07 Praca i energia.pdf

(68 KB) Pobierz
07 Praca i energia
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 7
7. Praca i energia
7.1 Wst ę p
Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest okre ś lenie ruchu punktu, je Ŝ eli znana
jest siła działaj ą ca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie
a = F / m
Gdy m i F stałe to a te Ŝ jest stałe i wtedy mo Ŝ emy prosto obliczy ć pr ę dko ść
v = v 0 + at
i poło Ŝ enie
x = v 0 t + at 2 /2
Zagadnienie jest bardziej zło Ŝ one gdy F nie jest stała. Trzeba posługiwa ć si ę bardziej
skomplikowan ą matematyk ą (całkowanie). Mamy cz ę sto do czynienia z takimi siłami
np. siła grawitacji mi ę dzy dwoma ciałami zale Ŝ y od ich odległo ś ci, siła wywierana przez
rozci ą gni ę t ą spr ęŜ yn ę zale Ŝ y od stopnia rozci ą gni ę cia.
Post ę powanie pozwalaj ą ce okre ś li ć ruch punktu prowadzi nas do poj ę cia pracy, energii
i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia zwi ą zane z energi ą s ą tak istotne (szeroko
rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), Ŝ e ich znajomo ść jest konieczna dla
wszelkich rozwa Ŝ a ń zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i społecznych. Pro-
blemy energii (jej ró Ŝ ne formy ich konwersja itd.) b ę d ą odt ą d przewija ć si ę stale przez
wykłady. Z energi ą zwi ą zana jest najwa Ŝ niejsza chyba zasada całej fizyki - zasada za-
chowania energii . Nakłada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzy-
stanie. B ę dzie ona centralnym tematem wi ę kszo ś ci działów fizyki omawianych na wy-
kładach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala oblicza ć w bardzo prosty
sposób ruch ciał bez konieczno ś ci korzystania z zasad dynamiki Newtona.
7.2 Praca wykonana przez stał ą sił ę
W najprostszym przypadku, siła F jest stała, a punkt porusza si ę w kierunku działa-
nia siły. Wtedy
W = F·s = Fs cos
a
(7.1)
mo Ŝ e by ć ró Ŝ ny od zera? Odpowied ź jest twierdz ą ca bo stała
siła nie musi mie ć kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczy-
wi ś cie musz ą działa ć jeszcze inne siły (ci ęŜ ar, tarcie). Gdyby działała tylko jedna to
i tak ciało nie musiałoby porusza ć si ę w kierunku jej działania np. rzut uko ś ny (tylko
grawitacja).
Wzór Fs cos
a
okre ś la jedynie prac ę wykonan ą przy przemieszczaniu punktu przez jed-
n ą sił ę . Prac ę wykonan ą przez inne nale Ŝ y obliczy ć oddzielnie i potem je zsumowa ć .
a
7-1
(Iloczyn dwóch wektorów daje liczb ę ).
Zastanówmy si ę czy k ą t
19146738.020.png 19146738.021.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Zwró ć my uwag ę , Ŝ e gdy
a
= 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs . Gdy
a
= 90
°
to z rów-
, (c) i (d) bo przesuni ę cie s = 0.
Jednostk ą pracy jest w układzie SI d Ŝ ul (J), 1J = 1N·1m.
a
= 90
°
R
v=const
N
R 1
R 2
F
Q
Q
Q
a)
b)
c)
d)
Cz ę sto u Ŝ ywa si ę jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10 -19 J.
Przykład 2
R
F
Sanki o masie 5 kg s ą ci ą gni ę te ze stał ą pr ę d-
ko ś ci ą po poziomej powierzchni. Jaka praca
zostanie wykonana na drodze s = 9 m, je ś li
współczynnik tarcia kinetycznego wynosi 0.2,
a sznurek, za który ci ą gniemy tworzy k ą t 45
T
a
°
z poziomem?
Prac ę obliczamy z zale Ŝ no ś ci:
W = Fs cos
a
mg
Aby obliczy ć prac ę musimy znale źć F . Z wa-
runku stałej pr ę dko ś ci (w kierunku pozio-
mym)
F cos
a
- T = 0
a dla kierunku pionowego
F sin
a
+ R - mg = 0
Nacisk na podło Ŝ e (równy reakcji podło Ŝ a) wynosi mg - F sin
a
, wi ę c siła tarcia wynosi
T =
m
( mg - F sin
a
)
Te równania pozwalaj ą wyliczy ć F (eliminuj ą c T ).
F =
m
mg /(cos
a
+
m
sin
a
)
wi ę c praca
W = Fs cos
a
=
m
mgs cos
a
/(cos
a
+
sin
a
)
7-2
nania wynika, Ŝ e W = 0.
Przykłady
(a) i (b) W = 0 bo
m
19146738.022.png 19146738.023.png 19146738.001.png 19146738.002.png 19146738.003.png 19146738.004.png 19146738.005.png 19146738.006.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
7.3 Praca wykonana przez sił ę zmienn ą
Rozwa Ŝ my teraz sił ę b ę d ą c ą funkcj ą poło Ŝ enia F ( x ), której kierunek jest zgodny
z osi ą x . Szukamy pracy jak ą wykona ta siła przy przesuwaniu ciała od poło Ŝ enia x 1 do
poło Ŝ enia x 2 . Jak skorzysta ć ze wzoru W = Fs cos
a
czyli co podstawi ć za F , skoro war-
to ść jej zmienia si ę (rysunki poni Ŝ ej)?
Zaczynamy od przybli Ŝ enia. Dzielimy całkowite przemieszczenie na n jednakowych od-
cinków
D
x , gdzie F i jest warto ś ci ą siły na tym odcinku. Zwró ć my uwag ę , Ŝ e od
strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równowa Ŝ ne liczeniu sumy po-
wierzchni prostok ą tów o szeroko ś ci
D
W i = F i
D
x i wysoko ś ci F i . Nast ę pnie mo Ŝ emy zsumowa ć
prace na kolejnych odcinkach (zsumowa ć pola prostok ą tów) i otrzyma ć prac ę całkowit ą .
D
∑ =
n
W
=
F
i x
D
i
1
50
45
40
35
30
25
20
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
X
ś eby poprawi ć to przybli Ŝ enie dzielimy przedział ( x 1 , x 2 ) na wi ę cej (mniejszych) od-
cinków D x (patrz kolejny rysunek).
50
40
30
20
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
X
7-3
x (rysunek poni Ŝ ej). Wewn ą trz takiego przedziału przyjmujemy (to jest to
przybli Ŝ enie), Ŝ e siła jest stała (prawie) i mo Ŝ emy teraz policzy ć prac ę na tym odcinku
D
x :
19146738.007.png 19146738.008.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
I teraz znowu powtarzamy procedur ę sumowania. Przybli Ŝ enie jest lepsze bo siła ma
prawie stał ą warto ść wewn ą trz "małych" przedziałów
D
x (pola powierzchni prostok ą tów
bardziej pokrywaj ą si ę z polem pod krzyw ą ).
Wida ć , Ŝ e rozwi ą zaniem problemu jest przej ś cie (w granicy)
D
x
®
0.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18
X
Stosujemy t ę sam ą procedur ę obliczaj ą c
x
2
x
2
W
=
lim 0
∑ ∫
F
D
x
=
F
d
x
(7.2)
D
x
®
x
1
x
1
To jest definicja całki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzyw ą
(w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to te Ŝ z definicji liczeniu warto ś ci
ś redniej co zgadza si ę z intuicyjnym podej ś ciem: W = F ś rednia ( x 2 – x 1 )
Trzeba wi ę c albo umie ć rozwi ą za ć całk ę (albo poszuka ć w tablicach) lub umie ć obli-
czy ć pole powierzchni pod krzyw ą co mo Ŝ e by ć czasem łatwe.
Np. rozwa Ŝ my spr ęŜ yn ę zamocowan ą
jednym ko ń cem do ś ciany i rozci ą gan ą
sił ą F tak, Ŝ e jej koniec przemieszcza si ę
o x . Siła wywierana przez spr ęŜ yn ę jest
sił ą przywracaj ą c ą równowag ę i wynosi
F = - k x .
Aby rozci ą gn ąć spr ęŜ yn ę musimy przy-
ło Ŝ y ć sił ę równ ą co do warto ś ci lecz
przeciwnie skierowan ą . Tak wi ę c F = k
x .
F
Teraz obliczmy prac ę
x
x
kx
2
x
kx
2
W
=
∫ ∫
F
d
x
=
(
kx
)
d
x
=
=
2
2
0
0
0
7-4
19146738.009.png 19146738.010.png 19146738.011.png 19146738.012.png 19146738.013.png 19146738.014.png 19146738.015.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
F(x)
Mo Ŝ emy te Ŝ wprost obliczy ć pole pod wykre-
sem F ( x ).
Pole powierzchni jest polem trójk ą ta i wynosi
F=kx
kx
P = (1/2) x·kx = (1/2) kx 2
i zgadza si ę z wynikiem uzyskanym z oblicze-
nia całki.
To był przypadek jednowymiarowy. Przypa-
dek 2 i 3-wymiarowy s ą w zasadzie swej roz-
patrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.
x
x
7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii
W przykładzie z sankami mieli ś my do czynienia z ruchem bez przyspieszenia.
Oznaczało to, Ŝ e wypadkowa siła działaj ą ca na ciało wynosi zero. Teraz rozwa Ŝ my
przypadek gdy ciało porusza si ę pod wpływem niezrównowa Ŝ onej siły. Najprostszy
przypadek to stała siła czyli ruch ze stałym przyspieszeniem. Jak ą prac ę wykonuje ta siła
przy przemieszczeniu ciała na odległo ść x ?
Zakładamy, Ŝ e kierunek siły F i przyspieszenia a pokrywa si ę z kierunkiem osi x . Dla
stałego przyspieszenia mamy
at
2
x
= v
t
+
0
2
oraz
v
=
v
+
at
⇒
a
=
v
-
v
0
0
t
co w poł ą czeniu daje
x
=
v +
v
0
t
2
Wykonana praca jest równa
v
-
v
v
+
v
m
2
m
2
0
W
=
Fx
=
ma
x
=
m
0
0
t
=
-
(7.3)
t
2
2
2
Połow ę iloczynu masy ciała i kwadratu pr ę dko ś ci nazywamy energi ą kinetyczn ą .
Praca wykonana przez wypadkow ą sił ę F działaj ą c ą na punkt materialny jest równa
zmianie energii kinetycznej tego punktu .
W = E k – E k 0
(7.4)
To jest twierdzenie o pracy i energii .
Gdy nie ma zmiany warto ś ci pr ę dko ś ci to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie jest
wykonywana praca (np. siła do ś rodkowa). Z twierdzenia powy Ŝ szego wynika, Ŝ e jed-
nostki pracy i energii s ą takie same.
7-5
v
v
19146738.016.png 19146738.017.png 19146738.018.png 19146738.019.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin