MP-przyk3.pdf

(493 KB) Pobierz
Microsoft Word - MP-przyk3.DOC
MP – przykład 3 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – obciążenie F 30.03.07
1. ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
q
2 =
2
F
/
m
Ramę pokazaną na rysunku
rozwiązać metodą
przemieszczeń i dokonać
kontroli rozwiązania.
k
1 =
2
EI
/
m
k =
4
EI
/
m
3
F
2
30
o
EI
EI
M =
Fm
2
EI
M
q
1 =
F
/
m
4 m
EI
3 m
3 m
2 m
2 m
1.1 WYZNACZENIE STOPNIA GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
1.1.1 WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY OBROTU WĘZŁÓW
Podział układu na elementy,
dla których dane są wzory
transformacyjne przedstawiono na
rysunku obok
s - s
w - s
s - p
B
C
1
2
k =
4
EI
/
m
3
s - s ; element "sztywno - sztywny"
s - p ; element "sztywno - przegubowy"
2
Z przyjętego podziału na elementy
wynika, że:
– dla pręta A-1 stosować będziemy
w - s ; element "wolny koniec - sztywny"
to jest element wspornikowy
ł - s ; element "łyżwa - sztywny"
A
1, 2 ; węzły sztywne mające swobodę obrotu,
łączące końce przyjętych elementów
wzory transformacyjne w postaci
M
=
EI
A
1
( )
ϕ
−
ϕ
+
M
o
A
,
A
1
L
A
1
1
A
1
A
1
M
=
EI
A
1
( )
−
ϕ
+
M
o
A
, gdzie
ϕ ,
1 =
0
1
A
L
1
A
A
1
1
A
1
– dla pręta B-1 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
1 = ,
– dla pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
M
B M
1 = ,
o
B
1
M
B M
1
o
B
–
M
=
EI
12
(
4
⋅
ϕ
+
2
⋅
ϕ
−
6
⋅
ψ
)
+
M
o
,
M
=
EI
12
(
4
⋅
ϕ
+
2
⋅
ϕ
−
6
⋅
ψ
)
+
M
o
,
12
L
12
21
12
12
21
L
21
12
12
21
12
12
– dla pręta 2-C stosować będziemy wzór transformacyjny w postaci
M
=
EI
2
C
(
3
⋅
ϕ
−
3
⋅
ψ
)
+
M
o
C
,
M
2 =
0
2
C
L
2
C
2
C
2
C
2
C
= C stwierdzamy, że
wszystkie kąty obrotu końców prętów określone są przez kąty obrotu 2 węzłów ϕ i ϕ , więc
– liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi
ϕ ,
1 =
0
ϕ
1
A
=
ϕ
1
B
=
ϕ
12
=
ϕ
1
,
ϕ
21
ϕ
2
=
ϕ
2
n ϕ = 2 .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
ϕ
Uwzględniając, że
385921986.027.png 385921986.028.png 385921986.029.png 385921986.030.png
 
MP – przykład 3 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – obciążenie F 30.03.07
1.1.2 WYZNACZENIE LICZBY STOPNI SWOBODY PRZESUWU WĘZŁÓW
Model układu o węzłach przegubowych przedstawiono na rysunku poniżej. Więzi oznaczone
liniami przerywanymi odbierają stopnie swobody przesuwu, które zostały już uwzględnione we
współczynnikach wzorów transformacyjnych (dotyczy to elementu wspornikowego i elementu „ł-s”).
Liczba stopni swobody przesuwu modelu
przegubowego spełnia warunek
n
B
1
2
C
2 =2*8 - 7 - 7 = 2,
gdzie w - liczba węzłów,
δ ≥⋅−−
p - liczba prętów,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby przegubowy
model układu był geometrycznie niezmienny
należy dodać, co najmniej 2 więzi.
Określając, w których węzłach i w jakich
kierunkach dodać te więzi, należy pamiętać, że
węzły połączone więziami pojedynczymi z
fundamentem (z punktami, które nie mają
możliwości przemieszczania się) , jeśli mogą się
przemieszczać to tylko w kierunkach
prostopadłych do tych więzi. Inne połączenia nie
mogą powodować zmiany tych kierunków, mogą
natomiast powodować, że określone węzły w
ogóle nie mogą się przemieszczać.
W rozwiązywanym przykładzie węzły B, 1
i C połączone są z fundamentem więziami
pojedynczymi (podporę przegubowo-przesuwną
traktujemy jak więź pojedynczą). Jeśli więc
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok.
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła C) przez
przyłożenie więzi elementarnej I o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami. Powoduje to, że węzły B, 1 i 2 jeśli
mogą się przemieszczać to tylko tak jak
pokazano strzałkami na rysunku obok
Odbieramy możliwość przemieszczania się
jednego z tych węzłów (np. węzła 2) przez
przyłożenie więzi elementarnej II o kierunku
możliwego przemieszczenia określonym
strzałkami.
Układ przegubowy z dodanymi
więziami I i II pokazano na rysunku obok.
Jak widać na tym rysunku dodanie tych 2
więzi przekształciło przegubowy model
układu w układ geometrycznie niezmienny.
Oznacza to, że liczba stopni swobody
przesuwu układu danego wynosi
n δ = 2 .
Stopień geometrycznej
niewyznaczalności wynosi, więc
A
B
1
C
A
Węzeł A nie może się przemieszczać,
gdyż połączony jest z fundamentem 2
więziami nie leżącymi na jednej prostej
B
1
2
C
I
Węzeł C po dodaniu więzi I nie może się
przemieszczać, gdyż połączony jest z
fundamentem 2 więziami nie leżącymi na
jednej prostej.
A
B
1
2
C
I
II
A
nnn
g = + =
ϕ δ 2 + 2.
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
wp r
385921986.001.png
MP – przykład 3 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – obciążenie F 30.03.07
1.2 UKŁAD PODSTAWOWY I ODPOWIADAJĄCY MU UKŁAD RÓWNAŃ
KANONICZNYCH
1.2.1 UKŁAD
q 2
k =
ϕ
k
M o
=
−
M
1 k
o
1
30
PODSTAWOWY
Układ podstawowy tworzymy z układu
danego przez dodanie n ϕ więzi
rotacyjnych i n δ więzi translacyjnych (w
naszym przykładzie 2 więzi rotacyjne i 2
translacyjne), co przekształca dany układ
w układ geometrycznie wyznaczalny
pokazany na rysunku obok.
Uwaga : Wprowadzono tu nowe
oznaczenia niektórych danych (
1
F
2
q 1
B
C
EI
1
EI
2
2
EI
M
I
II
q
1 =
F
/
m
4 m
EI
A
3 m
3 m
2 m
2 m
M ⇒ ) dostosowując je do przyjętej
numeracji węzłów i oznaczeń stosowanych we wzorach na współczynniki układu równań.
1.2.2 UKŁAD RÓWNAŃ KANONICZNYCH
k ⇒ ,
k
ϕ
1
k ⇒ i M w węźle 2
k
δ
1
o
1
2
k
11
⋅
ϕ
1
+
k
12
⋅
ϕ
2
+
k
1
I
⋅
δ
I
+
k
1
II
⋅
δ
II
+
k
1
o
=
0
k
21
⋅
ϕ
1
+
k
22
⋅
ϕ
2
+
k
2
I
⋅
δ
I
+
k
2
II
⋅
δ
II
+
k
2
o
=
0
k
I
1
⋅
ϕ
1
+
k
I
2
⋅
ϕ
2
+
k
I
I
⋅
δ
I
+
k
I
,
II
⋅
δ
II
+
k
Io
=
0
k
II
1
⋅
ϕ
1
+
k
II
2
⋅
ϕ
2
+
k
II
,
I
⋅
δ
I
+
k
II
,
II
⋅
δ
II
+
k
IIo
=
0
I II a to oznacza, że w rozpatrywanym stanie wyznaczamy
momenty brzegowe elementów i M oraz j M od obciążeń danych przy założeniu, że przemieszczenia
brzegowe występujące we wzorach transformacyjnych są równe zero.
W rozpatrywanym stanie obciążenia należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
- momenty brzegowe
1
====
2
0
i M dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
o
M przy założeniu ich prawoskrętnych zwrotów
- siły równoważne sprowadzające obciążenie elementów do węzłów (wyjątek stanowią tu obciążenia elementów
momentami, które można przedstawić w postaci par sił przyłożonych na końcach elementów, jednak wygodniej jest
pozostawić te momenty jako siły równoważne bez ich przekształcania oraz obciążenia elementów typu „sztywno-łyżwa” i
„wspornik”, które zastępuje się wypadkowymi bez sprowadzania do węzłów, gdyż przesunięcia wszystkich punktów tych
prętów od przemieszczeń δ i I δ są równe przesunięciu ich końca sztywnego ).
Podział układu na elementy, obciążenia działające na poszczególne elementy, wykresy momentów
zginających, siły równoważne i momenty węzłowe pokazano na rysunku poniżej.
o
q 2
M o
P =
3
q
m
/
2
M 12
o
2
=
−
M
=
−
Fm
P =
F
/
2
P =
F
/
2
o
B
3
M 1
2
2
F
C
B
1
2
M 21
o
M 2
o
C
M o C
(
F
)
M 1
o
A
3 m
2
M
o
C
2 =
0
2 m
2 m
q 1
P
1 4
=
q
1
m
M o C
2 M
)
P =
=
Fm
M
C
4 m
A
M
o
C
=
M
o
(
F
)
+
M
o
C
(
M
)
M
o
C
2 =
0
2
2
C
2
M
o
A
1
3 m
Uwaga: Moment
M o
2
=
−
M
=
−
Fm
obciąża węzeł 2 i nie należy go uwzględniać jako obciążenia żadnego pręta .
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
δ
k =
2
,
1.3 ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
1.3.1 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD OBCIĄŻENIA DANEGO
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że stanowi obciążeń
danych towarzyszy ϕ ϕ δ δ
- momenty węzłowe
4
5
385921986.002.png 385921986.003.png 385921986.004.png 385921986.005.png 385921986.006.png 385921986.007.png 385921986.008.png
 
MP – przykład 3 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – obciążenie F 30.03.07
Momenty brzegowe (reakcje podpór) dla elementów obliczamy na podstawie stosownych wzorów:
q
⋅
(
4
m
)
2
F
16
m
2
8
q
⋅
(
4
m
)
2
16
M A
=
1
=
⋅
=
Fm
,
M o A
=
1
=
Fm
,
M
o
A
+
M
o
A
=
8
Fm
,
1
6
m
6
3
1
3
3
1
1
3
m
3
m
2
F
⋅
9
m
2
M
o
B
1 =
0
,
M o B
=
q
⋅
⋅
=
=
3 ,
Fm
M
o
B
+
M
o
B
=
3
Fm
,
1
2
2
3
m
⋅
6
1
1
M
o
=
−
M
o
=
0
,
M
o
+
M
o
=
0
,
12
21
12
21
M o C
(
F
)
=
−
3
⋅
F
⋅
4
m
=
−
0
75
Fm
,
M o C
(
M
)
=
−
M
=
− ,
0
Fm
2
16
2
2
M
2
o
C
=
M
o
C
(
F
)
+
M
2
o
C
(
M
)
=
−
1
25
Fm
,
M
o
C
2 =
0
,
M
2
o
C
+
M
o
C
2
=
−
1
25
Fm
.
1.3.2 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD ϕ 1 1
=
W tym stanie obciążenia uwzględniamy: ϕ 1 1
= ,
ϕ
2
=
0
δ
I
=
δ
II
=
0
(
ψ
ij
=
ψ
1 =
0
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorów w postaci
M
1
=
EI
(
a
⋅
ϕ ⋅
1
+
b
ϕ
1
)
,
ij
ij
ij
ij
ji
L
ij
do których podstawiamy
ϕ
1
1
A
=
ϕ
1
1
B
=
ϕ
1
12
=
ϕ
1
=
1
, i pozostałe
i ϕ
1 =
0
Momenty brzegowe wynoszą:
–
M A
1
=
EI
( )
0
−
1
=
−
0
.
2
⋅
EI
,
M A
1
1
=
EI
( )
1
−
0
=
0
2
⋅
EI
,
M
1
1
A M
+
1
=
0
,
1
5
m
m
5
m
m
A
1
–
M
B M
1
=
1
1
B
=
0
,
M
1
1
B M
+
B
1
=
0
,
–
M
1
12
=
EI
( )
4
⋅
1
+
2
⋅
0
=
4
⋅
EI
,
M
1
21
=
EI
( )
4
⋅
0
+
2
⋅
1
=
2
⋅
EI
,
M
1
12
+ 2
M
1
21
=
⋅
EI
,
3
m
3
m
3
m
3
m
m
–
M C
1
2
=
2
EI
( ) 0
3
⋅
0
=
,
M
1
2 =
0
,
M
1
2
C M
+
1
=
0
,
4
m
C
C
2
–
S
ϕ
1
1
= ϕ
k
ϕ
⋅
=
2
⋅
EI
/
m
( Moment S działający na więź sprężystą traktowany tu jest jak moment brzegowy
1
1
pręta: prawoskrętny : „+”, lewoskrętny „–„.
(dodatnia reakcja więzi na węzeł jest lewoskrętna tak jak moment
brzegowy pręta ).
1.3.3 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD ϕ 2
=
1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
ϕ ,
2 =
1
ϕ
1
=
0
δ
I
=
δ
II
=
0
(
ψ
ij
=
ψ
ij
2 =
0
) i brak
obciążenia danego. Korzystamy, więc ze wzorów w postaci
M
2
=
EI
(
a
⋅
ϕ ⋅
2
+
b
ϕ
2
)
,
ij
L
ij
ij
ij
ji
ij
do których podstawiamy
ϕ
2
21
= ϕ
ϕ
2
2
C
=
2
=
1
, i pozostałe
i ϕ
2 =
0
Momenty brzegowe wynoszą:
–
M A
2
=
EI
( ) 0
0
−
0
=
,
M
2
1
=
EI
( ) 0
0
−
0
=
,
M
2
1
+
M
2
=
0
,
1
5
m
A
5
m
A
A
1
–
M
2
=
M
2
1
=
0
,
M
2
1
+
M
2
=
0
,
B
1
B
B
B
1
–
M
2
12
=
EI
(
4
⋅
0
+
2
⋅
1
−
6
⋅
0
)
=
2
⋅
EI
,
M
2
21
=
EI
(
4
⋅
1
+
2
⋅
0
−
6
⋅
0
)
=
4
⋅
EI
,
M
2
12
+ 2
M
2
21
=
⋅
EI
,
3
m
3
m
3
m
3
m
m
–
M
2
2
=
2
EI
( )
3
⋅
1
−
3
⋅
0
=
1
5
⋅
EI
,
M
2
2 =
0
,
M
2
2
+
M
2
=
1
5
⋅
EI
,
S
ϕ
2
1
= ϕ
k
ϕ
⋅
=
0
.
C
4
m
m
C
C
C
2
m
1
1
1.3.4 ROZWIĄZANIE UKŁADU PODSTAWOWEGO OD δ I = 1
W tym stanie obciążenia uwzględniamy:
I δ i brak obciążenia danego.
Od obciążenia przemieszczeniem δ I = 1 należy określić, występujące w dalszych obliczeniach:
- kąty obrotu cięciw elementów
ϕ
1
=ϕ
2
=
0
(
ϕ
ij
=
ϕ
ji
=
0
),
=
0
I
i ψ ,
- momenty brzegowe
M
I
ij
=
−
c
⋅
EI
⋅
ψ
I
ij
dla elementów przyjętych w punkcie 1.1.1,
ij
L
ij
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
.
2
ij
1
1
385921986.009.png 385921986.010.png 385921986.011.png 385921986.012.png 385921986.013.png 385921986.014.png 385921986.015.png 385921986.016.png 385921986.017.png 385921986.018.png 385921986.019.png
MP – przykład 3 – rama o siatce nieortogonalnej z więziami sprężystymi – obciążenie F 30.03.07
δ ,
- wydłużenia translacyjnych więzi sprężystych i siły w tych więziach.
Potrzebne przemieszczenia i kąty obrotu
cięciw można wyznaczyć wykorzystując
plan przesunięć obróconych lub analityczne
związki kinematyczne. W celu
wykorzystania planu przesunięć
obróconych rozpatrujemy przegubowy
model układu z dodanymi więziami
translacyjnymi i wymuszamy przesunięcie
o wartości 1 w miejscu i kierunku więzi I.
Odkształcony układ przegubowy
(przerywane linie żółte) i biegunowy plan
przesunięć obróconych pokazano na
rysunku obok.
W układzie tym dodano też więzi
oznaczone liniami przerywanymi odpowiadające
stopniom swobody przesuwu uwzględnionym we
współczynnikach wzorów transformacyjnych, gdyż
w przeciwnym razie układ przegubowy nie byłby
mechanizmem tylko układem o wielu stopniach
swobody. Takie przyjęcie pozwala na poprawne
wyznaczenie przemieszczeń wszystkich węzłów z
wyjątkiem tych węzłów, w których dodano te więzi.
W rzeczywistości przemieszczenie wymuszane jest
w układzie podstawowym (układ przed i po
odkształceniu pokazano na rysunku obok) skąd
wynika, że przemieszczenia wszystkich punktów
wspornika (B-1) i wszystkich punktów pręta o
końcu z łyżwą prostopadłą do osi pręta (A-1) są
równe przemieszczeniu węzła 1 (pręty te
przemieszczają się równolegle). Na rysunku z układem przegubowym dokonano kolorem czerwonym korekty
przemieszczeń uwzględniającej ten fakt.
Wartości wzajemnych przesunięć końców prętów i kątów obrotów cięciw wynoszą:
I
Pi
P
P
P
B
1
2
C
δ
=
1
2'
C'
δ
1'
II
P
1''
2''
C''
δ
P
D, D', D''
b.p.p.o
A, B, C, D, 1,
2
A, A', A''
D'', A''
A'
5
δ
=
1
4
B''
1''
3
C'' 2''
A''
4
B
1
2
2'
C
δ
=
1
C'
B'
II
1'
A
A'
∆
I
∆
I
=
+
1
'
A
'
'
=
0
(„+” gdyż obrót pręta w prawo ) ⇒
ψ
I
=
1
A
=
0
,
1
A
1
A
L
1
A
3
∆
I
3
1
∆ I
=
−
1
'
'
=
−
(„−” gdyż obrót pręta w lewo ) ⇒
ψ
I
=
12
=
−
=
−
,
12
4
12
L
4
⋅
3
m
4
m
12
∆
I
∆
I
∆
I
=
+
1
'
B
'
'
=
0
⇒
ψ
I
=
1
B
=
0
,
∆
I
=
2
'
C
'
=
0
⇒
ψ
I
=
2
C
=
0
.
1
B
2
C
1
B
L
2
C
L
1
B
2
C
Momenty brzegowe w układzie podstawowym od przemieszczenia
δ wynoszą:
=
1
M
I
A M
=
I
A
=
0
,
M
I
A M
+
I
A
=
0
,
M
I
B M
=
I
B
=
0
,
M
I
B M
+
I
B
=
0
,
1
1
1
1
1
1
1
1
M
I
=
M
I
=
−
6
⋅
EI
12
⋅
ψ
I
=
−
6
⋅
EI
⋅
−
1
=
1
⋅
EI
,
M
I
+
M
I
=
EI
,
12
21
12
L
3
m
4
m
2
m
2
12
21
m
2
12
M
I
=
−
3
⋅
EI
2
c
⋅
ψ ,
I
=
0
M
I
C
2 =
0
,
M
I
C M
+
I
C
=
0
.
2
C
L
2
C
2
2
2
C
Do wyznaczenia wyrazów wolnych układu równań potrzebne też są przemieszczenia punktów
przyłożenia sił równoważnych. Przemieszczenia w miejscach sił równoważnych pokazano na rysunku
odkształconego układu przegubowego (na górnym rysunku - ciągłe strzałki niebieskie). Na rysunku
poniżej powtórzono b.p.p.o z naniesionymi siłami przyłożonymi do odpowiednich punktów.
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
- przemieszczenia w miejscach i kierunkach sił równoważnych
'
385921986.020.png 385921986.021.png 385921986.022.png 385921986.023.png 385921986.024.png 385921986.025.png 385921986.026.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin