3-FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ.doc

FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

• Definicja sąsiedztwa punktu

Sąsiedztwem o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

S(x0, δ)(x0- δ,x0)(x0,x0+ δ)

                    S(x0, δ)

R

Sąsiedztwem lewostronnym o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

S_(x0, δ)(x0- δ,x0)

          S_(x0, δ)

R

Sąsiedztwem prawostronnym o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

S+(x0, δ) (x0,x0+ δ)

              S+(x0, δ)

R

• Definicja otoczenia punktu

Otoczeniem punktu o promieniu o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

U(x0, δ)(x0- δ,x0+ δ)

                    U(x0, δ)

Otoczeniem lewostronnym o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

U_(x0, δ)(x0- δ,x0)

          U_(x0, δ)

R

Otoczeniem prawostronnym o promieniu δ>0 punktu x0R nazywamy zbiór:

U+(x0, δ) (x0,x0+ δ)

              U+(x0, δ)

R

• Oznaczenia:

Niech              f oznacza funkcję jednej zmiennej

              Df oznacza dziedzinę funkcji f

              x oznacza argument funkcji f

Ø      GRANICE FUNKCJI

• • Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie:

Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczbą g nazywamy granicę właściwą funkcji f w punkcie x0 gdy dla każdego ciągu (xn), takiego, że xnS(x0) i zbieżnego do punktu x0 ciąg [f(xn)] jest zbieżny do punktu g, co zapisujemy:

Przykład:

• Fakt o nieistnieniu granicy funkcji w punkcie:

Jeżeli:

1.

2.

3. g’g’’

to granica (właściwa lub niewłaściwa) nie istnieje.

Przykład: Uzasadnić, że nie istnieje granica:

1.                                                                                                   2.

                                                                                                     g’g’’ stąd nie istnieje

g’g’’ stąd nie istnieje

Heine – definicje ciągów

Cauchy – kwantyfikatory

• Definicja Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie:

Niech xR oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy: gdy:

Interpretacja geometryczna:

Przykład: Na podstawie definicji Cauchy’ego udowodnić, że

Weźmy dowolne ε>0

Założenie: │x-1│<δ, przyjmijmy δ=ε

                                                                      cnd.

• Fakt:

Definicje Heinego i Cauchy’ego granicy właściwej w punkcie x0 są równoważne, tzn. funkcja posiada w punkcie x0 granicę w sensie definicji Heinego wtedy i tylko wtedy, gdy posiada w tym punkcie granicę właściwą w sensie definicji Cauchy’ego.

• Twierdzenie o działaniach arytmetycznych:

Jeżeli funkcje f i g mają w punkcie x0 granice właściwe (skończone), to:

1.

2.   

3.   

4.   

• Twierdzenie o granicy funkcji złożonej:

Jeżeli:

1.

2.

3.

to

Przykład:

              lub              

• Twierdzenie o trzech funkcjach:

Jeżeli funkcje f, g, h spełniają warunki:

1)     f(x)<g(x)<h(x)

2)    

to

Przykład:

                            x→0                      x→0

                                          0

Ø      GRANICE NIEWŁAŚCIWE

• • Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie:

Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0). Funkcja f posiada w punkcie x0 granicę niewłaściwą +∞ [-∞], co zapisujemy:

• Definicja Cauchy’ego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie:

Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(x0):

Przykład:

Ø      GRANICE JEDNOSTRONNE FUNKCJI

Niech x0R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na lewostronnym sąsiedztwie S_(x0) [prawostronnym sąsiedztwie S+(x0)]

• Definicja Heinego granic jednostronnych:

Liczbę g nazywamy granicą lewostronną [prawostronną] właściwą lub niewłaściwą funkcji f w punkcie x0, co zapisujemy:

• Definicja Cauchy’ego granic jednostronnych:

Granice właściwe:

Granice niewłaściwe prawostronne:

Granice niewłaściwe lewostronne definiuje się analogicznie.

• Twierdzenie: warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy:

Funkcja f ma w punkcie x0 granicę właściwą (niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

Przykład: Zbadać istnienie granicy:

                                                                      nie istnieje

Ø      GRANICE FUNKCJI W NIESKOŃCZONOŚCI

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na sąsiedztwie S(∞).

• Definicja Heinego:

Funkcja f posiada w +∞:

·         granicę właściwą g, co zapisujemy:

...