09.pdf

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

Í Ï Î

DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

9.1. ZALEŻNOŚCI PODSTAWOWE

Przyjmiemy, że materiał pręta jest jednorodny i izotropowy. Jeśli ponadto założymy, że pręt jest pry-

zmatyczny, to słuszne są wzory podane przy omawianiu próby rozciągania i ściskania dla zakresu linio-

wo-sprężystego. Przyjęliśmy wówczas hipotezę płaskich przekrojów i założenie o pokrywaniu się głów-

nych osi naprężeń i odkształceń z układem osi przechodzących przez geometryczną oś pręta.

Zanim przejdziemy do wzorów na naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia, wprowadzimy zamiast

układu osi x 1 , x 2 , x 3 układ osi x , y, z . Współrzędne wektora przemieszczenia u 1 , u 2 , u 3 oznaczymy odpo-

wiednio u, v, w .

Rys. 9.1

Rozważymy pręt o długości l , poddany czystemu rozciąganiu (rys. 9.1). Oznacza to, że na długości

pręta wykres sił normalnych jest stały, a pozostałe siły wewnętrzne są równe zeru. Zgodnie z zasadą de

Saint-Venanta nie precyzujemy bliżej sposobu przyłożenia siły N i pominiemy analizę ewentualnych

zaburzeń na końcach pręta. Założymy ponadto, że oś pręta na lewym końcu jest unieruchomiona, a na

końcu prawym może się przesuwać tylko wzdłuż osi x . Geometrię odkształcenia ilustrują linie przerywa-

ne na rys. 9.1 a , d .

Stosownie do wzorów (8.1) siłę normalną definiujemy następująco:

def

( , ) , gdzie

11 . .)

x . Jeśli jednak obowiązuje

hipoteza płaskich przekrojów, a materiał pręta jest jednorodny, to ze związków fizycznych wynika rów-

nomierny rozkład naprężeń

x w obrębie przekroju A . Wobec tego

x można wyłączyć przed znak całki:

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

y z dA

Definicja ta jest słuszna dla dowolnego prawa rozkładu naprężeń normalnych

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

stąd

. .)

Pozostałe współrzędne tensora naprężenia są równe zeru, a stan naprężenia związany z osiami x , y , z ob-

razuje macierz:

x 00

000

Ponieważ osie x , y , z są głównymi osiami odkształceń, więc odkształcenia kątowe są równe zeru, a

odkształcenia liniowe oblicza się ze związków fizycznych (wzory (4.3)):

, .)

==− ⋅ =−

ν ε

. .)

Iloczyn EA nazywa się sztywnością rozciągania (ściskania) przekroju . Macierz e ma postać:

. .)

Przemieszczenia obliczymy ze związków geometrycznych. Z hipotezy płaskich przekrojów wniosku-

jemy, że współrzędna u 1 = u jest tylko funkcją x . Wobec tego mamy:

()

stąd:

uux

()

+ =

⋅ +

vvxyz

(, ,)

yCxz

(,)

= −

⋅ +

yCxz

(,),

w wxyz

(, ,)

dz C xy

(, )

= −

⋅ +

zCxy

(, ).

Stałe całkowania trzeba obliczyć z warunków brzegowych oraz przyjętej kinematyki odkształcenia. Naj-

bardziej interesują nas oczywiście przemieszczenia u ( x ). Ponieważ u (0) = 0 (lewy koniec pręta jest unie-

ruchomiony), więc C 1 = 0. Okazuje się, że stałe C 2 i C 3 też są równe zeru. Ostatecznie otrzymujemy:

uxyz ux

(, ,) ()

vxyz vy

(, ,) ()

= −

wxyz wz

(, ,) ()

= −

Pełne wyprowadzenie wzorów (9.7) zawiera podręcznik Piechnika [34].

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

Rys. 9.2

Wszystkie podane wyżej zależności są ścisłe tylko dla pręta pryzmatycznego. W przypadku prętów o

zmiennym przekroju nie są spełnione warunki brzegowe dla naprężeń. Łatwo się o tym przekonać, ukła-

dając równania równowagi dla elementu położonego przy krawędzi przekroju (rys. 9.2 b ). Warunki na

powierzchni ( p i =

ji n j ) wymagają, by w pobliżu krawędzi pręta występowały również naprężenia stycz-

z (rys. 9.2 c ). Przy łagodnej zmianie przekroju wartości te są jednak pomijalnie małe, a

wykres naprężeń normalnych

xz i normalne

x jest prawie równomierny (por. rys. 9.2 c ).

Przejdziemy obecnie do zagadnień energetycznych. Obliczymy najpierw wartość całki objętościowej z

iloczynu tensorów naprężenia i odkształcenia przy działaniu siły normalnej. Jeśli przyjmiemy, że w każ-

dym punkcie dowolnego przekroju pręta występują tylko naprężenia normalne

11 =

x , to całkę tę moż-

na zapisać następująco:

σ ε

ij ij

Całkę względem objętości V zamienimy na całkę iterowaną:

σ ε

ij ij

σ ε

dA ds

gdzie s jest długością pręta (może to być również pręt słabo zakrzywiony),

a ds

x w obrębie danego przekroju jest stałe, co

pozwala wyłączyć je przed całkę względem A . Zatem:

σ ε

ij ij

dA ds

λ σ

dA ds

x , i oznacza wydłużenie względne osi pręta.

Całka w nawiasie, stosownie do definicji (9.1), jest siłą normalną N . Należy podkreślić, że definicja ta jest

słuszna dla zupełnie dowolnego rozkładu naprężeń normalnych

x ( s, y, z ). Wobec tego

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

σ ε

elementem łuku mierzonym na osi pręta.

Gdy obowiązuje prawo płaskich przekrojów, to odkształcenie

gdzie

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

σ ε

ij ij

N s s ds

()() . .)

Aby powyższe równanie było prawdziwe, wystarcza tylko, że jest spełniona hipoteza płaskich prze-

krojów. Materiał pręta może być nieliniowo-sprężysty lub niesprężysty i w obrębie przekroju niejedno-

rodny. Wielkości N i

σ ε

ij ij

N ds

. .)

Przy działaniu siły normalnej na jednorodny, izotropowy pręt sprężysty odkształcenie

x =

możemy

wyrazić przez siłę N oraz sztywność EA według wzoru (9.4). Wówczas

lub

EA ds

Zależność (9.8) służy również do obliczenia pracy rzeczywistej siły N na wirtualnym wydłużeniu

(por. prawa strona wzoru (3.2)):

σ ε

ij ij

N ds

. .)

Podobnie uzyskujemy wyrażenie na pracę wirtualnej siły N na rzeczywistym odkształceniu

x =

σ ε

ij ij

N ds

. .)

9.2. NAGŁE ZMIANY PRZEKROJU. KONCENTRACJA NAPRĘŻEŃ

W przypadku nagłych zmian przekroju pręta przyjęcie równomiernego rozkładu naprężeń normalnych

x jest już niewłaściwe. W miejscach zmian przekroju składowe naprężeń stycznych i normalnych w

pozostałych kierunkach są znaczne. Na krawędziach otworów i wcięć powstają bardzo duże naprężenia

normalne

Rys. 9.3

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

są w ogólności zmienne na długości pręta.

Obliczymy teraz energię sprężystą U , zmagazynowaną wewnątrz pręta. Stosownie do wzoru (6.8) oraz

na podstawie wzoru (9.8) otrzymujemy:

x (rys. 9.3), wielokrotnie większe od naprężeń średnich, obliczonych dla równomiernego roz-

kładu. Obliczenia dla takich prętów należy przeprowadzać na gruncie teorii sprężystości i plastyczności.

Wpływ promienia krzywizny zaokrąglenia krawędzi w miejscu zmiany przekroju ilustruje rys. 9.3 b c .

Część 2

9. DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ

x dążą do nieskończoności. Warto o tym pamiętać podczas

projektowania konstrukcji. Zmniejszenie naprężeń uzyskujemy nawet wówczas, gdy „osłabimy” przekrój

przez nawiercenie otworów na krawędzi zmiany przekroju (por. rys. 9.3 d ).

Rys. 9.4

Jeżeli materiał pręta jest kruchy, to po osiągnięciu przez naprężenia normalne wytrzymałości na roz-

ciąganie następuje pęknięcie rozdzielcze i nagłe zniszczenie konstrukcji. Jeżeli materiał jest ciągliwy, to

obszar koncentracji naprężeń stopniowo uplastycznia się w miarę wzrostu siły (por. rys. 9.4). Widzimy

więc, że dla materiału ciągliwego osiągnięcie przez naprężenia granicy plastyczności nie oznacza jeszcze

zniszczenia. Jako zniszczenie przyjmuje się osiągnięcie tzw. nośności granicznej ( N = N P ), kiedy nastąpi

uplastycznienie całego przekroju osłabionego otworem lub wcięciem. Trzeba jednak pamiętać, że pod

wpływem obciążeń dynamicznych materiał ciągliwy zwiększa swą kruchość. W tych przypadkach nie-

uwzględnienie koncentracji naprężeń może prowadzić do niespodziewanego zniszczenia.

Na zakończenie możemy sformułować następujące uwagi:

−

w miejscach nagłych zmian przekroju występuje spiętrzenie naprężeń, które jest groźne dla materia-

łów kruchych lub obciążonych dynamicznie materiałów ciągliwych,

−

gdy materiał jest ciągliwy, to przy statycznym obciążeniu następuje wyrównywanie naprężeń,

a zniszczeniu towarzyszą widoczne deformacje,

−

przekroje osłabione wcięciami (otworami) mają mniejszą zdolność do przenoszenia obciążeń, a o

nośności pręta decyduje najmniejszy przekrój,

−

duże złagodzenie efektu koncentracji uzyskuje się wówczas, gdy zmiana przekroju przebiega

w sposób płynny, a zaokrąglenia mają możliwie duży promień krzywizny.

Wnioski dotyczące gwałtownych zmian przekroju mają charakter ogólny i obowiązują również pod-

czas działania innych sił wewnętrznych.

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.

Alma Mater

Gdy R = 0 (krawędź ostra), to naprężenia

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: