27 Optyka geometryczna i falowa.pdf

(76 KB) Pobierz
27 Optyka geometryczna i falowa
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 27
27. Optyka geometryczna i falowa
27.1 Wst ę p
27.1.1 Odbicie i załamanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomo ś ci:
·
współczynnik załamania; bezwzgl ę dny i wzgl ę dny
n = c / v , n 2,1 = v 1 / v 2
(27.1)
prawo odbicia i załamania: promie ń odbity i załamany le Ŝą w jednej płaszczy ź nie
utworzonej przez promie ń padaj ą cy i prostopadł ą do powierzchni odbijaj ą cej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. W płaszczy ź nie rysunku poni Ŝ ej.
·
dla odbicia
q 1 =
q 1 ’
sin
q
·
dla załamania
1
=
n
sin
q
2
,
2
promień padający
normalna
q
1
q
1 ’
promień odbity
czoło fali płaskiej
q
2
promień załamany
Prawa te mo Ŝ na wyprowadzi ć z równa ń Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki mo Ŝ na wyprowadzi ć w oparciu o prost ą (ale wa Ŝ n ą ) zasad ę
odkryt ą w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2 Zasada Fermata
Zasad ę t ę formułujemy w nast ę puj ą cy sposób:
Promie ń ś wietlny biegn ą cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog ę , na której
przebycie trzeba zu Ŝ y ć w porównaniu z innymi, s ą siednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu .
27-1
·
19147094.030.png 19147094.031.png 19147094.032.png 19147094.033.png 19147094.001.png 19147094.002.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Np. najkrótszy czas mi ę dzy dwoma punktami w pró Ŝ ni - linia prosta.
Z tej zasady mo Ŝ na wyprowadzi ć prawa odbicia i załamania.
Na rysunku s ą przedstawione dwa punkty A i B oraz ł ą cz ą cy je promie ń APB.
A
B
q
q
1 ’
q
1 ’
a
1
b
q
1
x
d-x
P
d
Całkowita długo ść drogi promienia wynosi
l
=
a
2
+
x
2
+
b
2
+
(
d
-
x
)
2
gdzie x jest zmienn ą zale Ŝ n ą od poło Ŝ enia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasad ą Fermata punkt P (zmienn ą x) wybieramy tak, Ŝ eby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza
to warunek
d
l
=
0
d
x
czyli
d
l
=
1
(
a
2
+
x
2
)
-
2
2
x
+
1
[
b
2
+
(
d
-
x
)
2
]
-
1
/
2
2
d
-
x
)(
-
1
=
0
d
x
2
2
lub przekształcaj ą c
x
=
d
-
x
a
2
+
x
2
b
2
+
(
d
-
x
)
2
Porównuj ą c z rysunkiem widzimy, Ŝ e jest to równowa Ŝ ne zapisowi
sin q = sin q ’
czyli
q = q ’
co jest prawem odbicia.
Podobnie post ę pujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuacj ę
przedstawion ą na rysunku poni Ŝ ej.
27-2
1
/
19147094.003.png 19147094.004.png 19147094.005.png 19147094.006.png 19147094.007.png 19147094.008.png 19147094.009.png 19147094.010.png 19147094.011.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
A
a
q 1
l 1
q 1
n 1
x
d-x
v 1
n 2
P
l 2
v 2
q 2
b
q 2
B
d
Czas t , przelotu ś wiatła, z A do B dany jest wzorem
t
=
l
1
+
l
2
v
v
1
2
Uwzgl ę dniaj ą c n = c / v mo Ŝ emy przepisa ć to równanie w postaci
t
=
n
1
l
1
+
n
2
l
2
=
l
c
c
Wielko ść l = n 1 l 1 + n 2 l 2 nazywamy drog ą optyczn ą promienia (nie myli ć z drog ą geome-
tryczn ą równ ą l 1 + l 2 ). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l była minimalna
czyli, aby d l /d x = 0. Poniewa Ŝ droga optyczna wynosi
l
=
n
l
+
n
l
=
n
a
2
+
x
2
+
n
b
2
+
(
d
-
x
)
2
1
1
2
2
1
2
otrzymujemy
d
l
=
1
n
(
a
2
+
x
2
)
-
1
/
2
2
x
+
1
n
[
b
2
+
(
d
-
x
)
2
]
-
1
/
2
2
d
-
x
)(
-
1
=
0
d
x
2
1
2
2
lub po przekształceniu
n
x
=
n
d
-
x
1
2
2
2
2
2
a
+
x
b
+
(
d
-
x
)
Porównuj ą c to z rysunkiem otrzymujemy
n 1 sinq 1 = n 2 sinq 2
27-3
19147094.012.png 19147094.013.png 19147094.014.png 19147094.015.png 19147094.016.png 19147094.017.png 19147094.018.png 19147094.019.png 19147094.020.png 19147094.021.png 19147094.022.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był minimalny .
