Bilanse masowe i cieplne kolumny rektyfikacyjnej

Bilanse masowe i cieplne dowolnej półki lub dowolnego przekroju kolumny

Wybierzmy sobie dowolny przekrój kolumny Fx lub półkę o dowolnym numerze n.

Ogólny bilans masy na półce n lub dla przekroju Fn przybiera postać:

Bilans masy składnika można zapisać równaniem:

Bilans cieplny przybiera postać:

Równania bilansowe można zapisać inaczej:

                            (1)

                            (2)

                            (3)

Po przekształceniach dochodzi się do zależności określającej stosunek strumieni fazy ciekłej na półce x do strumienia tej fazy na półce wyżej położonej:

                            (4)

Z równań (1) – (3) wynika, że:

·         W danej rozpatrywanej części kolumny różnica strumieni fazy parowej i ciekłej pomiędzy półkami jest stała wzdłuż wysokości aparatu.

·         W danej rozpatrywanej części kolumny różnica strumieni składnika w fazie parowej i ciekłej pomiędzy półkami jest stała wzdłuż wysokości aparatu.

·         W danej rozpatrywanej części kolumny różnica strumieni ciepła wymienianego pomiędzy fazą parową i ciekłą jest stała wzdłuż wysokości aparatu.

Z kolei z równania (4) wynika bardzo ważny wniosek, że strumień fazy ciekłej zmienia się wzdłuż wysokości aparatu, zatem w powiązaniu z wcześniej sformułowanymi wnioskami zmienia się także strumień fazy parowej.

Bilanse masowe i cieplne całej kolumny łącznie z wyparką i skraplaczem

              Kolumna jest zasilana surowcem, który w podgrzewaczu zewnętrznym jest wstępnie ogrzany do temperatury zawartej pomiędzy początkową i końcową temperaturą wrzenia mieszaniny. Zatem składa się z mieszaniny cieczy i pary. Z kolumny wypływa ciecz wyczerpana w temperaturze wrzenia i skroplony destylat w temperaturze wrzenia.

Bilanse masowe i cieplne całego aparatu przyjmują postać:

Entalpia surowca iS zależy od udziału fazy ciekłej i parowej i można ją obliczyć z równania:

Podobnie entalpia odbieranego destylatu zależy od postaci tej fazy i jeśli jest mieszaniną cieczy i pary, to można ją obliczyć z zależności:

Zdefiniujmy entalpie pomocnicze:

-       na szczycie kolumny

-       na dole kolumny

Wówczas bilans cieplny całej kolumny ma postać:

Skraplacz montowany na szczycie kolumny może być skraplaczem zupełnym, gdy cały strumień oparów jest skraplany i temperatura pozostaje niezmienna lub może być skraplaczem niezupełnym, gdy część oparów jest skraplana, a reszta parowego strumienia przepływa do dodatkowego aparatu skraplającego.

Dla skraplacza zupełnego entalpia spełnia równość:

Dla skraplacza niezupełnego (częściowego) zmiany entalpii można pokazać na schemacie:

Z równań bilansowych można wyliczyć strumienie faz opuszczających kolumnę:

Wzory te można zapisać w postaci:

Strumienie faz opuszczających kolumnę można także obliczyć wykorzystując entalpie:

Co można zapisać w postaci:

Łącząc oba sposoby uzyskuje się trzy zależności określające stosunek strumieni destylatu lub cieczy wyczerpanej odniesione do strumienia surowca i stosunek destylatu do cieczy wyczerpanej:

Po przekształceniach uzyskuje się zależność:

lub

Jest to równanie linii prostej ze względu na entalpię surowca iS. Entalpia ta zmienia się wraz ze stanem termodynamicznym surowca i jest najmniejsza dla cieczy o temperaturze mniejszej od temperatury wrzenia, a następnie kolejno wzrasta dla cieczy wrzącej, mieszaniny cieczy i pary, pary nasyconej i jest najwyższa dla pary przegrzanej.

Bilans górnej części kolumny łącznie ze skraplaczem

W celu wykonania bilansu górnej części kolumny łącznie ze skraplaczem wydzielmy tę część kolulmny powyżej pewnej dowolnej półki o numerze n.

Bilanse części wydzielonej linią przerywaną przybierają postać:

                            (1)

Jak wcześniej wykazano:

ale zachodzi równość:

Przekształćmy równanie (1):

lub ogólnie

Wprowadzając do powyższego równania entalpie uzyskuje się postać:

              (*)

Oba równania dotyczą górnej części kolumny w przekrojach pomiędzy dowolną półką (n) a
(n-1). Równania te są prawdziwe dla każdego składnika w roztworze bez względu na to czy jest to roztwór dwu czy wieloskładnikowy.

              Można jeszcze określić strumień cieczy Ln-1 dopływającej z góry na półkę n odniesiony do strumienia destylatu D.

              (**)

To ostatnie równanie można zapisać prawie identycznie dla orosienia zewnętrznego wpływającego na półkę o numerze n:

Powstaje pytanie jak wykreślić równanie linii operacyjnej górnej części kolumny. Równania (*) i (**) wykorzystują składy i entalpie, a zatem mogą być użyte, jeśli znane są składy i entalpie obu faz.

Zacznijmy od sposobu graficznej interpretacji wykresu entalpowego, tj. zależności
i= f(x, y). W tym celu należy sporządzić tradycyjną izobarę, tj. zależność temperatury od składu cieczy i pary. Następnie graficznie wyznaczyć izotermy na wykresie entalpowym. Sposób kreślenia dwóch przykładowych izoterm przedstawia poniższy rysunek.

Metoda Ponchon’a-Savarit’a

Przekształćmy równanie (**):

do postaci:

Na wykresie entalpowym jest to linia prosta ważna dla każdego przekroju (pomiędzy dwiema dowolnie wybranymi półkami) i jest nachylona pod kątem a o tangensie równym:

Wszystkie linie przekroju (każdego) przechodzą przez jeden punkt OD (zD, ID). Współrzędne punktu OD zależą od składu destylatu i ilości ciepła odbieranego w skraplaczu . Jest to tak zwany biegun operacyjny.

Aby znaleźć współrzędne linii operacyjnej górnej części kolumny przeprowadza się następującą procedurę:

1.       Na wykres entalpowy nanosi się skład zD oraz entalpię destylatu iD na przecięciu tych współrzędnych powstaje punkt D. Należy tu wyjaśnić, że entalpia destylatu iD może w najogólniejszym przypadku składać się z dwóch udziałów odpowiadających destylatowi dwufazowemu. W takim przypadku współrzędna iD jest zawarta pomiędzy linią cieczy i pary. Przez punkt D prowadzi się izotermę i na jej końcach uzyskuje się punktu DV i DL. Jeśli destylat występuje tylko w postaci cieczy, to punkt D pokrywa się z punktem DL. Jeśli natomiast w postaci pary, to punkt D pokrywa się z punktem DV. Interpretacja powyższego pokazana jest na poniższym wykresie:

2.       Dla przyjętego stosunku orosienia R i obliczonych entalpii oraz
z równania:obliczamy ID. W punkcie o współrzędnych (zD, ID) leży biegun operacyjny OD. Aby obliczyć wartość entalpii oraz iO należy znać temperatury strumieni DL = O oraz V1, które zależą od składów tych strumieni.

3.       Na linii cieczy wybieramy jakieś kolejne punkty Ln-1 o współrzędnej x. Prowadząc
z nich proste do bieguna operacyjnego OD znajdujemy kolejne punkty Vn, a tym samym współrzędne y.

Nachylenie linii przekroju wynosi:

,

natomiast długość odcinka OD – 2 można obliczyć z zależności:

4.       Sporządzamy tradycyjny wykres y = f(x) z uzyskanych par liczb x, y.

Uzyskana na tym wykresie linia operacyjna jest linią krzywą.

5.       Korzystając z równań:

lub

oblicza się ilość orosienia wewnętrznego Ln-1. Natomiast korzystając z równania:

oblicza się ilość oparów przepływających przez dany przekrój o numerze n.

6.       Na tym samym wykresie entalpowym wyznaczamy linię dla przekroju pomiędzy kolumną i skraplaczem. Przez ten przekrój przepływa strumień V1 oparów i orosienie szczytowe O. Oczywiście linia tego przekroju także przechodzi przez biegun OD.

Ø        Z równania:

wynika, że ze wzrostem wartości stosunku orosienia R położenie bieguna operacyjnego przesuwa się w kierunku wyższych wartości entalpii. Dla R = ∞ wartość entalpii ID = ∞, więc linie przekrojów są prostopadłe do osi odciętych, to oznacza, że x = y.

Ø        Z kolei, jeśli nachylenie jednej z linii przekroju jest takie samo jak izotermy (linie pokrywają się, to oznacza, że ilość orosienia jest zbyt mała (ilość minimalna) i należy ją zwiększyć.

Bilans dolnej części kolumny łącznie z wyparką

W dolnej części kolumny półki numerowane są od dołu. Wybierzmy pewną dowolną półkę o numerze m. Bilanse części kolumny wydzielonej linią przerywaną przybierają postać:

Po przekształceniach i opuszczeniu indeksów otrzymuje się równanie linii operacyjnej dolnej części kolumny w postaci:

ponadto

Aby wyznaczyć linię operacyjną dolnej części kolumny należy równania zinterpretować metodą Ponchon’a-Savarit’a. W tym celu korzystając z ostatniego równania zapiszmy:

Na wykresie entalpowym jest to pęk prostych przechodzących przez punkt OW(xW, IW). Nachylenie prostych liczy się z zależności:

Punkt OW jest biegunem operacyjnym dolnej części kolumny, a proste przechodzące przez ten punkt nazywamy liniami przekroju.

Wykorzystując powyższy wykres uzyskuje się pary liczb x,y, które służą do sporządzenia wykresu linii operacyjnej dolnej części kolumny na wykresie y =f(x). Uzyskana tą metodą linia operacyjna jest linią krzywą.

Przez biegun operacyjny OW przechodzi także linia przekroju wyznaczonego pomiędzy najniższą półką o numerze 1 a wyparką. Przez ten przekrój przepływają strumienie oparów z wyparki i orosienie wewnętrzne w półki nr 1.

Równanie linii operacyjnej dla tego najniższego przekroju przyjmie postać:

W celu znalezienia pierwszej linii przekroju należy na wykresie zaznaczyć punkt W, anastępnie na końcu izotermy przechodzącej przez ten punkt zaznaczyć punkt określający opary unoszące się z wyparki (VW). Pierwsza linia przekroju powstanie, jeśli punkt VW połączymy z biegunem dolnej części kolumny OW.

Entalpię IW obliczamy z zależności:

Zatem entalpia IW w każdym przypadku spełnia nierówność:

,

co oznacza, że na wykresie entalpowym linia oznaczająca współrzędną IW leży zawsze poniżej linii cieczy. Podobnie jak linia oznaczająca współrzędną ID leży zawsze powyżej linii pary. Co więcej jeśli wzrasta strumień ciepła Qwyp, to położenie punktu OW obniża się. Dla dużych strumieni ciepła dostarczanego do wyparki, co występuje wtedy, gdy duży jest stosunek orosienia R, punkt OW może odpowiadać ujemnym wartościom IW.

Bilans podgrzewacza surowca

Surowiec dopływa do podgrzewacza jako ciecz o pewnej temperaturze i w ogólnym przypadku może wypłynąć jako mieszanina cieczy i pary.

Bilanse podgrzewacza przybierają postać:

...