02.pdf

(306 KB) Pobierz
Microsoft Word - 02.doc
Część 1
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
1
STAN ODKSZTAŁCENIA
2.
Í Ï Î
2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
Rozważymy ciało odkształcalne wypełnione szczelnie materią (rys. 2.1). Pod wpływem czynników
zewnętrznych (sił powierzchniowych, sił masowych, zmiany temperatury itp.) ciało to z konfiguracji
pierwotnej (przed odkształceniem) przejdzie do konfiguracji aktualnej (po odkształceniu).
Rys. 2.1
Przypiszemy dowolnemu punktowi materialnemu A ciała nieodkształconego współrzędne x 1 , x 2 , x 3 .
Ten sam punkt ciała po odkształceniu przejdzie w położenie a o współrzędnych
1 ,
2 ,
3 . Wektor
x x x (2.1)
nazywamy wektorem przemieszczenia . Jego współrzędne mierzymy w jednostkach długości (np. w me-
trach). Ze wzoru (2.1) wynika, że za wektor u możemy uważać
u
=−
(
111 2 22 3 33
)
e
+−
(
)
+−
(
)
e
:
wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego , zajmującego przed odkształceniem
położenie A ( x 1 , x 2 , x 3 ), lub
−
wektor wyrażający przemieszczenie punktu materialnego, który po odkształceniu ciała zajmuje w
przestrzeni położenie pokrywające się z punktem a (
3 ).
W pierwszym przypadku mówimy, że stosujemy opis materialny (tzw. opis Lagrange'a ), w drugim
1 ,
2 ,
opis przestrzenny (tzw. opis Eulera ). W obu opisach trzeba znać funkcje jednoznacznie wiążące ze sobą
współrzędne
i oraz x i
:
i
=
i xx x i
(, , ),
12 3
=
12 3 . )
lub
xx
i
=
i
(, , ),
ξ ξ ξ
12 3
i
=
12 3 (2.3)
Korzystając ze wzorów (2.1), (2.2) i (2.3), możemy napisać:
−
we współrzędnych materialnych
uxx x
i
(, , ) (, , ) ,
12 3
=
i
xx x x
12 3
i
(2.4)
we współrzędnych przestrzennych
. . )
Współrzędne wektora przemieszczenia u 1 , u 2 , u 3 są funkcjami położenia (współrzędnych x i lub
u
i
(, , )
ξ ξ ξ
12 3
=−
i
x
i
(, , )
ξ ξ ξ
12 3
i ).
Zatem wektory u tworzą pole wektorowe przemieszczeń.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
e
,,,
,,.
266295734.004.png
Część 1
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
2
2.2. TENSOR ODKSZTAŁCENIA. ZWIĄZKI KINEMATYCZNE
Rozpatrzymy przemieszczenia dwóch dowolnie wybranych punktów A i B , które w konfiguracji koń-
cowej przyjmą położenia a i b . Jeżeli długość odcinka AB jest równa długości odcinka ab dla dowolnej
pary punktów ciała, to ciało przemieszcza się jako bryła sztywna, nieodkształcalna. Odkształcenie ciała
charakteryzuje więc zmiana odległości między poszczególnymi punktami ciała.
Przyjmijmy zatem, że odległość pomiędzy dwoma punktami materialnymi w konfiguracji
nieodkształconej jest nieskończenie mała i wynosi ds 0 . Wskutek odkształcenia ciała odległość ta zmieni
się i wynosi ds . Miarą odkształcenia w danym punkcie jest zatem różnica tych odległości lub
co jest
wygodniejsze
różnica kwadratów tych odległości. Rozważmy przykładowo opis materialny pamiętając,
że
k
=
k xx x
12 3 Wówczas
ds ds
2
=
d x x x d x x x
k
(, ) (, )
123
,
k
123
,
dx dx
r r
=
=
∂ ξ
∂
k
i
dx
∂ ξ
k
j
dx
δ δ
dx dx
=
∂ ξ
∂
k
i
∂ ξ
k
j
dx dx
.
i
j
ir jr i j
ij
i j
x
x
x
x
Stosownie do wzoru (2.3)
k
(, , ) (, , ) .
xx x u xx x x
12 3
=
k
12 3
+
k
Mamy zatem
∂ ξ
∂
k
i
dx
=
u
x
k
i
dx
+
dx
oraz
∂ ξ
k
j
dx
=
u
x
k
j
dx
+
dx
.
i
i
ki i
j
j
kj j
x
x
Wobec tego
ds ds
2
2
= +
u
x
k
i
ki
u
x
k
j
+
j
dx dx
i j
ij i j
dx dx
=
2
ij G
dx dx
.
ij G to tensor odkształcenia Greena . Ostateczny wzór opisujący ten tensor otrzymujemy po
wykonaniu mnożenia obu nawiasów, uwzględnieniu własności delty Kroneckera jako operatora zamiany
wskaźnika oraz redukcji wyrazów podobnych:
Wielkość
( a )
ij G
=
j G
=
1
2
u
x
i
j
+
u
x
j
+
u
x
k
i
u
x
k
j
.
i
Postępując podobnie w przypadku opisu przestrzennego otrzymujemy tensor odkształcenia Alman-
siego :
( b )
ij A
==
j A
1
2
∂
∂ ξ
u
i
j
+ −
u
j
uu
k
i
k
j
.
∂ ξ
∂ ξ
∂ ξ
i
Z postaci wzorów ( a ) i ( b ) wynika, że oba tensory odkształcenia są symetryczne.
Rys. 2.2
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
(, , .
2
i j
266295734.005.png
Część 1
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
3
Pewnego komentarza wymaga interpretacja kinematyczna odkształceń w obu opisach. Przypomnimy
najpierw, jak definiowaliśmy stan naprężenia. Elementarną kostkę naprężeń wycinaliśmy myślowo po
odkształceniu ciała. Stosowaliśmy więc opis przestrzenny (przed odkształceniem kostka nie była
prostopadłościanem). Opis ten ma zastosowanie w mechanice płynów. W teorii konstrukcji bardziej
przydatny jest jednak opis materialny , gdyż warunki podparcia ciała (warunki brzegowe) są znane
właśnie w konfiguracji nieodkształconej. W opisie tym w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem)
elementarna kostka jest prostopadłościanem. Ilustracją powyższych wywodów jest rys. 2.2, na którym
przedstawiono sens obu opisów dla elementu płaskiego we współrzędnych prostokątnych
1 ,
2 oraz x 1 ,
materialny).
Wyprowadzone formuły ( a ) i ( b ) opisujące tensory Greena i Almansiego odnoszą się do odkształceń
dowolnie dużych, czyli tzw. odkształceń skończonych, będących nieliniowymi funkcjami gradientów
przemieszczeń , czyli pochodnych
opis przestrzenny rys. 2.2 b
j . Nieliniowość ta jest źródłem bardzo dużych trudno-
ści obliczeniowych. Odkształcenia skończone wykazują podatne materiały gumopodobne (np. guma, nie-
które tworzywa sztuczne, organiczne tkanki miękkie). W materiałach budowlanych, nie licząc gumowych
konstrukcji pneumatycznych i pewnych przypadków konstrukcji cięgnowych, odkształcenia są bardzo
małe i stosowanie skończonych miar deformacji nie jest konieczne *) . Wówczas iloczyny gradientów
przemieszczeń, występujące we wzorach ( a ) i ( b ), jako małe wielkości wyższego rzędu można pominąć.
Przyjęcie, że gradienty przemieszczeń są małe, nie usuwa niestety kłopotów związanych z nieliniowością.
Może się bowiem zdarzyć, że badany układ wykazuje duże przemieszczenia (np. duże ugięcia stalowej
żyletki), mimo że odkształcenia materiału są małe. Wtedy zależności między obciążeniem i przemiesz-
czeniem są nieliniowe nadal nastręczają wielu trudności obliczeniowych. Polegają one na tym, że w rów-
naniach równowagi w dalszym ciągu muszą wystąpić człony zawierające funkcje przemieszczeń, co od-
powiada bardzo złożonej teorii kinematycznie nieliniowej . Teoria ta w ogólności wymaga wprowadzenia
nowych definicji tensora naprężenia (tensory Pioli-Kirchhoffa ). Wykracza to poza klasyczny kurs mecha-
niki ciał odkształcalnych. Dlatego w dalszym ciągu założymy, że przemieszczenia w porównaniu z wy-
miarami ciała są bardzo małe, tzn.
u i /
x j lub
u i /
x i . Wtedy różnice pomiędzy opisem przestrzennym i materialnym
znikają, a definicja tensora odkształcenia upraszcza się do postaci:
i
ij C
== =
1
2
u
x
i
j
+
u
x
j
=
1
2 (
uu
+
, . )
ij
ji
ij
ji
i
Wzór (2.6) definiuje tzw. tensor małych odkształceń Cauchy’ego . Tensor ten
podobnie jak tensory
jest symetryczny , a wzór (2.6) przedstawia równania geometryczne (kinematycz-
ne) teorii małych odkształceń. Tensor odkształcenia e = [
ij ] tworzy pole tensorowe, ponieważ jego
współrzędne są funkcjami położenia.
Zwróćmy uwagę na to, że zachodzi tożsamość:
( c ) u
ij
,
1
2
(
u
ij
+ ) +
u
ji
,
1
2
(
u
ij
,
u
ji
) =
ε ω
ij
ij
ij (dla uproszczenia zapisu pomijamy dalej
indeks C ) jest symetryczną częścią gradientu przemieszczeń, natomiast symbol
ij jest antysymetryczną
częścią gradientu przemieszczeń i nazywa się tensorem obrotu :
ω
1
2 (
ij
=−
ji
=
uu
i j
, ) . )
.
Tensor obrotu
ij jest zatem skośnie symetryczny . Jego nazwa pochodzi stąd, że ciało nieodkształcone
0) może poruszać się jako bryła sztywna wykonując jedynie obrót.
Pokażemy teraz, że współrzędne
ij
ij rzeczywiście tworzą tensor. Zbadamy najpierw, jak wyrażają się
gradienty przemieszczeń u k’,p’ w układzie obróconym
x 1' , x 2' , x 3' przez gradienty przemieszczeń u i,j w układzie pierwotnym x 1 , x 2 , x 3 :
*) Założenie o małych wartościach pochodnych przemieszczeń jest fizycznie usprawiedliwione, gdyż przykła-
dowo wydłużenie pręta stalowego zamontowanego w konstrukcji sięga ułamka procenta.
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
x 2 (rys. 2.2 a
).
,
Greena i Almansiego
,
,
+
.
Widzimy zatem, że tensor małych odkształceń Cauchy’ego
,
j i
(
266295734.006.png
 
Część 1
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
4
( d ) u
kp
', '
=
u
x
k
p
'
'
=
u
x
k
j
'
x
x
j
.
p
'
Współrzędne u k ' transformują się jak współrzędne wektora (tzn. uua
k
'
=
i ik
'
), zatem
u
x
u
x
( e )
k
j
'
=
i
j
a
ik
'
=
u a
i j ik
,
' .
Podobnie transformują się współrzędne punktów w obu układach: xxa
j
= ′
p jp
. Wobec tego
( f )
x
x
j
=
a
jp
' .
p
'
Po podstawieniu równań ( e ) i ( f ) do zależności ( d ) otrzymujemy
:
( g ) u
k p
', '
=
u a a
i j ik jp
,
'
'
.
Widzimy więc, że gradienty przemieszczeń są tensorami drugiego rzędu, bo transformują się tak jak
tensor. Z równania ( g ) wynika również, że
( h ) u
p k
', '
=
u a a
j i jp ik
,
'
'
.
Stosownie do równań (2.6)
kp
''
=
1
2
(
u
k p
,'
+
u
pk
,' .
)
Podstawienie zależności ( g ) i ( h ) prowadzi do wyniku
( i )
k p
' '
=
1
2
(
u u aa
i j
,
+
j i ik jp
,
)
'
'
=
ij ik jp
aa
'
' .
ij rzeczywiście tworzą tensor.
Z symetrii tensora odkształcenia wynika, że ma on 6 niezależnych współrzędnych. Dodajmy, że
wszystkie współrzędne tensora odkształcenia
Zależność ( i ) dowodzi, że składowe stanu odkształcenia
11
12
13
e
=
21
22
23
.)
31
32
33
są bezwymiarowe . W ramach kinematycznie liniowej teorii małych odkształceń współrzędne te mają kla-
rowną interpretację geometryczną. Wykażemy, że współrzędne równo- wskaźnikowe są odkształceniami
liniowymi wzdłuż odpowiednich osi, a współrzędne różno- wskaźnikowe są odkształceniami kątowymi
mierzonymi w płaszczyznach określonych indeksami współrzędnych.
Aby się o tym przekonać, ograniczymy się do analizy płaskiej deformacji i zastosujemy opis material-
ny. Rozważmy w konfiguracji pierwotnej dwa elementarne prostopadłe do siebie odcinki BC i AB o ma-
jące odpowiednio długości dx 1 i dx 2 (por. rys. 2.3). Po odkształceniu punkty materialne A , B , i C prze-
mieszczą się i zajmą odpowiednio położenia a , b , i c . Wobec tego odcinki BC i AB zmienią swe pierwot-
ne długości i nachylenia w stosunku do układu współrzędnych. Na podstawie rys. 2.3 określimy najpierw
względne przyrosty długości boków, czyli tak zwane odkształcenia liniowe . Odkształcenia te wyrażają
się stosunkiem przyrostu długości danego boku do jego pierwotnej długości. Obliczymy na przykład od-
kształcenia liniowe boku równoległego do osi X 1 pamiętając, że odkształcenia są małe (tzn.
sin
tg
α ≈ α ,
cos
α ≈
1):
( j ) ∆
BC
BC
=
bc BC
BC
=
11
dx
+
u
x
1
1
dx
−
dx
u
x
1
1
=
u
=
.
1
1
1
11
11
dx
cos
1
Podobnie można wykazać, że
22
=
u , oraz
2 2
analogicznie w przypadku trójwymiarowym
że
33
=
u , .
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
α ≈
,
3 3
266295734.001.png
Część 1
2. STAN ODKSZTAŁCENIA
5
Wyznaczymy jeszcze całkowity kąt odkształcenia
=
+
(
u 1,1 << 1 oraz u 2,2 << 1
):
u
x
2
1
dx
1
u
x
1
2
dx
2
u
x
u
x
(
k
) α β
+≈
tg
+ =
tg
+
+ =+=
2
1
uu
21 12
,
2
12
.
dx
(
1
+
u
)
dx
(
1
+
u
)
1
11
2
2 2
,
Uogólniając wynik wzoru ( k ) na pozostałe płaszczyzny układu współrzędnych wnioskujemy, że od-
kształcenia różno-wskaźnikowe są równe połowie kąta odkształcenia
danego elementu.
Rys. 2.3
Odkształcenia liniowe i kątowe nie dają pełnej informacji o deformacji. Do kompletu brakuje bowiem
kąt obrotu dwusiecznej zawarty między bokami badanego elementu (por. rys. 2.3):
( l )
β α
1
2
u
x
1
2
u
x
2
1
=
1
2
(
uu
=
.
12
,
21
,
12
2
Wzór ( l ) potwierdza zatem, że współrzędna tensora w odpowiada kątowi obrotu przekątnej czworoboku
utworzonego z odcinków elementarnych. Podobny wniosek dotyczący współrzędnych tensora obrotów
można sformułować dla pozostałych płaszczyzn układu.
Na koniec powstaje pytanie, dlaczego jako miarę odkształceń kątowych przyjmuje się połowę a nie
całkowity kąt odkształcenia
. Otóż okazuje się, że wielkości zawarte w macierzy
11
12
13
21
22
23
.)
31
32
33
nie transformują się zgodnie z definicją tensora (1.16). Między odkształceniami kątowymi
ε ε
12 23 31
,
i
a
całkowitymi kątami odkształcenia
12 23
,
i
31
występują zależności:
12
=
1
2
12
,
23
=
1
2
23
,
13
=
1
2
13
.)
W większości starszych podręczników stan odkształcenia opisuje się za pomocą macierzy (2.9), przy
czym najczęściej wprowadza się sposób oznaczania składowych analogiczny do tradycyjnego, stosowa-
nego w teorii stanu naprężenia, tzn.:
31 .
Wskaźnikowy zapis tensorowy stosują Nowacki [32], Derski [8], tradycyjny zaś Jastrzębski , Mutermilch i
Orłowski [22]. Dodać należy, że obecnie często używa się obu zapisów równolegle (por. Piechnik [34] i
Życzkowski [56]).
x =
11 ,
y =
22 ,
z =
33 ,
xy = 2
12,
yz = 2
23 ,
zx = 2
Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r.
Alma Mater
2
1
,
,
)
266295734.002.png 266295734.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin