n – okres, n=1,2,3..
K0 –wartość początkowa kapitału
K1 – wartość przyszła
K1 > K0
Z=K1-K0 – odsetki
r=Z/K0 – stopa %
Odsetki wypłacane na końcu okresu – oprocentowanie z dołu, na początku – z góry.
Stopa % roczna:
Z=Ko*r
r*K0=K1-Ko
K1=K0(1+r)
Kapitalizacja – dopisywanie odsetek do K0
Kapitalizacja zgodna – okres kapitalizacji (po którym odsetki są kapitalizowane) pokrywa się z okresem stopy procentowej
Kapitalizacja prosta – oprocentowanie jedynie włożonego kapitału
Kapitalizacja złożona – oprocentowanie kapitału z odsetkami
Dyskonto – odwrotność kapitalizacji, wyznaczenie wcześniejszej wartości kapitału
Stopa dyskontowa – stopa procentowa dyskontowania
Kapitalizacja prosta zgodna
Zn – odsetki dopisane za n-ty okres
Kn – kwota po n-tym okresie
Kn+1=Kn+Zn+1
Zn+1=K0*r
Kn+1=Kn+K0*r
Kn+1-Kn=K0*r
Kn=K0(1+n*r) – ciąg arytmetyczny {Kn}
(1+n*r) – współczynnik akumulacji, czynnik wartości przyszłej
Kapitalizacja złożona z dołu zgodna
Zn=Kn*r
Kn+1=Kn+Km*r=Kn(1+r)
Kn+1/Kn=1+r
Kn=K0(1+r)n – ciąg geometryczny, o ilorazie 1+r
Zn+1=r+K0(1+r)n
Kapitalizacja złożona z góry zgodna
Wn – przyszła wartość Ko na początku n-tego okresu kapitalizacji
W1=K0+r*W1
Wn+1=Wn+r*Wn+1
Wn+1(1-r)=Wn //:Wn //:1-r
Wn+1/Wn = 1/1-r
Wn=K0*[1/(1-r)n] = Ko/(1-r)n – ciąg geometryczny, o ilorazie 1/1-r
Kapitalizacja niezgodna – okres kapitalizacji nie pokrywa się z okresem stopy procentowej
Kapitalizacja niezgodna w podokresach – okres stopy% jest całkowitą wielokrotnością okresu kapitalizacji
Kapitalizacja niezgodna w nadokresach –okres kapitalizacji jest calkowita wielokrotnością okresu stopy%
m-stosunek okresu stopy% do okresu kapitalizacji (m=okres r/okres kap.)
m=1 – kapitalizacja roczna, m=2 – półroczna, m=4 – kwartalna, m=12 – miesięczna, m=52 – tygodniowa, m=360 – dobowa, m=8640 – godzinna, m=0,5 – dwuletnia, m=0,25 – czteroletnia, m=0,1 – dziesięcioletnia
Względna stopa procentowa – wyznacza odsetki w kapitalizacji niezgodnej na 1 okres kapitalizacji
ř=r/m – stopa nominalna
k-okres kapitalizacji
Przyszła wartość kapitału w kapitalizacji niezgodnej wynosi:
Kk/m=K0(1+ k* r/m) – dla kapitalizacji prostej
Kk/m=K0(1+ r/m)k – dla złożonej z dołu
Kk/m=K0/ (1- r/m)k – dla złożonej z góry
Aby zachować tę samą efektywność w podokresach należy podwyższyć stopę%okresową do efektywnej (ref) lub obniżyć względną stopę% do równoważnej (rr)
Ref =(1+ r/m)m-1
Rr = m√(1+r)| -1
Kapitalizacja ciągła – graniczny przypadek niezgodnej, gdy m"∞
K(n)=Ko*er*n = lim Ko(1 + r/m)n*m = lim Ko[(1+ r/m)m]n
e≈2,718 – stała Eulera
firfirfir