27.2 Warunki stosowalno ś ci optyki geometrycznej
Omawiaj ą c odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwali ś my si ę poj ę ciem pro-
mienia . Ta wygodna konstrukcja my ś lowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po-
mocna przy opisie ugi ę cia ś wiatła (fal) gdy Ŝ niemo Ŝ liwe jest wydzielenie pojedynczego
promienia z padaj ą cej fali płaskiej. ś eby to sprawdzi ć prze ś led ź my zachowanie fali pła-
skiej padaj ą cej na szczeliny o ró Ŝ nej szeroko ś ci. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poni Ŝ ej dla szczelin o szeroko ś ci a = 5
l
, a = 3
l
oraz a =
l
.
Widzimy, Ŝ e ugi ę cie staje si ę coraz bardziej wyra ź ne gdy a /
l
®
0.
a=5
l
a=3
l
a=
l
To ugi ę cie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal . Dzi ę ki temu mo Ŝ emy np.
słysze ć fale głosowe znajduj ą c si ę za załomem muru.
Ugi ę cie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
27-4
19147094.023.png 19147094.024.png 19147094.025.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27.2.1 Zasada Huyghensa
W tej teorii ś wiatła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada si ę ,
Ŝ e ś wiatło jest fal ą ( a nie strumieniem cz ą stek). Nie wspomina ona o elektromagne-
tycznym charakterze ś wiatła ani nie wyja ś nia, Ŝ e ś wiatło jest fal ą poprzeczn ą . Teoria
Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasad ą Huyghensa), która
pozwala przewidzie ć gdzie znajdzie si ę czoło fali w dowolnej chwili w przyszło ś ci, je-
Ŝ eli znamy jej obecne poło Ŝ enie. Zasada ta głosi, Ŝ e wszystkie punkty czoła fali mo Ŝ na
uwa Ŝ a ć za ź ródła nowych fal kulistych. Poło Ŝ enie czoła fali po czasie t b ę dzie dane
przez powierzchni ę styczn ą do tych fal kulistych . Poni Ŝ ej przedstawiony jest na rysunku
elementarny przykład obrazuj ą cy, za pomoc ą elementarnych fal Huyghensa, rozchodze-
nie si ę fali płaskiej w pró Ŝ ni.
ct
czoło fali
w chwili
t = 0
nowe połoŜenie
czoła fali
Dane jest czoło fali płaskiej w pró Ŝ ni. Zgodnie z zasad ą Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako ź ródła fal kulistych. Po czasie t
promienie tych kul b ę d ą równe ct , gdzie c jest pr ę dko ś ci ą ś wiatła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie t jest now ą powierzchni ą falow ą . Oczywi ś cie powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzn ą rozchodz ą c ą si ę z pr ę dko ś ci ą c .
Uwaga: Mo Ŝ na by oczekiwa ć ( w oparciu o t ę zasad ę ), Ŝ e wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa mo Ŝ e si ę rozchodzi ć zarówno do tyłu jak i do przodu. T ę „trudno ść ” w modelu
eliminuje si ę poprzez zało Ŝ enie, Ŝ e nat ęŜ enie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia si ę
w sposób ci ą gły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje si ę zastosowa ć jako ś ciowo do wszelkich zjawisk falowych .
Mo Ŝ na przedstawi ć za pomoc ą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyja ś nienia ugi ę cia fal na szczelinie (przeszkodzie).
27-5
19147094.026.png 19147094.027.png 19147094.028.png 19147094.029.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin