27 Optyka geometryczna i falowa.pdf
(
76 KB
)
Pobierz
27 Optyka geometryczna i falowa
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 27
27.
Optyka geometryczna i falowa
27.1
Wst
ę
p
27.1.1
Odbicie i załamanie
Przypomnienie kilku podstawowych wiadomo
ś
ci:
·
współczynnik załamania; bezwzgl
ę
dny i wzgl
ę
dny
n
=
c
/
v
,
n
2,1
=
v
1
/
v
2
(27.1)
prawo odbicia i załamania: promie
ń
odbity i załamany le
Ŝą
w jednej płaszczy
ź
nie
utworzonej przez promie
ń
padaj
ą
cy i prostopadł
ą
do powierzchni odbijaj
ą
cej w punkcie
padania (normalna padania) tzn. W płaszczy
ź
nie rysunku poni
Ŝ
ej.
·
dla odbicia
q
1
=
q
1
’
sin
q
·
dla załamania
1
=
n
sin
q
2
,
2
promień padający
normalna
q
1
q
1
’
promień odbity
czoło fali płaskiej
q
2
promień załamany
Prawa te mo
Ŝ
na wyprowadzi
ć
z równa
ń
Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-
ne. Jednak te prawa optyki mo
Ŝ
na wyprowadzi
ć
w oparciu o prost
ą
(ale wa
Ŝ
n
ą
) zasad
ę
odkryt
ą
w 1650 r przez Pierre Fermata.
27.1.2
Zasada Fermata
Zasad
ę
t
ę
formułujemy w nast
ę
puj
ą
cy sposób:
Promie
ń
ś
wietlny biegn
ą
cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog
ę
, na której
przebycie trzeba zu
Ŝ
y
ć
w porównaniu z innymi, s
ą
siednimi drogami, minimum albo
maksimum czasu
.
27-1
·
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Np. najkrótszy czas mi
ę
dzy dwoma punktami w pró
Ŝ
ni - linia prosta.
Z tej zasady mo
Ŝ
na wyprowadzi
ć
prawa odbicia i załamania.
Na rysunku s
ą
przedstawione dwa punkty A i B oraz ł
ą
cz
ą
cy je promie
ń
APB.
A
B
q
q
1
’
q
1
’
a
1
b
q
1
x
d-x
P
d
Całkowita długo
ść
drogi promienia wynosi
l
=
a
2
+
x
2
+
b
2
+
(
d
-
x
)
2
gdzie
x
jest zmienn
ą
zale
Ŝ
n
ą
od poło
Ŝ
enia punktu P (punkt odbicia promienia).
Zgodnie z zasad
ą
Fermata punkt P (zmienn
ą
x) wybieramy tak,
Ŝ
eby czas przebycia
drogi APB był minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie oznacza
to warunek
d
l
=
0
d
x
czyli
d
l
=
1
(
a
2
+
x
2
)
-
2
2
x
+
1
[
b
2
+
(
d
-
x
)
2
]
-
1
/
2
2
d
-
x
)(
-
1
=
0
d
x
2
2
lub przekształcaj
ą
c
x
=
d
-
x
a
2
+
x
2
b
2
+
(
d
-
x
)
2
Porównuj
ą
c z rysunkiem widzimy,
Ŝ
e jest to równowa
Ŝ
ne zapisowi
sin
q
= sin
q
’
czyli
q
=
q
’
co jest prawem odbicia.
Podobnie post
ę
pujemy w celu wyprowadzenia prawa załamania. Rozpatrzmy sytuacj
ę
przedstawion
ą
na rysunku poni
Ŝ
ej.
27-2
1
/
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
A
a
q
1
l
1
q
1
n
1
x
d-x
v
1
n
2
P
l
2
v
2
q
2
b
q
2
B
d
Czas
t
, przelotu
ś
wiatła, z A do B dany jest wzorem
t
=
l
1
+
l
2
v
v
1
2
Uwzgl
ę
dniaj
ą
c
n
=
c
/
v
mo
Ŝ
emy przepisa
ć
to równanie w postaci
t
=
n
1
l
1
+
n
2
l
2
=
l
c
c
Wielko
ść
l
=
n
1
l
1
+
n
2
l
2
nazywamy
drog
ą
optyczn
ą
promienia
(nie myli
ć
z drog
ą
geome-
tryczn
ą
równ
ą
l
1
+
l
2
). Ponownie dobieramy
x
(punkt P), aby droga
l
była minimalna
czyli, aby d
l
/d
x
= 0. Poniewa
Ŝ
droga optyczna wynosi
l
=
n
l
+
n
l
=
n
a
2
+
x
2
+
n
b
2
+
(
d
-
x
)
2
1
1
2
2
1
2
otrzymujemy
d
l
=
1
n
(
a
2
+
x
2
)
-
1
/
2
2
x
+
1
n
[
b
2
+
(
d
-
x
)
2
]
-
1
/
2
2
d
-
x
)(
-
1
=
0
d
x
2
1
2
2
lub po przekształceniu
n
x
=
n
d
-
x
1
2
2
2
2
2
a
+
x
b
+
(
d
-
x
)
Porównuj
ą
c to z rysunkiem otrzymujemy
n
1
sinq
1
=
n
2
sinq
2
27-3
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
co jest prawem załamania.
W omawianych obu przypadkach czas (i droga) był
minimalny
.
27.2
Warunki stosowalno
ś
ci optyki geometrycznej
Omawiaj
ą
c odbicie i załamanie fal (płaskich) posługiwali
ś
my si
ę
poj
ę
ciem
pro-
mienia
.
Ta wygodna konstrukcja my
ś
lowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest po-
mocna przy opisie
ugi
ę
cia
ś
wiatła
(fal)
gdy
Ŝ
niemo
Ŝ
liwe jest wydzielenie pojedynczego
promienia z padaj
ą
cej fali płaskiej.
ś
eby to sprawdzi
ć
prze
ś
led
ź
my zachowanie fali pła-
skiej padaj
ą
cej na szczeliny o ró
Ŝ
nej szeroko
ś
ci. To zachowanie jest przedstawione
schematycznie na rysunku poni
Ŝ
ej dla szczelin o szeroko
ś
ci
a
= 5
l
,
a
= 3
l
oraz
a
=
l
.
Widzimy,
Ŝ
e ugi
ę
cie staje si
ę
coraz bardziej wyra
ź
ne gdy
a
/
l
®
0.
a=5
l
a=3
l
a=
l
To ugi
ę
cie jest charakterystyczne dla
wszystkich rodzajów fal
. Dzi
ę
ki temu mo
Ŝ
emy np.
słysze
ć
fale głosowe znajduj
ą
c si
ę
za załomem muru.
Ugi
ę
cie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.
27-4
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
27.2.1
Zasada Huyghensa
W tej teorii
ś
wiatła podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zakłada si
ę
,
Ŝ
e
ś
wiatło jest fal
ą
( a nie strumieniem cz
ą
stek). Nie wspomina ona o elektromagne-
tycznym charakterze
ś
wiatła ani nie wyja
ś
nia,
Ŝ
e
ś
wiatło jest fal
ą
poprzeczn
ą
. Teoria
Huyghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasad
ą
Huyghensa), która
pozwala przewidzie
ć
gdzie znajdzie si
ę
czoło fali w dowolnej chwili w przyszło
ś
ci, je-
Ŝ
eli znamy jej obecne poło
Ŝ
enie. Zasada ta głosi,
Ŝ
e
wszystkie punkty czoła fali mo
Ŝ
na
uwa
Ŝ
a
ć
za
ź
ródła nowych fal kulistych. Poło
Ŝ
enie czoła fali po czasie
t
b
ę
dzie dane
przez powierzchni
ę
styczn
ą
do tych fal kulistych
. Poni
Ŝ
ej przedstawiony jest na rysunku
elementarny przykład obrazuj
ą
cy, za pomoc
ą
elementarnych fal Huyghensa, rozchodze-
nie si
ę
fali płaskiej w pró
Ŝ
ni.
ct
czoło fali
w chwili
t = 0
nowe połoŜenie
czoła fali
Dane jest czoło fali płaskiej w pró
Ŝ
ni. Zgodnie z zasad
ą
Huyghensa kilka dowolnie wy-
branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako
ź
ródła fal kulistych. Po czasie
t
promienie tych kul b
ę
d
ą
równe
ct
, gdzie
c
jest pr
ę
dko
ś
ci
ą
ś
wiatła. Powierzchnia styczna
do tych kul po czasie
t
jest now
ą
powierzchni
ą
falow
ą
. Oczywi
ś
cie powierzchnia falowa
fali płaskiej jest płaszczyzn
ą
rozchodz
ą
c
ą
si
ę
z pr
ę
dko
ś
ci
ą
c
.
Uwaga: Mo
Ŝ
na by oczekiwa
ć
( w oparciu o t
ę
zasad
ę
),
Ŝ
e wbrew obserwacji fala Huy-
ghensa mo
Ŝ
e si
ę
rozchodzi
ć
zarówno do tyłu jak i do przodu. T
ę
„trudno
ść
” w modelu
eliminuje si
ę
poprzez zało
Ŝ
enie,
Ŝ
e nat
ęŜ
enie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia si
ę
w sposób ci
ą
gły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje si
ę
zastosowa
ć
jako
ś
ciowo do
wszelkich zjawisk falowych
.
Mo
Ŝ
na przedstawi
ć
za pomoc
ą
fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak
i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyja
ś
nienia ugi
ę
cia fal na szczelinie (przeszkodzie).
27-5
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin