book.pdf

Procesystochastyczne

1 Cotojestprocesstochastyczny

B¦dziemy zakªada¢ w tej ksi¡»ce, »e dana jest przestrze« probabilistyczna

( ; F ;P ).

Denicja 1.1 Procesem stochastycznym nazywamy zbiór zmiennych loso-

wych f X t g t 2 T ,któreprzyjmuj¡warto±ciwprzestrzenimierzalnej ( ; X ) is¡

indeksowaneprzezzbiór T.

Denicjamówinam,dlaka»dego t 2 T X t : ! jest F = X -mierzalna.

Oznaczamyj¡równie»przez X ( t ).

Przykªad1.2 Je±liT = f 0 ; 1 ; 2 ;:::;n g oraz = R ,to f X t g t 2 T jestwektorem

losowymw R n .

Przykªad 1.3 Je±li T = f 0 ; 1 ; 2 ;::: g oraz = R k lub = C k lub jest

zbioremsko«czonym,to f X t g t 2 T jestci¡giemlosowymnp.ªa«cuchMarkowa.

Proces X ( t;! ) jest funkcj¡ dwóch zmiennych t 2 T za± ! 2 . Dla

ustalonego !

X ( ;! ): T ! ;

czylika»demu ! przyporz¡dkowujemyfunkcj¦elementzprzestrzeni T .In-

teresujenaswyposa»enietejprzestrzeniw -ciaªotakabyprocesbyªodwzo-

rowaniemmierzalnym.

Denicja 1.4 (Zbiory cylindryczne) Zaªó»my, »e dana jest przestrze«

mierzalna ( ; X ) . Wówczas zbiorem cylindrycznym w przestrzeni T nazy-

wamyzbiórpostaci f x 2 T :( x t 1 ;:::;x t n ) 2 A g ;

gdzie A 2X n = XX .

Denicja 1.5 Produktowym -ciaªem X T wprzestrzeni T nazywamynaj-

mniejsze -ciaªogenerowaneprzezwszystkiezbiorycylindryczne.

Denicja 1.6 Funkcj¡ losow¡ nazywamy odwzorowanie X : ! T , które

jest F = X T mierzalne.Realizacje X ( ! ) nazywamy±cie»kamiioznaczamy x.

Denicja 1.7 Niech ( E; E ) oznaczaprzestrze«mierzaln¡.Wówczasodwzo-

rowaniemierzalne f : T ! E,którejest X T = E mierzalnenazywamyfunk-

cjonaªemokre±lonymna±cie»kach.

Przykªademfunkcjonaªujestoperatorrzutu t : T ! ewaluacjifunkcji

f : T ! danywzorem t ( f )= f ( t ).Jestonmierzalny,gdy»jednowymia-

rowecylindrys¡danenast¦puj¡c¡formuªa:

f f 2 T : f ( t ) 2 A g =

t ( A ) ;

gdziezbiór A 2X .Nast¦puj¡cylemmatwyja±niakluczow¡rol¦ t .

X : ! T

jest F = X T mierzane, czyli jest funkcja losow¡ wtedy i tylko wtedy gdy dla

ka»dego t 2 T zªo»enie t X jest F = X mierzalne

Dowód:Implikacjawjedn¡stron¦ ) jestoczywistabo t X jestzªo»e-

niemdwóchfunkcjimierzalnych.Wdrug¡stron¦ ( wystarczypokaza¢,»e

przeciwobrazdowolnegocylindrajednowymiarowego

t ( A )jest F mierzal-

ny,czyli

1 (

t ( A ))=( t X )

1 ( A ) 2F

coko«czydowód.

Zauwa»my, »e z lematu wynika i» funkcja losowa X wyznacza proces

stochastyczny X t = t X . Z drugiej strony ka»dy proces stochastyczny X t

wyznaczafunkcj¦losow¡ X .

Poniewa»b¦dziemychcieliskonstruowa¢procesystochastycznyposiada-

j¡cepewnewªasno±ciwygodniejestwskaza¢wzbiorze T pewienpodziór U .

I tak w dalszym ci¡gu dla T =[0 ; 1] zbiór U oznacza¢ b¦dzie zbiór funkcji

ci¡gªych rzeczywistych = R, X = B

R , gdzie B

U \X T = f C \ U : C 2X T g :

Deninicja 1.9 Funkcj¦ losow¡ w U nazywamy funkcj¦ X : ! U T ,

którajest F =U \X T mierzalna.

Lemat1.8 Odwzorowanie

R oznacza -ciaªo zbiorów

borelowskich; U = C ( T ).Zauwa»my,»ezbiór U nienale»ydo X T .Innydo-

bórzbioru U jestwprzykªadzie12.W U -ciaªo,któreb¦dziemyoznacza¢

przez U \X T deniujemywstandardowysposób:

Lemat1.10 X jestfunkcj¡losow¡w U wtedyitylkowtedygdy f X t g t 2 T jest

procesemstochastycznymotrajektoriachwzbiorze U.

Dowód:Poniewa» X ( ! ) 2 U zatem X jest F =U \X T mierzalnawtedy

itylkowtedygdyjest F = X T mierzalna.DalejdowódwynikazLematu8.

Przykªad1.11(Miarylosowe) Niechzbiór T b¦dzieoznacza¢zbiorybore-

lowskiew R d za± = R

Przykªad1.12 Je±li X jestmiar¡losow¡idlaka»degozbioruborelowskiego

B, X ( B ) jestzmienn¡losow¡przyjmuj¡c¡warto±ciwzbiorzeliczbnatural-

nych,toX jestprocesempunktowym.Je±liX jestmiar¡losow¡idlaka»dego

r 2

Zadanie1.13 Dladowolnegozbioruprzeliczalnego S = f t 1 ;t 2 ;::: g zawartego

w T deniujemy -ciaªo w T (ozn. X S ( T )), które jest generowane przez

jednowymiarowecylindrypostaci

t ( A ),gdzie A i t 2 S .Udowodni¢,

»e

X T =

[

X S ( T ) :

S T

X S ( T ).Oczywi±cie D X T .Wdrug¡stron¦

wystarczypokaza¢,»e D jest -ciaªem.

S T

Wdalszymci¡gupotrzebowa¢b¦dziemynast¦puj¡cetwierdzeniezteorii

miary[]:

Twierdzenie1.14(Ozgodno±cidwóchmiar) Zaªó»my,»edanes¡dwie

miaryokre±lonena ( ; X ) .Niechdanab¦dzierodzina G zbiorówzamkni¦taze

wzgl¦dunasko«czoneprzekrojeitaka,»e ( E )= ( E ) dlaE 2G .Zakªadamy

ponadto,»eistniej¡zbiory E i 2G takie,»e ( E i )= ( E i ) < 1 i =

Denicja 1.15 Rozkªadem funkcji losowej X : ! T nazywamy miar¦

probabilistyczn¡okre±lon¡na ( T ; X T ) wzorem

( E )= P ( ! : X ( ! ) 2 E ) ;

=[0 ; 1 ] .WówczasfunkcjalosowaX : ! U T

oznaczamiar¦losow¡,je±liza U we¹miemymiaryprzeliczanieaddytywne.

R , X ( f r g ) ¬ 1 ,to X jestprocesemprostym.ProcesPoissonajestproce-

sempunktowymprostym.

Dowód.Oznaczmy D =

i =1 E i

(czylizakªadamy,»emiarys¡ -sko«czone).Wówczasmiary i s¡zgodne

na -cielegenerowanymprzez G .

gdzie E 2X T .Nazbiorachcylindrycznychpostaci

C =

t j ( A j ) ;

j =1

gdzie A j 2X

( C )= P f ! : X t j ( ! ) 2 A j ;j =1 ;:::;n g :

K : T ! K

jestodwzorowaniem X K = X T mierzalnym.

Wówczasje±li X jestfunkcj¡losow¡,tomo»emywprowadzi¢funkcj¦lo-

sow¡ X K wnast¦puj¡cysposób.Niech X ( ! )b¦dzierealizacj¡funkcjilosowej

oznaczon¡ przez x ( t ). Wówczas realizacj¦ funcji losowej X K mo»emy zde-

niowa¢jako K ( x ),czyli X K = K ( X ).Pozostajesprawdzi¢,»edenicjajest

poprawna, czyli X K : ! K jest X K = F mierzalna co wynika ze zªo»e-

niafunkcjimierzalnych.Zatemmo»emywprowadzi¢równie»rozkªady K na

( K ; X K ).Analogiczniemo»emyzdeniowa¢operatory K oile K J T .

Poniewa»rodzin¦miarzdeniowali±myu»ywaj¡coperatoraobci¦cia,zatem

je±li S = f t 1 ;:::;t n g ,toabyobliczy¢ S ( A 1 A n )porz¡dkujemyzbiór

S , t i 1 < < t i n (tutajstosujemyidentykacj¦)

A 1 A n = f x 2 S : x ( t i j ) 2 A j ;j =1 ;:::;n g

iwówczas

S ( A 1 A n )= P f ! : X S ( t i j ;! ) 2 A j ;j =1 ;:::;n g

= P f ! : X ( t i j ;! ) 2 A j ;j =1 ;:::;n g

= ( f x 2 T : x ( t i 1 ) 2 A 1 ;:::;x ( t i n ) 2 A n g ) ;

cowyja±nia(1.1)dlarodzinsko«czonych.

Twierdzenie1.16 Powy»ejzdeniowanarodzinaspeªniawarunek

(1 : 1)

K = ( K )

Chcemy teraz zaw¦zi¢ funkcj¦ losow¡ do zbioru K , gdzie K T . W

tymceluwprowad¹myoznaczenie,przez x ( t ) j t 2 K lub K ( x )= x j K b¦dziemy

oznacza¢ obci¦cie funkcji x : T ! do zbioru K . Zauwa»my, »e operator

obci¦cia

iogólnie

(1 : 2)

K = J ( K )

Dowód. Aby udowodni¢ (1.1) zauwa»my, »e obie miary s¡ zgodne na

zbiorachcylindrycznych,któratorodzinajestzamkni¦tazewzgl¦dunasko«-

czoneprzekroje.Resztawynikaztwierdzenia14.Dodowodu(1.2)zauwa»my,

»e

K = ( K )

1 = ( K

J )

= ( J )

1 ( K )

1 = J ( K )

1 :

Denicja1.17 Rodzinamiar K na X K indeksowanazbioramisko«czonymi

speªniaj¡ca warunek (1.2) dla dowolnych zbiorów sko«czonych nazywa si¦

rodzin¡zgodn¡

Z twierdzenia 16 wynika, »e zgodno±¢ miar jest warunkiem koniecznym

istnieniamiaryna T .TwierdzenieKoªmogorowapoka»e,»ejestte»warun-

kiemwystarczaj¡cym.

Twierdzenie 1.18 Niech X i Y b¦d¡funkcjamilosowymiw T o±cie»kach

w U.Wówczasrozkªadyfunkcjilosowych X;Y oznaczoneprzez ; s¡iden-

tycznena U T wtedyitylkowtedygdydladowolnegozbiorusko«czonego

J T

J = J :

DowódDowódwjedn¡stron¦= ) jestterazoczywisty.Dowódwdrug¡

stron¦jestopartyotwierdznie14.Trzebazauwa»y¢tylko,»erodzinazbiorów

cylindrycznychjestdomkni¦tazewzgl¦dunasko«czoneprzekroje.

Rozwa»myteraz T =[0 ; 1],= R, X = B

( B )=inf B E 2X T ( ( E )),[Lojasiewiczstr.99].

Lemat 1.19 Zbiór U ma miar¦ zewn¦trzn¡ jeden

( U ) = 1 wtedy i tylko

wtedygdydlaka»degozbioruprzeliczalnego T:

( f f 2

R T : f j jestjednostajnieci¡gªaw g )=1 :

Zauwa»my, »e do naszych rozwa»a« wystarczy zaªo»y¢, »e miara jest

zupeªna,czyli X T rozszerzamyowszystkiezbiorymiaryzero.

R , U = C ( T ).Niech b¦dzie

zadan¡miar¡probabilistyczn¡na( T ; X T ).Miar¦t¦mo»emyrozszerzy¢do

miaryzewn¦trznej

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: