20.pdf

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

20.

Í Ï Î

O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

20.1. WIADOMOŚCI OGÓLNE

Każda poprawnie zaprojektowana konstrukcja powinna spełniać dwa zasadnicze wymagania:

a) bezpieczeństwa,

b) ekonomiczności.

Termin „ezpieczeństwo” jest rozumiany dosyć szeroko. Chodzi głównie o to, by konstrukcja spełniała

dwa warunki: wytrzymałości i sztywności . Dochodzą

do tego jeszcze inne wymagania związane ze specyfiką materiałów użytych do wykonania konstrukcji i

warunkami eksploatacji (np. w konstrukcjach żelbetowych: rysoodporność, szerokość rozwarcia rys).

Dobra konstrukcja musi także sygnalizować przeciążenie poprzez wyraźne ugięcia, rysy, osiadania itp.

Najniebezpieczniejsze są bowiem sytuacje, w których zniszczenie konstrukcji występuje w sposób nagły,

uniemożliwiający ewakuację ludzi i sprzętu.

Względy ekonomiczne wymagają, by koszty wykonania i eksploatacji konstrukcji były możliwie ni-

skie. Koszt wykonania konstrukcji jest zazwyczaj proporcjonalny do jej wagi (masy). Dlatego konstruk-

cja powinna być jak najlżejsza. Problem ten szczególnie ostro występuje w konstrukcjach lotniczych, w

których i koszt eksploatacji jest proporcjonalny do masy obiektu. Miarą kosztu może być również energia

zużyta na wyprodukowanie materiałów, transport, wykonanie i eksploatację konstrukcji.

Poza wymaganiami bezpieczeństwa i ekonomiczności bardzo często wprowadza się jeszcze inne do-

datkowe ograniczenia. Szeroką klasę ograniczeń stanowią tzw. więzy geometryczne, nałożone na gabary-

ty konstrukcji (maksymalna wyniosłość łuku), wymiary elementów (maksymalne i minimalne grubości

płyt, wysokości belek itp.) lub np. usytuowanie krawędzi fundamentów względem konstrukcji nadziem-

nej. Więzy geometryczne wynikają zazwyczaj ze względów użytkowych lub technologicznych. Dodat-

kowymi więzami mogą być więzy materiałowe i asortymentowe.

Wymienione wyżej wymagania bezpieczeństwa, ekonomii i dodatkowe ograniczenia oraz wymagania

użytkowe decydują o wyborze koncepcji konstrukcyjnej projektowanego obiektu. Spełnieniu wymagań

bezpieczeństwa towarzyszy dążenie do powiększania wymiarów i ciężaru elementów. Względy

ekonomiczne z kolei wymuszają tendencje do obniżenia ciężaru konstrukcji. Ostateczny projekt jest więc

pewnym rozwiązaniem kompromisowym.

Specjalne miejsce w omawianej tematyce zajmuje optymalizacja projektowania. Każdy projekt speł-

niający wymagania bezpieczeństwa i ograniczenia dodatkowe nosi nazwę projektu dopuszczalnego . Pro-

blem optymalizacji polega zazwyczaj na znalezieniu w zbiorze projektów dopuszczalnych rozwiązania o

najmniejszym koszcie. Zadania optymalizacji są bardzo złożone. W dalszym ciągu ograniczymy się jedy-

nie do omówienia problemów bezpieczeństwa konstrukcji.

20.2. WARUNKI WYTRZYMAŁOŚCIOWE

20.2.1. Definicje ograniczeń

Wszelkie warunki wytrzymałościowe polegają na ograniczeniu wielkości statycznych: naprężeń, sił

wewnętrznych lub obciążeń.

Ograniczenie naprężeń σ ij dotyczy każdego punktu materialnego konstrukcji

i odpowiada spełnieniu nierówności:

(, ) , (,

ij k

i j

1 2 3

, , ;

, , ....

Równanie F 1 = 0 określa pewną zamkniętą powierzchnię w przestrzeni naprężeń (np. powierzchnię pla-

styczności), a ρ k oznacza parametry opisujące wytrzymałość materiału (np. granicę plastyczności, wy-

trzymałość doraźną). Bezpieczne stany naprężeń odpowiadają punktom leżącym wewnątrz obszaru ogra-

niczonego powierzchnią F 1 = 0.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

1 2

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

Ograniczenie sił wewnętrznych Y t dotyczy z kolei każdego przekroju konstrukcji i odpowiada speł-

nieniu nierówności:

FYr

( , ) , (

1 2 6

, ,..., ;

1 2

, , ...).

Podobnie jak poprzednio, równanie F 2 = 0 opisuje zamkniętą powierzchnię, ale w przestrzeni sił

wewnętrznych, a r k oznaczają parametry nośności przekroju (np. moment plastyczny, moment sprężysty).

Bezpieczne wartości sił wewnętrznych odpowiadają punktom leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego

powierzchnią F 2 = 0.

Ograniczenie obciążeń P m ma charakter globalny i dotyczy całej konstrukcji :

FP R

( , ) , (

1 2

, ,...;

, ,...).

Równanie F 3 = 0 opisuje pewną powierzchnię graniczną w przestrzeni obciążeń,

a R k oznacza parametry nośności całej konstrukcji. Bezpieczne wartości obciążeń odpowiadają punktom

leżącym wewnątrz obszaru ograniczonego powierzchnią F 3 = 0.

Konkretne postacie funkcji F 1 (σ ij , σ k ), F 2 (Y t , r k ) lub F 3 (P m , R k ) zależą od przyjętej metody projekto-

wania konstrukcji. Metody te omówimy pokrótce w p. 20.5.

Spełnienie warunków wytrzymałościowych polega na obraniu takich wymiarów i schematów kon-

strukcji oraz parametrów wytrzymałościowych materiałów, by były spełnione wymagania typu (20.1),

20.2.2. Ograniczenie naprężeń w punkcie

Sens lokalnego warunku naprężeniowego (20.1) objaśniono w rozdziale 7. przy omawianiu hipotez

wytężeniowych. Rezultaty zawartych tam rozważań wykorzystamy do analizy warunku wytrzymałościo-

wego odnoszącego się do materiału sprężysto-plastycznego o charakterystyce podanej na rys. 20.1 a i

odpowiadającego warunkowi plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego .

Dla uproszczenia uwagi przyjmijmy, że w konstrukcji występuje płaski stan naprężenia. Zależność

graniczną w tym przypadku można zapisać następująco:

11 1 2

(, )

σ σ σ

− ⋅ +

12 2

1 2

gdzie σ 1 i σ 2 oznaczają nieuporządkowane naprężenia główne ( σ 3 = 0), a ρ 1 jest parametrem wytrzymało-

ściowym materiału i oznacza pewną wartość naprężenia, którą uznaje się za niebezpieczną (nieprzekra-

czalną). Dla ρ 1 = σ P otrzymujemy elipsę odpowiadającą pełnemu uplastycznieniu materiału; dla ρ 1 = σ S

otrzymujemy elipsę ograniczającą obszar sprężysty (por. rys. 20.1 b ). Parametr ρ 1 ma zatem sens granicz-

nego naprężenia zredukowanego (zastępczego).

Rys. 20.1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

1 2

(20.2) lub (20.3).

FF ij

σ ρ

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

, trzeba przeprowadzić analizę przysto-

sowania się konstrukcji do założonego programu obciążenia zmiennego. W obszarze sprężystym problem

ten nie występuje. Dlatego tradycyjne metody projektowania (np. metoda naprężeń dopuszczalnych), w

których posługujemy się tylko warunkiem lokalnym typu (20.1), wymagają, by w każdym punkcie kon-

strukcji występowały tylko sprężyste stany naprężenia *) . W metodzie naprężeń dopuszczalnych jako war-

tość nieprzekraczalną przyjmuje się naprężenie dopuszczalne σ dop , mniejsze od granicy sprężystości σ S .

Naprężenie to definiuje się następująco:

σ σ

ρ σ

dop

0 1

, . )

gdzie n 0 jest wymaganym współczynnikiem bezpieczeństwa (pewności). W omawianej metodzie współ-

czynnik ten musi być większy od stosunku σ P / σ S , gdyż w przeciwnym razie obszar dopuszczalny obej-

mowałby również stany sprężysto-plas-tyczne. Wobec tego

> σ σ

/ . . )

Dla orientacji podamy, że w przypadku miękkiej stali budowlanej σ S

0,8 σ P , skąd n 0 > 1,25. Obszar

dopuszczalny (20.1) opisuje wówczas nierówność (por. rys. 20.1 b

linia przerywana):

=− ⋅ +−

σ σ σ

12 2

dop

Warunek Hubera-Misesa-Hencky'ego stosuje się do materiałów ciągliwych, które sygnalizują przecią-

żenie pojawieniem się trwałych odkształceń. Materiały kruche nie wykazują tej własności przy rozciąga-

niu (rys. 20.2 a ). Dlatego też w obszarze

Rys. 20.2

naprężeń rozciągających jest uzasadnione przyjmowanie większej wymaganej wartości współczynnika

pewności n 0 () od wartości wymaganej w obszarze ściskania n

() . Ilustruje to rysunek 20.2 b , na którym

()

a obszar dopuszczalny odpowiadający nierówności (20.1) został zakreskowany.

20.2.3. Ograniczenie sił wewnętrznych na poziomie przekroju

Rozważymy działanie siły normalnej i momentu zginającego na prostokątny przekrój pręta wykona-

nego z materiału sprężysto-plastycznego (rys. 20.3). Nośność sprężystą przekroju określają dwa parame-

try wytrzymałościowe: siła normalna N S i moment zginający M S , opisane wzorami:

*) Wyjątek stanowią tu uplastycznienia występujące na bardzo małym obszarze (np. przy docisku lub nagłej

zmianie przekroju).

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Decydując się na przyjęcie wartości ρ 1 z przedziału

F 1 2

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

. )

gdzie σ S oznacza granicę sprężystości równą granicy proporcjonalności σ H , a A = bh oraz W ( S ) = bh 2 /6

oznaczają odpowiednio pole i „sprężysty” wskaźnik wytrzymałości przekroju. Ze wzoru na naprężenia

ekstremalne przy mimośrodowym działaniu siły normalnej na przekrój pręta liniowo-sprężystego otrzy-

mujemy nierówność wyznaczającą obszar sprężysty:

==⋅

Ar M

= =⋅

()

≤

()

skąd

FNMN M

(, ; , )

=+ − ≤

. )

Górną ocenę nośności plastycznej określają parametry wytrzymałościowe: siła normalna N P i moment

zginający M P , wyrażone zależnościami:

rN A r M

==⋅

= =⋅

PP P

()

. )

gdzie W ( P ) = bh 2 /4 i oznacza „plastyczny” wskaźnik wytrzymałości. Odpowiednia zależność graniczna ma

w tym przypadku postać (por. wzór (18.30)):

FNMN M

(, ; , )

− =

(20.10)

Obszar sprężysto-plastyczny jest określony nierównościami:

FNMN M

(, ; , ) ,

(, ; , ) .

. )

Przyjęcie koncepcji naprężenia dopuszczalnego pozwala wyznaczyć obszar dopuszczalny. Obszar ten,

zawarty wewnątrz obszaru sprężystego, wyznaczają siła normalna N dop i moment zginający M dop :

dop

⋅ =

A n

⋅ =

(20.12)

()

dop

()

przy czym

FNMN M

(, ; ,

)

− ≤

. )

dop

Z zależności (20.12) i (20.13) wynika, że współczynnik pewności odniesiony do nośności plastycznej

przekroju zmienia się w zależności od mimośrodu z

/. Najmniejsza wartość tego współczynnika

odpowiada prostej M

0 i wynosi n 0 , natomiast największa występuje dla N = 0 i wynosi

nW W

(

() () .

)

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Dodatek

20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

W odniesieniu do materiałów zbrojonych poprzestajemy zazwyczaj tylko na warunku plastyczności, a

krzywa graniczna przyjęta do projektowania jest zmniejszona proporcjonalnie do współczynnika pewno-

ści, zmieniającego się w zależności od znaków naprężeń (rys. 20.4 b ). Parametry wytrzymałościowe,

określające kształt krzywej granicznej, zależą tu od intensywności zbrojenia oraz od stosunku granicy

plastyczności zbrojenia i materiału rodzimego.

Rys. 20.3

Rys. 20.4

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: