17.pdf

(403 KB) Pobierz
Microsoft Word - 17.doc
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
1
17.
Í Ï Î
WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRĘŻYSTE
WPROWADZENIE
Mechanika nieliniowa zajmuje się problemami, w których zależności między naprężeniami lub siłami
a wielkościami kinematycznymi są nieliniowe. Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje nieliniowości: ki-
nematyczną (tj. geometryczną) i fizyczną.
Nieliniowość kinematyczna pojawia się wtedy, gdy rozważany obiekt wykazuje duże odkształcenia al-
bo duże przemieszczenia, albo duże odkształcenia i duże przemieszczenia jednocześnie (np. konstrukcje
cięgnowe, pneumatyczne).
Nieliniowość fizyczna wynika z fizycznych własności materiału lub konstrukcji i objawia się wówczas,
gdy związki konstytutywne są nieliniowe. Są to np. materiały nieliniowo-sprężyste lub plastyczne.
Szczególnego typu nieliniowość fizyczną w zakresie małych przemieszczeń wykazują również konstruk-
cje wykonane z materiału liniowo-sprężystego, ale nie spełniające postulatów Clapeyrona . Mamy tu na
myśli tzw. konstrukcje luzowe, czyli konstrukcje wykazujące niewielkie luzy w połączeniach elementów.
W skali makro (na poziomie całej konstrukcji) obecność luzów jest przyczyną „zakleszczania się” (ang.
locking ), tzn. wzrostu sztywności w miarę wzrostu obciążenia. Zakleszczanie się oprócz sprężystości i
plastyczności, można uważać za kolejny prototyp nieliniowego prawa fizycznego.
Jest oczywiste, że występują również przypadki bardziej złożone, w których rozważany obiekt wyka-
zuje zarówno nieliniowość kinematyczną jak i fizyczną. Dla wszystkich zadań nieliniowych charaktery-
styczne jest to, że nie obowiązuje zasada superpozycji skutków.
Do konstrukcji niesprężystych zaliczamy takie, których materiał poza cechami sprężystymi wykazuje
inne cechy, np. lepkość. Należą do nich konstrukcje (materiały) lepko-sprężyste. Gdy zależność pomię-
dzy naprężeniem a prędkością odkształceń jest liniowa, to obowiązuje zasada superpozycji względem
cykli naprężeń i odkształceń jako funkcji czasu. W odróżnieniu od procesów sprężystych są to jednak
procesy, w których obserwujemy dyssypację energii.
W kolejnych rozdziałach tej części podręcznika przedstawimy specyfikę zadań nieliniowych i niesprę-
żystych. Na początku omówimy konstrukcje prętowe wykonane z materiału liniowo-sprężystego wykazu-
jące jednak cechy nieliniowe (w tym konstrukcję luzową). Dalej przedstawimy problematykę prętów
wykonanych z materiałów fizycznie nieliniowych lub materiałów wykazujących cechy niesprężyste. Na
koniec omówimy problemy stateczności.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
266295722.003.png
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
2
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAŁU
LINIOWO-SPRĘŻYSTEGO
17.1. RAMA Z LUZAMI KĄTOWYMI NA PODPORACH
Omówimy efekty zastosowania podpory przegubowej z ograniczeniem kąta obrotu. Jest to tzw. pod-
pora luzowa . Model takiej podpory ilustruje rysunek 17.1 a .
Rys. 17.1
Jeśli kąt obrotu pręta jest zawarty w przedziale (
Φ Φ
,
+
), to mamy do czynienia ze zwykłą podporą
Φ =− − podpora przybiera cechy utwierdzenia *) .
Charakterystykę fizyczną takiej podpory przedstawiają rysunek 17.1 b oraz zależności (17.1):
Φ Φ=
+ lub
M
=−
0
,
<<
Φ Φ
+
,
M
0
,
Φ Φ
=
+
,
. )
M
0
,
= −
.
Zachowanie omawianej podpory jest wobec tego nieliniowe. Zastosowanie podpór luzowych zilustruje-
my na przykładzie ramy portalowej wykonanej z materiału liniowo-sprężystego. Całość rozważań odnie-
siemy do zakresu małych przemieszczeń. Obciążenie ramy stanowią dwie siły: P x = p x P 0 oraz P y = p y P 0 ,
przy czym p x oraz p y są bezwymiarowymi intensywnościami obciążeń, a P 0 oznacza pewną stałą o wy-
miarze siły. Zadanie objaśnia rys. 17.2 a .
*) Problem ten należy do mechaniki układów z więzami jednostronnymi.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
przegubową. Dla wartości granicznych
266295722.004.png
 
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
3
Rys. 17.2
Wszystkie możliwe warianty schematów statycznych ramy luzowej przedstawiają rys. 17.2 c , d , e , f ,
przy czym dodatnie zwroty momentów podporowych zaznaczono na rys. 17.2 b .
Przyjęcie podpór nieliniowych sprawia, że schemat statyczny ramy zmienia się
wskutek narastania obciążeń. Jest to zatem konstrukcja, która nie spełnia postulatów Clapeyron a; wykre-
sy obciążenie - przemieszczenie są liniami łamanymi, tzn. są nieliniowe. Racjonalne obranie wartości
kątów
+
Do obliczenia ramy zastosowano metodę sił. Przy wyznaczaniu przemieszczeń uwzględniono jedynie
wpływ zmiany krzywizn osi prętów. Przyjęto, że układ podstawowy jest ramą trójprzegubową
(rys. 17.3 a ), a wszystkie pomocnicze wykresy momentów zginających obrazują kolejne rysunku 17.3.
Punktem wyjścia są równania kanoniczne metody sił:
X
111
X
2 12
+
X
313
1
,
( a )
X
121 2 22
X
+
X
323
2
p
,
,
X
131 2 32
X
+
X
333
3
gdzie
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
i daje efekt „dostosowania” się schematu statycznego do intensywności i charakteru ob-
ciążenia. Wymienione cechy konstrukcji nie są bez znaczenia dla praktyki projektowej oraz analizy
wpływu luzów podporowych na zachowanie się konstrukcji.
+
= −
p
+
= −
+
= −
p
266295722.005.png
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
4
EA
11
=
2
3
l
(
3
+
n
),
EJ
12
=
EJ
13
=
1
6
ln,
EJ
22
=
EJ
33
=
1
6
l
(
14
+
n EJ
),
23
= −
1
6
l
(
12
+
n
),
1
6
EJ
1
p
=−
P l
0
2
(
32
n p
) ,
y
( b )
1
12
2
h
l
EJ
=−
P l n p
+
23
np
)
,
2
p
0
y
x
EJ
3
p
=−
1
12
P l n p
0
2
+
h
l
(
23
np
)
x
,
n
=
h
l
J
J
1
,
ik
=
ki .
h
Rys. 17.3
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
+
(
+
y
266295722.001.png
Część 4
17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SIĘ KONSTRUKCJI Z MATERIAŁU L-S
5
Kąty obrotu na podporach określają zależności
( c )
A
=−
(
2
+
X
1 21
+
X
2 22
+
X
3 23
),
=−
(
+
X
+
X
+
X
).
B
3
p
1 31
2 32
3 33
O sztywności ramy decydują wartości przemieszczeń
x i
y . Przemieszczenia te obliczymy ze wzorów:
( d )
x
=+ + +
=+ + +
x
0
X
1 1
x
X
2 2
x
X
3 3
x
,
, ,
y
y
0
X
1 1
y
X
2 2
y
X
3 3
y
gdzie
x
0
=
MM
EJ
x
0
ds
,
y
0
=
MM
EJ
y
0
ds
,
s
s
xi
=
MM
EJ
xi
ds
,
yi
=
MM
EJ
yi
ds i
;
=
12 3
, , .
s
s
Momenty M 0 w układzie podstawowym statycznie wyznaczalnym pochodzą od obciążenia zewnętrz-
nego, a M x i M y są wywołane odpowiednio siłami P x = 1 (rys. 17.3c) i P y = 1 (rys. 17.3 d ). Po wykonaniu
całkowania otrzymujemy:
1
6
h
l
2
1
12
n h
l
3
2
EJ
x
0
=
P l
0
(
1
+
n
)
pJ
x
;
x
1
=
0
;
J J
x
2
= −
x
=
l
(
23
) ;
( e )
1
6
1
6
1
12
EJ
=
P l
3
(
1
+
n p
) ;
EJ
= −
P l
2
(
32
n EJ
);
=
EJ
= −
l n
2
.
y
0
0
y
y
1
0
y
2
y
3
Wzory ( c ) i ( d ) są słuszne dla każdego z czterech schematów statycznych przedstawionych na rysun-
kach 17.2 c , d , e , f , pod warunkiem podstawienia odpowiednich wartości momentów nadliczbowych X 1 ,
X 2 , X 3 . Równania kanoniczne ( a ) po podstawieniu zależności ( b ) można doprowadzić do postaci:
43
+ ++= +
n X nX
)
1
2
nX
3
P l
0
(
3 2
n p
) ,
y
( f )
nX
1
++
(
14
nX
)
2
− +
(
12
nX
)
3
=
1
2
Plnp
0
[
y
− +
(
23
n h lp
)( / ) ,
x
]
nX
1
− +
(
12
nX
)
2
++
(
14
nX
)
3
=
1
2
Plnp
0
[
y
+ +
(
23
n h lp
)( / ) .
y
]
Dla poszczególnych schematów statycznych otrzymujemy następujące rozwiązania tego układu równań:
schemat I
XPlbpX
101
=
y
,
2
=
0
,
X
3
=
0
,
schemat II
XPl apbp X
10 2
=− ⋅ +⋅
(
x
2
y
),
= = ⋅ +⋅
2
0
,
XPl cpdp
302
(
x
2
y
),
( g )
schemat III
XPl apbp X Pl cpdp X
102
=
(
⋅ + ⋅
x
2
y
),
2 0 2
=
− ⋅ + ⋅
(
x
2
y
),
=
3
0
,
schemat IV
XPlbpX Pl cpdp XP
103
=
y
,
2 0 3
=
(
− ⋅ + ⋅
x
3
y
),
=
30
lc p d p
(
3
⋅ +⋅
x
3
y
).
gdzie
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
p
+
3
+
(
266295722.002.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin