04 Dynamika punktu materialnego I.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 4

4. Dynamika punktu materialnego

4.1 Wst ę p

Dotychczas starali ś my si ę opisywa ć ruch za pomoc ą wektorów r , v , oraz a . Były to

rozwa Ŝ ania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy si ę dynamik ą .

Nasze rozwa Ŝ ania ograniczymy do przypadku du Ŝ ych ciał poruszaj ą cych si ę z małymi

(w porównaniu z pr ę dko ś ci ą ś wiatła w pró Ŝ ni) pr ę dko ś ciami tzn. zajmujemy si ę mecha-

nik ą klasyczn ą .

Podstawowy problem mechaniki klasycznej:

umieszczamy to ciało, nadaj ą c mu pr ę dko ść pocz ą tkow ą , w otoczeniu, które znamy,

pytanie: jaki b ę dzie ruch ciała?

Aby bada ć ruch ciała wywołany sił ą na nie działaj ą c ą trzeba wiedzie ć jakiego rodzaju

jest to siła i sk ą d si ę bierze. Teraz zajmiemy si ę ogólnymi skutkami sił a dalej b ę dziemy

rozwa Ŝ a ć specjalne własno ś ci sił grawitacyjnych, elektromagnetycznych, słabych i j ą -

drowych.

W dzisiejszym rozumieniu mechaniki klasycznej w celu rozwi ą zania naszego problemu

musimy:

ustali ć sposób przypisania masy m aby opisa ć fakt, Ŝ e ró Ŝ ne ciała wykonane z tego

samego materiału, w tym samym otoczeniu uzyskuj ą ró Ŝ ne przyspieszenia (np. pchamy

z cał ą sił ą dwa ro Ŝ ne pojazdy i uzyskuj ą ró Ŝ ne a ),

szukamy sposobu obliczenia sił działaj ą cych na ciało na podstawie wła ś ciwo ś ci tego

ciała i otoczenia - szukamy praw rz ą dz ą cych oddziaływaniami ("teorii").

4.2 Definicje

4.2.1 Masa

Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na post ę powanie). Nieznan ą mas ę m

porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomi ę dzy nimi spr ęŜ yn ę i zwal-

niamy j ą . Masy, które pocz ą tkowo spoczywały polec ą w przeciwnych kierunkach z

pr ę dko ś ciami v 0 i v .

v 0

m 0

4-1

mamy ciało (zachowuj ą ce si ę jak punkt materialny) o znanych wła ś ciwo ś ciach (masa,

ładunek itd.),

wprowadzi ć poj ę cie siły F ,

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Nieznan ą mas ę m definiujemy jako

m º

v 0

(4.1)

4.2.2 P ę d

P ę d ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego pr ę dko ś ci wektorowej .

(4.2)

(Intuicyjnie, ta wielko ść ma istotne znaczenie np. przy opisie zderze ń gdzie liczy si ę za-

równo pr ę dko ść jak i masa.)

4.2.3 Siła

Je Ŝ eli na ciało o masie m działa pojedyncza siła F 1 , to definiujemy j ą jako zmian ę w

czasie p ę du ciała.

(4.3a)

po rozwini ę ciu

)

Dla ciała o stałej masie

= d

(4.3b)

Przykłady układów o stałej i zmiennej masie.

4.3 Zasady dynamiki Newtona

Aby przewidzie ć ruch pod wpływem siły musimy mie ć "teori ę ". Czy teoria jest do-

bra czy nie mo Ŝ na stwierdzi ć tylko poprzez do ś wiadczenie.

Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywa ć ruch ciał, składa si ę z trzech

równa ń , które nazywaj ą si ę zasadami dynamiki Newtona .

Najpierw podamy sformułowanie, a potem dyskusja i rozwini ę cie.

Sformułowanie pierwszej zasady dynamiki Newtona

Ciało pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie stałej pr ę dko ś ci (zerowe przyspie-

szenie) gdy jest pozostawione samo sobie (działaj ą ca na nie siła wypadkowa jest równa

zero).

a = 0, gdy F wypadkowa = 0

gdzie F wypadkowa jest sum ą wektorow ą wszystkich sił działaj ą cych na ciało.

Uwaga: a = 0, oznacza, Ŝ e nie zmienia si ę ani warto ść ani kierunek tzn. ciało jest w spo-

czynku lub porusza si ę ze stał ą co do warto ś ci pr ę dko ś ci ą po linii prostej (stały kieru-

nek).

Sformułowanie drugiej zasady dynamiki Newtona

4-2

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Tempo zmiany p ę du ciała jest równe sile wypadkowej działaj ą cej na to ciało.

czyli

(4.4)

wyp

Zwró ć my uwag ę , Ŝ e w definicji F mówimy o pojedynczej sile, a tu mamy do czynienia

z sił ą wypadkow ą .

Sformułowanie trzeciej zasady dynamiki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałuj ą wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało

pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jak ą ciało pierwsze działa na dru-

gie

F A

® B = - F B

® A

4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Pierwsza zasada wydaje si ę by ć szczególnym przypadkiem drugiej. Przypisujemy jej

jednak wielk ą wag ę ze wzgl ę dów historycznych (przełamanie dogmatu Arystotelow-

skiego, Ŝ e wszystkie ciała musz ą si ę zatrzyma ć gdy nie ma sił zewn ę trznych) oraz dlate-

go, Ŝ e zawiera wa Ŝ ne prawidło fizyczne: istnienie inercjalnego układu odniesienia .

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, Ŝ e je Ŝ eli na ciało nie działaj ą siły ze-

wn ę trzne to istnieje taki układ odniesienia, w którym to ciało spoczywa lub porusza si ę

ruchem jednostajnym prostoliniowym . Taki układ nazywamy układem inercjalnym .

Ka Ŝ dy ruch musi by ć opisany wzgl ę dem pewnego układu odniesienia. Układy iner-

cjalne s ą tak istotne bo we wszystkich takich układach ruchami ciał rz ą dz ą dokładnie te

sama prawa . Wi ę kszo ść omawianych zagadnie ń b ę dziemy rozwi ą zywa ć wła ś nie w in-

ercjalnych układach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje si ę , Ŝ e s ą to układy, które spo-

czywaj ą wzgl ę dem gwiazd stałych ale układ odniesienia zwi ą zany z Ziemi ą w wi ę kszo-

ś ci zagadnie ń jest dobrym przybli Ŝ eniem układu inercjalnego.

Poniewa Ŝ przyspieszenie ciała zale Ŝ y od przyspieszenia układu odniesienia (obser-

watora), w którym jest mierzone wi ę c druga zasada dynamiki jest słuszna tylko, gdy ob-

serwator znajduje si ę w układzie inercjalnym. Inaczej mówi ą c, prawa strona równania

F = m a zmieniałaby si ę w zale Ŝ no ś ci od przyspieszenia obserwatora.

Zauwa Ŝ my, Ŝ e pierwsza zasada nie wprowadza Ŝ adnego rozró Ŝ nienia mi ę dzy ciałami

spoczywaj ą cymi i poruszaj ą cymi si ę ze stał ą pr ę dko ś ci ą . Ka Ŝ dy z tych stanów mo Ŝ e by ć

naturalnym stanem ciała gdy nie ma Ŝ adnych sił. Nie ma ró Ŝ nicy pomi ę dzy sytuacj ą gdy

nie działa Ŝ adna siła i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich sił jest równa zeru.

4.3.2 Druga zasada dynamiki Newtona

Wiemy ju Ŝ , Ŝ e ta zasada jest słuszna gdy obserwator znajduje si ę w układzie iner-

cjalnym. Siła w drugiej zasadzie dynamiki jest sił ą wypadkow ą (trzeba bra ć sum ę wek-

torow ą wszystkich sił).

Zastanówmy si ę jaka jest ró Ŝ nica mi ę dzy definicj ą siły, a drug ą zasad ą dynamiki?

Czy F = m a nie powinno by ć prawdziwe z definicji, a nie dlatego, Ŝ e jest to podstawo-

we prawo przyrody?

4-3

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Ró Ŝ nica pomi ę dzy równaniami (4.3b) i (4.4) polega na tym, Ŝ e w tym drugim wyst ę puje

siła wypadkowa. To jest wa Ŝ na ró Ŝ nica!!! Oznacza to, Ŝ e w tym równaniu jest zawarta

dodatkowa informacja (któr ą trzeba sprawdzi ć do ś wiadczalnie), a mianowicie addytyw-

no ść masy i wektorowe dodawanie sił. Chocia Ŝ wydaje si ę to banalne, Ŝ e poł ą czenie

mas m 1 i m 2 daje przedmiot o masie m = m 1 + m 2 to jak ka Ŝ de twierdzenie w przyrodzie

musi by ć sprawdzone do ś wiadczalnie. Istniej ą wielko ś ci fizyczne, które nie s ą addytyw-

ne np. k ą ty (nieprzemienne dodawanie) czy obj ę to ś ci mieszanin (np. woda i alkohol).

4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona

Załó Ŝ my, Ŝ e mamy układ, który składa si ę z m A i m B . Wtedy jedynymi siłami b ę d ą si-

ły oddziaływania mi ę dzy tymi ciałami np. grawitacyjne.

Trzecia zasada stwierdza, Ŝ e w przypadku sił oddziaływania mi ę dzy dwoma ciałami

F A = - F B .

Przykład 1

Rozwa Ŝ my układ trzech ciał o masach 3 m , 2 m i m poł ą czonych nitkami tak jak na

rysunku. Układ jest ci ą gni ę ty zewn ę trzn ą sił ą F . Szukamy przyspieszenia układu i na-

pr ęŜ e ń nici. Siły przenoszone s ą przez sznurki (zakładamy, Ŝ e ich masy s ą zaniedbywal-

R 2

R 1

R 3

N 2 -N 2

N 1 -N 1

2mg

3mg

ne).

Piszemy II zasad ę dynamiki dla ka Ŝ dego ciała osobno

F - N 1 = 3 ma

N 1 - N 2 = 2 ma

N 2 = ma

Dodaj ą c stronami otrzymujemy

F = (3 m + 2 m + m ) a

st ą d

a = F /6 m , N 1 = F /2, N 2 = F /6

Jednostki siły i masy

W układzie SI: niuton (N) 1N = 1kg·1m/s 2

4-4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: