. _oprac_geometria_równań_liniowych.pdf
(177 KB)
02. oprac_Gauss.pdf
(134 KB)
05. _oprac_permutacje.pdf
(156 KB)
08. Opr_rozw_ukl_rown.pdf
(109 KB)
09. oprac_niezaleznosc_liniowa.pdf
(317 KB)
Inne foldery tego chomika:
Podręczniki
Poradniki
Wykłady
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin