ep15r6.pdf
(
126 KB
)
Pobierz
ep15r6
6. Elementy obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
123
Wykład XV.
WYKRESY WSKAZOWE PR
ġ
DU I NAPI
Ħ
CIA SINUSOIDALNEGO.
METODA SYMBOLICZNA ROZWI
ġ
ZYWANIA OBWODÓW
Wskazy pr
Ģ
du i napi
ħ
cia sinusoidalnego. Idea wykresu wskazowego obwodu
Przebieg sinusoidalny mo
Ň
e by
ę
reprezentowany przez:
a) wiruj
Ģ
cy wektor i nieruchom
Ģ
o
Ļ
przebiegu czasowego, krócej: nieruchom
Ģ
„o
Ļ
czasu” (rys. a),
b) nieruchomy wektor i wiruj
Ģ
c
Ģ
o
Ļ
przebiegu czasowego, krócej: wiruj
Ģ
c
Ģ
„o
Ļ
czasu” (rys. b),
przy czym rzut tego wektora na t
ħ
o
Ļ
wyra
Ň
a warto
Ļę
chwilow
Ģ
przebiegu.
a) b)
nieruchoma
„o
Ļ
czasu”
wiruj
Ģ
ca „o
Ļ
czasu”
w poło
Ň
eniu pocz
Ģ
tkowym
u
(
t
)
U
mt
u
(
t
)
wiruj
Ģ
ca „o
Ļ
czasu”
w chwili
t
> 0
u
(0)
w
t
U
m
u
(0)
w
U
m
y
y
u
0
o
Ļ
zerowej fazy
pocz
Ģ
tkowej
(
0
o
Ļ
zerowej fazy
pocz
Ģ
tkowej
(
y
u
= 0)
y
u
= 0)
Wektory reprezentuj
Ģ
ce przebiegi czasowe pr
Ģ
du
i
(
t
) i napi
ħ
cia
u
(
t
) nazywa si
ħ
wskazami
i oznacza
podkre
Ļ
lonymi wielkimi literami
: wskazy wiruj
Ģ
ce – jako
I
mt
,
U
mt
; wskazy nieruchome –
I
m
,
U
m
.
Wskaz nieruchomy danej wielko
Ļ
ci, to
Ň
samy – jak wida
ę
– ze wskazem ruchomym tej wielko
Ļ
ci w
chwili pocz
Ģ
tkowej, nazywa si
ħ
wskazem pocz
Ģ
tkowym
tej
Ň
e wielko
Ļ
ci.
Warto
Ļę
chwilowa przebiegu sinusoidalnego jest okre
Ļ
lona jednoznacznie przez czas oraz długo
Ļę
i
poło
Ň
enie reprezentuj
Ģ
cego go wskazu pocz
Ģ
tkowego. Algebraicznemu dodawaniu warto
Ļ
ci chwi-
lowych pr
Ģ
dów lub napi
ħę
sinusoidalnych o tej samej pulsacji odpowiada geometryczne dodawanie
ich wskazów pocz
Ģ
tkowych.
Wykres przedstawiaj
Ģ
cy wskazy pocz
Ģ
tkowe pr
Ģ
dów i napi
ħę
obwodu pr
Ģ
du sinusoidalnego o okre-
Ļ
lonej pulsacji nosi nazw
ħ
wykresu wskazowego
tego obwodu. Zazwyczaj na wykresie wskazowym
nie rysuje si
ħ
osi układu współrz
ħ
dnych (nie zaznacza si
ħ
te
Ň
osi zerowej fazy pocz
Ģ
tkowej).
W praktyce s
Ģ
u
Ň
ywane warto
Ļ
ci skuteczne pr
Ģ
dów i napi
ħę
, a nie ich warto
Ļ
ci maksymalne. Wska-
zy pocz
Ģ
tkowe
I
m
i
U
m
– o długo
Ļ
ciach
I
m
i
U
m
, równych amplitudom przebiegów sinusoidalnych
i
(
t
) i
u
(
t
) – zast
ħ
puje si
ħ
dlatego wskazami
I
i
U
, o długo
Ļ
ciach 2 razy krótszych od
I
m
i
U
m
, czyli
równych warto
Ļ
ciom skutecznym
I
i
U
przebiegów
i
(
t
) i
u
(
t
). „Zredukowane” w taki sposób wska-
zy pocz
Ģ
tkowe pr
Ģ
dów i napi
ħę
przedstawia si
ħ
na wykresach wskazowych, nazywaj
Ģ
c je po prostu
wskazami (bez dodatkowych okre
Ļ
le
ı
).
Przydatno
Ļę
wykresów wskazowych wynika z pogl
Ģ
dowego przedstawienia zwi
Ģ
zków czasowych
jako zale
Ň
no
Ļ
ci geometrycznych, co na ogół ułatwia rozwi
Ģ
zanie obwodu.
Wykresy wskazowe i wykresy trójk
Ģ
towe dwójników pasywnych
K
Ģ
t przesuni
ħ
cia fazowego (przesuni
ħ
cie
fazowe) dwójnika jest ró
Ň
nic
Ģ
faz pocz
Ģ
t-
kowych jego napi
ħ
cia i pr
Ģ
du:
a)
j
>
0
b)
j
<
0
.
Gdy j > 0 (
X
> 0;
B
< 0), to wskaz
I
opó
Ņ
-
nia si
ħ
o k
Ģ
t
j
=
y
-
y
U
U
X
I
B
U
X
u
i
U
I
B
I
I
G
I
G
wzgl
ħ
dem wskazu
U
(rys. a);
gdy natomiast
j
I
U
R
j
y
u
y
u
< 0 (
X
< 0;
B
> 0), to
wskaz
U
opó
Ņ
nia si
ħ
o k
Ģ
t
Õ
j
U
R
y
i
Õ
wzgl
ħ
dem
j
y
i
(o
Ļ
zerowej fazy
pocz
Ģ
tkowej)
wskazu
I
(rys. b).
t
u
j
124
Wykład XV
Na przedstawionych wy
Ň
ej wykresach wska-
zowych dwójnika – o charakterze: a) induk-
cyjnym, b) pojemno
Ļ
ciowym – zaznaczono
składowe
U
R
i
U
X
wskazu napi
ħ
cia
U
(dla
zast
ħ
pczego dwójnika szeregowego R, X
), oraz
składowe
I
G
i
I
B
wskazu pr
Ģ
du
I
(dla
zast
ħ
p-
czego dwójnika równoległego G, B
).
Wykres z rys. a odnosi si
ħ
do układów pokazanych na rys. c i d (dwójnik o charakterze indukcyj-
nym). Wykres z rys. b odnosi si
ħ
do analogicznych układów z pojemno
Ļ
ciami na miejscu induk-
cyjno
Ļ
ci, przy czym
X
< 0 i
B
> 0 .
Wskazy napi
ħ
cia oraz pr
Ģ
du tworz
Ģ
wraz ze swymi składowymi
trójk
Ģ
ty napi
ħ
cia
i
trójk
Ģ
ty pr
Ģ
du
,
co lepiej wida
ę
, gdy te wykresy s
Ģ
narysowane oddzielnie, z zało
Ň
eniem zerowej warto
Ļ
ci pocz
Ģ
t-
kowej, odpowiednio: k
Ģ
ta fazowego y
i
pr
Ģ
du
I
w układzie
R, X
(trójk
Ģ
t napi
ħ
cia); k
Ģ
ta fazowego y
u
napi
ħ
cia
U
w układzie
G, B
(trójk
Ģ
t pr
Ģ
du). Wykresy takie, dla dwójnika o charakterze indukcyj-
nym (
c)
d)
I
G
G
I R X
>0
I
U
R
U
X
U
I
B
B
<0
U
j
>
0) – jak na rys. a, pokazano ni
Ň
ej na rysunkach a’ i a”.
i warto
Ļ
ciom skutecznym
I
,
I
G
i
I
B
oraz
U
,
U
R
i
U
X
odpowiada-
j
Ģ
składowe czynne i bierne
:
- pr
Ģ
du
j
a’)
a”)
u
= 0
I
=
I
=
I
×
cos
j
y
i
= 0
U
I
G
U
cz
G
U
X
i
I
b
=
-
I
×
sin
j
,
I
b
I
=
B
;
j
I
j
I
B
- napi
ħ
cia
U
=
U
=
U
×
cos
j
cz
R
U
R
I
.
Dziel
Ģ
c oraz mno
ŇĢ
c długo
Ļ
ci bo-
ków trójk
Ģ
tów napi
ħ
cia i pr
Ģ
du,
odpowiednio, przez warto
Ļ
ci sku-
teczne pr
Ģ
du i napi
ħ
cia, otrzymuje
si
ħ
trójk
Ģ
ty
:
impedancji
,
admitancji
oraz
mocy
– pokazane obok na ry-
sunku dla dwójnika o charakterze
indukcyjnym (
i
U
b
=
U
×
sin
j
,
U
b
U
=
X
G
Z
j
B
<
0
S
X
>
0
Q
>
0
j
Y
j
R
P
>
0).
Przeliczenie długo
Ļ
ci boków z trójk
Ģ
tów impedancji lub admitancji, na trójk
Ģ
t mocy, wyra
Ň
a si
ħ
nast
ħ
puj
Ģ
co:
j
P
=
R
×
I
2
=
G
×
U
2
;
Q
=
X
×
I
2
=
-
B
×
U
2
;
S
=
Z
×
I
2
=
Y
×
U
2
.
Przykład. Wykres wskazowy pr
Ģ
dów i napi
ħę
dwój-
nika
R
,
L
,
C
o strukturze szeregowo-równoległej,
wykonany przy zało
Ň
eniu
U
R
3
i
3
(
t
)
=
I
3
2
sin
w
t
,
U
L
U
2
=
U
3
I
=
I
1
tj.
y
=
0
.
i
3
I
2
j
3
I
=
I
1
C
I
3
I
2
I
3
j
U
1
U
U
R
3
R
3
U U
2
=
U
3
R
2
U
L
L
U
1
K
Ģ
towi
y
6. Elementy obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
125
Wykonany wykres odpowiada danym:
X
L
=
X
C
=
R
3
= 100
W
,
R
2
= 200
W
. Jak wida
ę
, układ o tych
< 0), ale przy mniejszej np. trzykrotnie
warto
Ļ
ci reaktancji
X
C
byłby to dwójnik rezystancyjno-indukcyjny (
j
> 0).
Uwaga
. Wykres wskazowy wykonuje si
ħ
w skali, tzn. przyjmuje si
ħ
skale długo
Ļ
ci wskazów pr
Ģ
du
i wskazów napi
ħ
cia (skale pr
Ģ
du i napi
ħ
cia). Długo
Ļ
ci i fazy wskazów napi
ħ
cia oraz pr
Ģ
du, dotycz
Ģ
-
cych poszczególnych elementów idealnych lub gał
ħ
zi z nich zło
Ň
onych, s
Ģ
ze sob
Ģ
zwi
Ģ
zane warto-
Ļ
ciami impedancji i k
Ģ
ta przesuni
ħ
cia fazowego.
Szkicuj
Ģ
c wykres wskazowy nie okre
Ļ
la si
ħ
dokładnie skal pr
Ģ
du i napi
ħ
cia, trzeba jednak zacho-
wa
ę
przybli
Ň
one proporcje odpowiadaj
Ģ
ce danym b
Ģ
d
Ņ
spodziewanym warto
Ļ
ciom parametrów
obwodu.
Procedura obliczenia warto
Ļ
ci impedancji
Z
i k
Ģ
ta fazowego
j
j
dwójnika (dla podanych wy
Ň
ej pa-
rametrów układu):
a) impedancja, konduktancja i susceptancja gał
ħ
zi trzeciej -
Z
=
R
2
3
+
X
2
=
100
2
W
;
G
=
Z
R
3
=
0
005
S;
B
=
Z
X
L
=
-
0
005
S;
3
L
3
2
3
3
2
3
b) konduktancja gał
ħ
zi drugiej -
G
=
R
1
=
0
005
S;
2
2
c) konduktancja, susceptancja i admitancja gał
ħ
zi drugiej z trzeci
Ģ
-
G
23
=
G
2
+
G
3
=
0
01
S;
B
23
=
B
3
=
-
0
005
S;
Y
23
=
G
2
23
+
B
2
23
=
0
01
1
25
S;
d) rezystancja i reaktancja gał
ħ
zi drugiej z trzeci
Ģ
-
R
=
Y
G
23
=
80
W
;
X
=
Y
B
23
=
40
W
;
23
2
23
23
2
23
e) rezystancja, reaktancja, impedancja i k
Ģ
t fazowy dwójnika -
R
=
R
=
80
W
;
X
=
-
X
+
X
=
-
60
W
;
Z
=
R
2
+
X
2
=
100
W
;
j
=
arc
tg
X
@
-
37
A
.
23
C
23
R
Procedura obliczenia warto
Ļ
ci skutecznych pr
Ģ
dów i napi
ħę
gał
ħ
ziowych przy zało
Ň
onym przebiegu
t
3
(
t
)
=
2
2
sin
w
, [
i
3
] = A, [
w
] = s
-1
, [
t
] = s, tzn. warto
Ļ
ciach
I
3
= 2 A i
y
i
3
= 0 (na wykresie – po-
ziome poło
Ň
enie wskazu
I
3
):
a) impedancja i warto
Ļę
skuteczna napi
ħ
cia w gał
ħ
zi trzeciej -
U
V;
b) przesuni
ħ
cie fazowe i faza pocz
Ģ
tkowa napi
ħ
cia w gał
ħ
zi trzeciej -
Z
3
=
R
2
3
+
X
L
2
=
100
2
W;
3
=
Z
3
×
I
3
=
200
2
@
283
X
j
=
arc
tg
L
=
45
A
;
y
=
y
+
j
=
45
A
;
3
u
3
i
3
3
R
3
c) warto
Ļę
skuteczna i faza pocz
Ģ
tkowa napi
ħ
cia w gał
ħ
zi drugiej -
;
d) impedancja, przesuni
ħ
cie fazowe, warto
Ļę
skuteczna i faza pocz
Ģ
tkowa pr
Ģ
du w gał
ħ
zi drugiej -
U
=
U
@
283
V;
y
=
y
=
45
A
2
3
u
2
u
3
Z
=
R
=
200
W
;
j
=
0
;
I
=
Z
U
2
@
1
41
A;
y
=
y
-
j
=
45
A
;
2
2
2
2
2
u
2
2
2
e) warto
Ļę
skuteczna i faza pocz
Ģ
tkowa pr
Ģ
du dwójnika (
i
=
i
1
) -
I
1
x
=
I
1
×
cos
y
i
1
=
I
2
×
cos
y
i
2
+
I
3
×
cos
y
i
3
=
3
A;
I
1
y
=
I
1
×
sin
y
i
1
=
I
2
×
sin
y
i
2
+
I
3
×
sin
y
i
3
=
1
A;
I
=
I
2
1
x
I
+
2
1
=
10
@
3
16
A;
y
=
arc
tg
I
1
y
@
18
,
4
A
;
1
y
i
1
I
1
x
danych jest dwójnikiem rezystancyjno-pojemno
Ļ
ciowym (
i
i
126
Wykład XV
;
f) warto
Ļę
skuteczna i faza pocz
Ģ
tkowa napi
ħ
cia na pojemno
Ļ
ci -
I
=
I
@
3
16
A;
y
=
y
@
18
,
4
A
1
1
i
1
U
=
X
×
I
=
100
10
@
316
V;
y
=
y
+
j
@
-
71
,
A
;
1
C
1
u
1
i
1
1
g) warto
Ļę
skuteczna i faza pocz
Ģ
tkowa napi
ħ
cia dwójnika -
U
x
=
U
×
cos
y
u
=
U
1
×
cos
y
u
1
+
U
2
×
cos
y
u
2
=
300
V;
U
y
=
U
×
sin
y
u
=
U
1
×
sin
y
u
1
+
U
2
×
sin
y
u
2
=
-
100
V;
U
=
U
x
U
+
2
=
100
10
@
316
V;
y
=
arc
tg
U
y
@
-
18
,
4
A
;
y
u
U
x
h) impedancja i przesuni
ħ
cie fazowe dwójnika -
Z
=
I
U
=
100
W;
j
=
y
-
y
@
-
37
A
.
u
i
Warto
Ļ
ci symboliczne pr
Ģ
du i napi
ħ
cia sinusoidalnego
Wskazy pr
Ģ
du i napi
ħ
cia:
I
i
U
, umieszczone na płaszczy
Ņ
nie
zespolonej, staj
Ģ
si
ħ
liczbami zespolonymi (rys. obok – wskaz
U
jako liczba zespolona
(o
Ļ
urojona)
). Nosz
Ģ
one nazwy
warto
Ļ
ci
skutecznych zespolonych
lub
warto
Ļ
ci symbolicznych
pr
Ģ
du i
napi
ħ
cia. U
Ň
ywaj
Ģ
c symbolu liczby urojonej
U
=
U
×
e
j
y
u
j
Im
U
U
j
, zapisuje
si
ħ
warto
Ļ
ci symboliczne w postaci wykładniczej, trygonome-
trycznej lub algebraicznej (kartezja
ı
skiej):
=
-
1
y
(o
Ļ
rzeczy-
wista)
0
Re
U
I
=
I
×
e
j
i
y
=
I
×
(cos
y
i
+
j
sin
y
i
)
=
Re
I
+
j
Im
I
, (6.48a)
U
=
U
×
e
j
u
y
=
U
×
(cos
y
+
j
sin
y
)
=
Re
U
+
j
Im
U
, (6.48b)
u
u
u
– argumenty
I
i
U
;
Re
I
, Re
U
– cz
ħĻ
ci rzeczywiste
I
i
U
;
Im
I
, Im
U
– cz
ħĻ
ci urojone
I
i
U
.
Przebiegi czasowe pr
Ģ
du i napi
ħ
cia odpowiadaj
Ģ
cz
ħĻ
ciom urojonym
wskazów zespolonych wiruj
Ģ
-
cych I
mt
i
U
mt
(pr
Ģ
du i napi
ħ
cia):
i
,
y
i
(
t
)
=
Im
I
=
Im(
I
2
×
e
j
w
t
)
=
I
2
sin(
w
t
+
y
)
, (6.49a)
mt
i
u
(
t
)
=
Im
U
=
Im(
U
2
×
e
j
w
t
)
=
U
2
sin(
w
t
+
y
)
. (6.49b)
mt
u
Własno
Ļ
ci metody symbolicznej rozwi
Ģ
zywania obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
1. Dodawaniu warto
Ļ
ci chwilowych pr
Ģ
dów (w w
ħ
złach) oraz napi
ħę
(na elementach obwodu)
odpowiada dodawanie ich warto
Ļ
ci symbolicznych:
=
k
i
(
t
)
i
k
t
(
)
« =
k
I
I
k
; =
k
u
(
t
)
u
k
t
(
)
« =
k
U
U
k
.
2. Mi
ħ
dzy warto
Ļ
ciami symbolicznymi pr
Ģ
du i napi
ħ
cia elementów idealnych zachodz
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
-
ce zale
Ň
no
Ļ
ci (wykresy ze wskazami „zespolonymi” s
Ģ
takie same jak ze „zwykłymi”):
a) rezystancja -
I
R
R
,
G
I
R
=
G
×
U
R
U
=
R
×
I
, (6.50a)
R
R
U
R
U
R
=
R
×
I
R
I
R
=
G
×
U
R
, (6.50b)
2
gdzie:
I
=
Õ
I
Õ
,
U
=
Õ
U
Õ
– moduły (długo
Ļ
ci wskazów)
I
i
U
;
y
6. Elementy obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego
127
b) pojemno
Ļę
-
I
C
X
C
,
B
C
I
C
=
jB
C
×
U
C
U
=
-
jX
×
I
, (6.51a)
C
C
C
U
C
U
C
= -
jX
C
×
I
C
I
C
=
jB
C
×
U
C
, (6.51b)
c) indukcyjno
Ļę
(własna) -
I
L
X
L
,
B
L
U
L
=
jX
L
×
I
L
U
L
=
jX
L
×
I
L
, (6.52a)
U
L
I
L
=
-
jB
L
×
U
L
, (6.52b)
I
L
= -
jB
L
×
U
L
d) indukcyjno
Ļę
wzajemna -
I
1
U
=
jX
×
I
, (6.53a)
2
M
M
1
U
2
M
=
jX
M
×
I
1
X
21
=
X
M
analogicznie
I
1
U
1
M
=
jX
M
×
I
2
. (6.53b)
U
2
M
(6.54a)
i posta
ę
zespolon
Ģ
odmiany impedancyjnej prawa Ohma
I
Z
=
R
+
jX
=
Z
×
e
j
. (6.54b)
4. Układowi równoległemu
G
,
B
przypisuje si
ħ
admitancj
ħ
zespolon
Ģ
j
U
=
Z
×
(6.55a)
i posta
ę
zespolon
Ģ
odmiany admitancyjnej prawa Ohma
U
Y
=
G
+
jB
=
Y
×
e
-
j
= . (6.55b)
5. Dla okre
Ļ
lonego dwójnika zachodzi zwi
Ģ
zek
I
Y
×
1
Y
=
, (6.56)
Z
z czego wynikaj
Ģ
nast
ħ
puj
Ģ
ce zale
Ň
no
Ļ
ci mi
ħ
dzy elementami układów zast
ħ
pczych
R
,
X
i
G
,
B
:
R
=
G
,
X
=
-
B
,
G
=
R
,
B
=
-
X
. (6.56a, b, c, d)
Y
2
Y
2
Z
2
Z
2
6. Przy poł
Ģ
czeniu szeregowym dwójników pasywnych sumuje si
ħ
oddzielnie rezystancje i reak-
tancje albo impedancje zespolone (nie wolno sumowa
ę
modułów impedancji zespolonych!):
=
k
R
R
k
, =
k
X
X
k
; =
k
Z
Z
k
. (6.57a, b, c)
7. Przy poł
Ģ
czeniu równoległym dwójników pasywnych sumuje si
ħ
oddzielnie konduktancje i su-
sceptancje albo admitancje zespolone (nie wolno sumowa
ę
modułów admitancji zespolonych!):
=
k
G
G
k
, =
k
B
B
k
, =
k
Y
Y
k
. (6.58a, b, c)
8. Wszystkie twierdzenia i metody rozwi
Ģ
zywania obwodów, dotycz
Ģ
ce teorii obwodów pr
Ģ
du
stałego (wielko
Ļ
ci rzeczywiste stałe:
U
,
I
,
E
,
I
Ņ
r
,
R
,
G
), zachowuj
Ģ
wa
Ň
no
Ļę
w analizie stanów
ustalonych obwodów pr
Ģ
du sinusoidalnego przy u
Ň
yciu liczb zespolonych (wielko
Ļ
ci zespolone:
U
,
I
,
E
,
I
Ņ
r
,
Z
,
Y
).
3. Układowi szeregowemu
R
,
X
przypisuje si
ħ
impedancj
ħ
zespolon
Ģ
j
Plik z chomika:
MMD89
Inne pliki z tego folderu:
ep00wstep.pdf
(71 KB)
ep01r1.pdf
(98 KB)
ep02r1.pdf
(94 KB)
ep03r2.pdf
(122 KB)
ep04r2.pdf
(111 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin