EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH RÓWNOŚCIOWYCH WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA EKSTREMUM

Minimum warunkowe funkcji f(x) może istnieć tylko wówczas gdy nie istnieje żaden taki kierunek, w którym możemy dokonać nieskończenie małego przesunięcia i który należy do sektora kierunku spadku wartości funkcji f(x).

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są różniczkowalne w punkcie i funkcje f(x) osiąga w tym punkcie ekstremum warunkowe przy warunku ograniczającym g(x)=0 to istnieje taka liczba że zachodzi równość

oraz

                     i = 1,2,..., I

Metoda mnożników Lagrange’a

              n= 1,2,...,N

warunki Lagrange’a

              n = 1,2,...,N

              i = 1,2,...,I

EKSTREMA FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH NIERÓWNOŚCIOWYCH

Jeżeli funkcje f(x), hj(x)  j=1,2,...,J przy czym x Î RN, są różniczkowalne w punkcie będącym punktem regularnym i funkcja f(x) osiąga w tym punkcie minimum warunkowe przy warunkach ograniczających hj(x)=<0

J=1,2,...,J to są spełnione warunki.

Warunki Kuhna – Tuckera

                            n=1,2,...,N

                            j=1,2,...,J

WARUNKI KONIECZNE ISTNIENIA MINIMUM FUNKCJI PRZY NIEUJEMNOŚCI JEJ ARGUMENTÓW

                            n=1,2,...,N

warunki Kuhna – Tuckera

              ü

              ý              n=1,2,...,N

                            þ

OGÓLNE SFORMUŁOWANIE WARUNKÓW ISTNIENIA MINIMUM FUNKCJI PRZY WARUNKACH OGRANICZAJĄCYCH

              i=1,2,...,I

                            j=1,2,...,J              Kuhna – Tuckera

                            n=1,2,...,N’

              ü

              ý              n=1,2,...,N’

                            þ

                            n=N’+1,...,N

              i=1,2,..,I

                            j=1,2,...,J

METODY NUMERYCZNE ZNAJDOWANIA PUNKTU MINIMUM FUNKCJI

Metoda gradientowa

Algorytm znajdowania miejsca zerowego funkcji

x (k+1) = x (k) - akp [ x (k) ]

p – funkcja dla której szukamy miejsca zerowego

ak>0

1.

                       ,  

2.

        ,  

Algorytm pochodnych

sign (u) =               -1 jeżeli   u < 0

              0   jeżeli   u = 0

              1   jeżeli   u > 0

Algorytm NEWTONA

              dla              x = x ( k + 1 )

Algorytm złotego podziału (algorytm bez gradientowy)

Kurna nima

PODSTAWOWE METODY ZNAJDOWANIA MINIMUM FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

ALGORYTM GRADIENTOWY

              n=1,2,...,N

Algorytm NEWTONA

METODA FUNKCJI KARY

                            j=1,2,...,J

funkcja krytyczna f(x)

zmodyfikowana funkcja krytyczna

    funkcja kary

blebleble

Metoda wewnętrznej funkcji kary

                                          j=1,2,...,J

Metoda zewnętrznej funkcji kary

                            j=1,2,...,J

Metoda mieszanej funkcji

                            j=1,2,...,J1 – powinny być spełnione

                                          (wew. funkcje kary)

                            j=J1+1,...,J – (zew. funkcje kary)

ß                                                                                  ß

                         B(x)                                      K(x)